4. 如图,$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似,$AD$、$BE$是$△ ABC$的高,$A'D'$、$B'E'$是$△ A'B'C'$的高.
求证:$\dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{BE}{B'E'}$.

证明：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠ABC=∠A'B'C'，∠C=∠C'，$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$。
∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高，
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°，
又∵∠ABC=∠A'B'C'，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{AB}{A'B'}$。
∵BE、B'E'分别是△ABC、△A'B'C'的高，
∴∠BEC=∠B'E'C'=90°，
又∵∠C=∠C'，
∴△BEC∽△B'E'C'，
∴$\dfrac{BE}{B'E'}=\dfrac{BC}{B'C'}$。
∵$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$，
∴$\dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{BE}{B'E'}$。

5. 如图,$P$为$△ ABC$的重心,$EF$经过点$P$,$EF // BC$,分别交$AB$、$AC$于点$E$、$F$,求$\dfrac{EF}{BC}$的值.

解：
连接AP并延长，交BC于点D。
∵P为△ABC的重心，
∴AD是△ABC的中线，且$\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{2}{3}$。
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{2}{3}$。

6. 如图,过$△ ABC$内的点$P$分别作三边的平行线,形成三个小三角形①②③.已知这三个小三角形的面积分别为4、9、16,求$△ ABC$的面积.

解：
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，
已知三个小三角形的面积分别为4、9、16，
所以它们的相似比为$\sqrt{4}:\sqrt{9}:\sqrt{16}=2:3:4$。
设这三个小三角形的对应边长分别为$2k$、$3k$、$4k$，
由题意，过点$P$作三边的平行线，形成的四边形均为平行四边形，
因此$△ ABC$的对应边长为$2k+3k+4k=9k$，
即$△ ABC$与面积为4的小三角形的相似比为$9k:2k=9:2$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ ABC}}{4}=(\frac{9}{2})^2$，
解得$S_{△ ABC}=4×\frac{81}{4}=81$。
答：$△ ABC$的面积为81。

7. 证明:相似四边形的对应对角线的比等于相似比.

证明：
设四边形$ABCD ∽$四边形$A'B'C'D'$，相似比为$k$，
则$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}=k$，且$∠ ABC=∠ A'B'C'$，$∠ BAD=∠ B'A'D'$。
连接$AC$，$A'C'$，
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，$∠ ABC=∠ A'B'C'$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AC}{A'C'}=k$。
连接$BD$，$B'D'$，
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=k$，$∠ BAD=∠ B'A'D'$，
$\therefore △ ABD ∽ △ A'B'D'$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{BD}{B'D'}=k$。
综上，相似四边形的对应对角线的比等于相似比。

如图6-18,蜘蛛网的一部分可看成由两个相似的五边形组成,它们有什么特殊的位置关系?

解：这两个相似的五边形是位似图形，它们的对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行，位似中心为它们内部的公共交点。