3. 如图,$AB$、$CD$相交于点$O$,$AC // BD$,$AO:BO=3:2$,$△ ACO$的周长为18 cm.求
$△ BDO$的周长.

解：
∵ AC // BD，
∴ ∠A = ∠B，∠C = ∠D，
∴ △ACO ∽ △BDO，
∴ $\frac{C_{△ ACO}}{C_{△ BDO}} = \frac{AO}{BO} = \frac{3}{2}$，
∵ $C_{△ ACO}=18$ cm，
∴ $\frac{18}{C_{△ BDO}} = \frac{3}{2}$，
解得 $C_{△ BDO}=12$ cm。
答：△BDO的周长为12 cm。

4. 如图,$DE // BC$,且$\dfrac{AD}{BD}=2$,求$△ ADE$与$△ ABC$的周长比.

解：
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC，
∵ $\dfrac{AD}{BD}=2$，即$AD=2BD$，
∴ $AB=AD+BD=2BD+BD=3BD$，
∴ $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2BD}{3BD}=\dfrac{2}{3}$，
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ △ADE与△ABC的周长比为$\dfrac{2}{3}$（或$2:3$）。

5. 求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比.

解：设原三角形为△ABC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
则DE、EF、FD是△ABC的三条中位线，
根据三角形中位线定理，得：
DE = $\frac{1}{2}$AC，EF = $\frac{1}{2}$AB，FD = $\frac{1}{2}$BC，
∴ $\frac{DE}{AC}$ = $\frac{EF}{AB}$ = $\frac{FD}{BC}$ = $\frac{1}{2}$，
∴ △DEF∽△CAB（三边对应成比例的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABC}}$ = $(\frac{1}{2})^2$ = $\frac{1}{4}$，
即三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比为1:4。

6. 如图,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AB=2DE$,$AC=2DF$,$∠ A=∠ D$.已知$△ ABC$的面积
为$12\sqrt{5}$,求$△ DEF$的面积.

解：
∵ AB=2DE，AC=2DF，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=2$，
又∵ ∠A=∠D，
∴ △ABC∽△DEF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=(\frac{AB}{DE})^2=2^2=4$，
∵ $S_{△ ABC}=12\sqrt{5}$，
∴ $S_{△ DEF}=\frac{12\sqrt{5}}{4}=3\sqrt{5}$。
答：△DEF的面积为$3\sqrt{5}$。

7. 如图,已知$△ ABC$,作一条与$BC$平行的直线,把$△ ABC$划分成两部分.要使划分成的
三角形与四边形的面积之比为$1:2$,可以怎样作图? 如果要使划分成的两部分的面积
之比为$1:n$呢?

解：
1. 使划分成的三角形与四边形的面积之比为$1:2$的作图方法：
设所作直线交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，且$DE// BC$，则$△ ADE ∽ △ ABC$。
由$S_{△ ADE}:S_{四边形BCED}=1:2$，得$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=1:(1+2)=1:3$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$(\frac{AD}{AB})^2=\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$，
解得$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，舍去负根。
作图：在$AB$上截取$AD=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$，在$AC$上截取$AE=\frac{\sqrt{3}}{3}AC$，连接$DE$，则$DE// BC$，即为所求直线。
2. 使划分成的两部分的面积之比为$1:n$的作图方法：
分两种情况讨论：
情况一：$S_{△ ADE}:S_{四边形BCED}=1:n$
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=1:(1+n)$，
由相似三角形面积与相似比的关系，得$(\frac{AD}{AB})^2=\frac{1}{1+n}$，
解得$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{1+n}}{1+n}$，舍去负根。
作图：在$AB$上截取$AD=\frac{\sqrt{1+n}}{1+n}AB$，在$AC$上截取$AE=\frac{\sqrt{1+n}}{1+n}AC$，连接$DE$，$DE// BC$。
情况二：$S_{四边形BCED}:S_{△ ADE}=1:n$
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=n:(1+n)$，
由相似三角形面积与相似比的关系，得$(\frac{AD}{AB})^2=\frac{n}{1+n}$，
解得$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n+1}$，舍去负根。
作图：在$AB$上截取$AD=\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n+1}AB$，在$AC$上截取$AE=\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n+1}AC$，连接$DE$，$DE// BC$。
答：当三角形与四边形面积比为$1:2$时，按上述方法作$DE// BC$；当两部分面积比为$1:n$时，分两种情况按上述方法作图。

如果两个三角形全等,那么这两个三角形对应的高、中线、角平分线相等.类似地,如果两个三角形相似,那么这两个三角形对应的高、中线、角平分线有什么关系?

解：设$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$。
1. 对应高的关系
过点$A$作$AD ⊥ BC$于$D$，过点$A'$作$A'D' ⊥ B'C'$于$D'$，则$∠ ADB=∠ A'D'B'=90°$。
因为$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，所以$∠ B=∠ B'$。
所以$△ ABD ∽ △ A'B'D'$（两角分别相等的两个三角形相似），
则$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即相似三角形对应高的比等于相似比。
2. 对应中线的关系
取$BC$的中点$E$，$B'C'$的中点$E'$，则$BE=\frac{1}{2}BC$，$B'E'=\frac{1}{2}B'C'$，
所以$\frac{BE}{B'E'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$。
因为$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，所以$\frac{AB}{A'B'}=k$，$∠ B=∠ B'$。
所以$△ ABE ∽ △ A'B'E'$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
则$\frac{AE}{A'E'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即相似三角形对应中线的比等于相似比。
3. 对应角平分线的关系
作$∠ BAC$的平分线$AF$交$BC$于$F$，作$∠ B'A'C'$的平分线$A'F'$交$B'C'$于$F'$，
则$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'F'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$。
因为$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，所以$∠ BAC=∠ B'A'C'$，$\frac{AB}{A'B'}=k$，$∠ B=∠ B'$，
所以$∠ BAF=∠ B'A'F'$。
所以$△ ABF ∽ △ A'B'F'$（两角分别相等的两个三角形相似），
则$\frac{AF}{A'F'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
综上，相似三角形对应的高、中线、角平分线的比都等于这两个三角形的相似比。