例2 如图6-16,$△ ABC$的面积为25,直线$DE // BC$,分别交$AB$、$AC$于点$D$、$E$.已
知$△ ADE$的面积为9,求$\dfrac{AD}{DB}$的值.
解 $\because DE // BC$,
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$.
$\boldsymbol{\therefore \dfrac{AD^{2}}{AB^{2}}=\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\dfrac{9}{25}.}$
解得$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$.
$\therefore \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$.
知$△ ADE$的面积为9,求$\dfrac{AD}{DB}$的值.
解 $\because DE // BC$,
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$.
$\boldsymbol{\therefore \dfrac{AD^{2}}{AB^{2}}=\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\dfrac{9}{25}.}$
解得$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$.
$\therefore \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$.
答案
解：
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{AD^{2}}{AB^{2}}=\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\dfrac{9}{25}$，
解得$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AD}{AB-AD}=\dfrac{3}{5-3}=\dfrac{3}{2}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{AD^{2}}{AB^{2}}=\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\dfrac{9}{25}$，
解得$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AD}{AB-AD}=\dfrac{3}{5-3}=\dfrac{3}{2}$。
(1) 已知$△ ABC ∽ △ DEF$,相似比为2,则它们的周长之比是,面积之比
是;
是;
答案
解：
因为$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为2，
根据相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，
所以它们的周长之比是2；
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
所以它们的面积之比是$2^2=4$。
结论：周长之比是$\boldsymbol{2}$，面积之比是$\boldsymbol{4}$。
因为$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为2，
根据相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，
所以它们的周长之比是2；
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
所以它们的面积之比是$2^2=4$。
结论：周长之比是$\boldsymbol{2}$，面积之比是$\boldsymbol{4}$。
(2) 如图,在$△ ABC$中,点$D$、$E$分别在边$BA$、$CA$的延长线上,
且$DE // BC$,已知$△ ADE$与$△ ABC$的面积比为$1:4$,则
$DE:BC=$;
且$DE // BC$,已知$△ ADE$与$△ ABC$的面积比为$1:4$,则
$DE:BC=$;
答案
解：
∵ DE // BC，
∴ △ADE ∽ △ABC，
∵ △ADE与△ABC的面积比为1:4，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ DE:BC = √(1/4) = 1:2。
∵ DE // BC，
∴ △ADE ∽ △ABC，
∵ △ADE与△ABC的面积比为1:4，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ DE:BC = √(1/4) = 1:2。
(3) 五边形$ABCDE$与五边形$A'B'C'D'E'$相似,相似比为$\dfrac{3}{5}$,
五边形$ABCDE$的周长为27 cm,则五边形$A'B'C'D'E'$的
周长为 cm.
五边形$ABCDE$的周长为27 cm,则五边形$A'B'C'D'E'$的
周长为 cm.
答案
解：设五边形$A'B'C'D'E'$的周长为$x$ cm。
因为五边形$ABCDE$与五边形$A'B'C'D'E'$相似，相似比为$\dfrac{3}{5}$，
所以$\dfrac{27}{x}=\dfrac{3}{5}$，
解得$x=45$。
答：五边形$A'B'C'D'E'$的周长为45 cm。
因为五边形$ABCDE$与五边形$A'B'C'D'E'$相似，相似比为$\dfrac{3}{5}$，
所以$\dfrac{27}{x}=\dfrac{3}{5}$，
解得$x=45$。
答：五边形$A'B'C'D'E'$的周长为45 cm。
(1) 如图,在$△ ABC$中,$DE // BC$,$AD:DB=2:3$,则$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}$等于().
A.$2:3$
B.$2:5$
C.$4:9$
D.$4:25$
A.$2:3$
B.$2:5$
C.$4:9$
D.$4:25$
答案
D
解析
1. 由$DE// BC$，可得$△ ADE ∽ △ ABC$；
2. 因为$AD:DB=2:3$，所以$AD:AB=2:(2+3)=2:5$，即两三角形的相似比为$2:5$；
3. 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=2^2:5^2=4:25$。
2. 因为$AD:DB=2:3$，所以$AD:AB=2:(2+3)=2:5$，即两三角形的相似比为$2:5$；
3. 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=2^2:5^2=4:25$。
(2) 如图,在$△ ABC$中,$DE // AC$,四边形$ADEC$的面积是$△ BDE$面积的8倍,则
$DE$与$AC$的数量关系是().
A.$AC=8DE$
B.$AC=4DE$
C.$AC=3DE$
D.$AC=2DE$
$DE$与$AC$的数量关系是().
A.$AC=8DE$
B.$AC=4DE$
C.$AC=3DE$
D.$AC=2DE$
答案
C
解析
因为$DE// AC$，所以$△ BDE ∽ △ BAC$。设$△ BDE$的面积为$S$，则四边形$ADEC$的面积为$8S$，故$△ ABC$的面积为$S+8S=9S$。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$△ BDE$与$△ BAC$的面积比为$1:9$，相似比为$1:3$，即$DE:AC=1:3$，因此$AC=3DE$。
