例 如图 6-17,$△ ABC ∽ △ A'B'C'$,相似比为2,$\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{B'D'}{B'C'}$,求$\dfrac{AD}{A'D'}$的值.
解 $\because △ ABC ∽ △ A'B'C'$,
$\therefore \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$,$∠ B=∠ B'$.
$\because \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{B'D'}{B'C'}$,
$\therefore \dfrac{BD}{B'D'}=\dfrac{BC}{B'C'}$.
$\therefore \dfrac{BD}{B'D'}=\dfrac{AB}{A'B'}$.
$\therefore △ ABD ∽ △ A'B'D'$.
$\therefore \dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{AB}{A'B'}=2$.
解 $\because △ ABC ∽ △ A'B'C'$,
$\therefore \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$,$∠ B=∠ B'$.
$\because \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{B'D'}{B'C'}$,
$\therefore \dfrac{BD}{B'D'}=\dfrac{BC}{B'C'}$.
$\therefore \dfrac{BD}{B'D'}=\dfrac{AB}{A'B'}$.
$\therefore △ ABD ∽ △ A'B'D'$.
$\therefore \dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{AB}{A'B'}=2$.
答案
解：
$\because △ ABC ∽ △ A'B'C'$,
$\therefore \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=2$,$∠ B=∠ B'$.
$\because \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{B'D'}{B'C'}$,
$\therefore \dfrac{BD}{B'D'}=\dfrac{BC}{B'C'}$.
$\therefore \dfrac{BD}{B'D'}=\dfrac{AB}{A'B'}$.
又$\because ∠ B=∠ B'$,
$\therefore △ ABD ∽ △ A'B'D'$.
$\therefore \dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{AB}{A'B'}=2$.
$\because △ ABC ∽ △ A'B'C'$,
$\therefore \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=2$,$∠ B=∠ B'$.
$\because \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{B'D'}{B'C'}$,
$\therefore \dfrac{BD}{B'D'}=\dfrac{BC}{B'C'}$.
$\therefore \dfrac{BD}{B'D'}=\dfrac{AB}{A'B'}$.
又$\because ∠ B=∠ B'$,
$\therefore △ ABD ∽ △ A'B'D'$.
$\therefore \dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{AB}{A'B'}=2$.
(1) 已知 $△ ABC ∽ △ A'B'C'$,相似比为$\dfrac{3}{4}$,$AD$、$A'D'$分别是它们的对应角平分线,
$AD=6\ \mathrm{cm}$,则$A'D'=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
$AD=6\ \mathrm{cm}$,则$A'D'=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
答案
解：
∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为$\dfrac{3}{4}$，AD、A'D'分别是它们的对应角平分线，
∴$\dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{3}{4}$。
又∵$AD=6\ \mathrm{cm}$，
∴$\dfrac{6}{A'D'}=\dfrac{3}{4}$，
解得$A'D'=8\ \mathrm{cm}$。
∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为$\dfrac{3}{4}$，AD、A'D'分别是它们的对应角平分线，
∴$\dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{3}{4}$。
又∵$AD=6\ \mathrm{cm}$，
∴$\dfrac{6}{A'D'}=\dfrac{3}{4}$，
解得$A'D'=8\ \mathrm{cm}$。
(2) 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$,$BC=3.6\ \mathrm{cm}$,$B'C'=6\ \mathrm{cm}$,$AE$是$△ ABC$的一条中线,
$AE=2.4\ \mathrm{cm}$,$△ A'B'C'$中的对应中线$A'E'$的长为$\mathrm{cm}$.
$AE=2.4\ \mathrm{cm}$,$△ A'B'C'$中的对应中线$A'E'$的长为$\mathrm{cm}$.
答案
解：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴$\frac{AE}{A'E'}=\frac{BC}{B'C'}$（相似三角形对应中线的比等于相似比）。
∵BC=3.6cm，B'C'=6cm，AE=2.4cm，
∴$\frac{2.4}{A'E'}=\frac{3.6}{6}$，
解得$A'E'=\frac{2.4×6}{3.6}=4$。
答：△A'B'C'中的对应中线$A'E'$的长为4cm。
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴$\frac{AE}{A'E'}=\frac{BC}{B'C'}$（相似三角形对应中线的比等于相似比）。
∵BC=3.6cm，B'C'=6cm，AE=2.4cm，
∴$\frac{2.4}{A'E'}=\frac{3.6}{6}$，
解得$A'E'=\frac{2.4×6}{3.6}=4$。
答：△A'B'C'中的对应中线$A'E'$的长为4cm。
2. 如图,在$△ ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上.
(1) 求$∠ A$、$∠ C$的度数;
(2) 已知$AD=2$,$AC=4$,则$BC$是$DE$的多少倍?
(1) 求$∠ A$、$∠ C$的度数;
(2) 已知$AD=2$,$AC=4$,则$BC$是$DE$的多少倍?
答案
解：
(1) 在$△ ADE$中，
$∠ A = 180° - ∠ ADE - ∠ AED = 180° - 72° - 55° = 53°$。
在$△ ABC$中，
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 53° - 55° = 72°$。
(2) $\because ∠ A = ∠ A$，$∠ AED = ∠ B = 55°$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$，
将$AD=2$，$AC=4$代入得：$\frac{2}{4} = \frac{DE}{BC}$，即$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$，
$\therefore BC = 2DE$，即$BC$是$DE$的2倍。
(1) 在$△ ADE$中，
$∠ A = 180° - ∠ ADE - ∠ AED = 180° - 72° - 55° = 53°$。
在$△ ABC$中，
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 53° - 55° = 72°$。
(2) $\because ∠ A = ∠ A$，$∠ AED = ∠ B = 55°$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$，
将$AD=2$，$AC=4$代入得：$\frac{2}{4} = \frac{DE}{BC}$，即$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$，
$\therefore BC = 2DE$，即$BC$是$DE$的2倍。
3. 如图,在$△ ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,$△ ADE ∽ △ ACB$,$AD:AC=2:3$.
$△ ABC$的角平分线$AF$交$DE$于点$G$,交$BC$于点$F$.求$\dfrac{GF}{AG}$的值.
$△ ABC$的角平分线$AF$交$DE$于点$G$,交$BC$于点$F$.求$\dfrac{GF}{AG}$的值.
答案
解：
∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠ACB，∠DAE=∠CAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△ADG∽△ACF，
∴$\dfrac{AG}{AF}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{2}{3}$，
设$AG=2k$（$k＞0$），则$AF=3k$，
∴$GF=AF-AG=3k-2k=k$，
∴$\dfrac{GF}{AG}=\dfrac{k}{2k}=\dfrac{1}{2}$。
∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠ACB，∠DAE=∠CAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△ADG∽△ACF，
∴$\dfrac{AG}{AF}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{2}{3}$，
设$AG=2k$（$k＞0$），则$AF=3k$，
∴$GF=AF-AG=3k-2k=k$，
∴$\dfrac{GF}{AG}=\dfrac{k}{2k}=\dfrac{1}{2}$。
