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【例1】计算:(1)$(\dfrac{m}{2n})^2 · \dfrac{n}{2m} - \dfrac{m}{n^2} ÷ \dfrac{4n^2}{m}$；
(2)$(\dfrac{1}{a+3} + \dfrac{1}{a^2 -9}) ÷ \dfrac{a-2}{2a+6}$。
(2)$(\dfrac{1}{a+3} + \dfrac{1}{a^2 -9}) ÷ \dfrac{a-2}{2a+6}$。
答案
(1) 原式=$\frac{m^2}{4n^2}·\frac{n}{2m}-\frac{m}{n^2}·\frac{m}{4n^2}$
$=\frac{m}{8n}-\frac{m^2}{4n^4}$
$=\frac{mn^3-2m^2}{8n^4}$.
(2) 原式=$[\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{(a+3)(a-3)}]÷\frac{a-2}{2(a+3)}$
$=\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}÷\frac{a-2}{2(a+3)}$
$=\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}·\frac{2(a+3)}{a-2}$
$=\frac{2}{a-3}$.
$=\frac{m}{8n}-\frac{m^2}{4n^4}$
$=\frac{mn^3-2m^2}{8n^4}$.
(2) 原式=$[\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{(a+3)(a-3)}]÷\frac{a-2}{2(a+3)}$
$=\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}÷\frac{a-2}{2(a+3)}$
$=\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}·\frac{2(a+3)}{a-2}$
$=\frac{2}{a-3}$.
【变式】先化简，再求值：$\frac{a-1}{a-2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} - \frac{2}{a-1}$，其中$a=\frac{1}{2}$。
答案
解：
先对多项式因式分解：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a-1}{a-2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} - \frac{2}{a-1}\\&=\frac{a+2}{a-1} - \frac{2}{a-1}\\&=\frac{a+2-2}{a-1}\\&=\frac{a}{a-1}\end{aligned}$
当$a=\frac{1}{2}$时：
$\mathrm{原式}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=-1$
先对多项式因式分解：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a-1}{a-2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} - \frac{2}{a-1}\\&=\frac{a+2}{a-1} - \frac{2}{a-1}\\&=\frac{a+2-2}{a-1}\\&=\frac{a}{a-1}\end{aligned}$
当$a=\frac{1}{2}$时：
$\mathrm{原式}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=-1$
【例2】小强上山和下山的路程都是$s$ km，上山的速度为$v_1$ km/h，下山的速度为$v_2$ km/h，则小强上山和下山的平均速度为 （
A.$\frac{v_1 + v_2}{2}$ km/h
B.$\frac{2s}{v_1 + v_2}$ km/h
C.$\frac{s}{\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}}$ km/h
D.$\frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ km/h
D
）A.$\frac{v_1 + v_2}{2}$ km/h
B.$\frac{2s}{v_1 + v_2}$ km/h
C.$\frac{s}{\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}}$ km/h
D.$\frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ km/h
答案
D
【变式】(2026 苏州)先化简，再求值：
$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} )$，其中$x=3$。
$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} )$，其中$x=3$。
答案
原式=$\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}÷\frac{1}{x(x+1)}$
$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·x(x+1)$
$=x^2-x$
当$x=3$时，原式=$3^2-3=6$.
$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·x(x+1)$
$=x^2-x$
当$x=3$时，原式=$3^2-3=6$.
1.化简$(1-\dfrac{4}{a+2})·\dfrac{a+2}{a-2}$的结果是（
A.$1$
B.$\dfrac{a}{a+2}$
C.$\dfrac{a-2}{a}$
D.$\dfrac{a+2}{a-2}$
A
）A.$1$
B.$\dfrac{a}{a+2}$
C.$\dfrac{a-2}{a}$
D.$\dfrac{a+2}{a-2}$
答案
1. A
2.化简$(1-a)÷(1-\dfrac{1}{a})· a$的结果 （
A.$-a^2$
B.$1$
C.$a^2$
D.$-1$
A
）A.$-a^2$
B.$1$
C.$a^2$
D.$-1$
答案
2. A
3. 化简$( \dfrac{m}{n} - \dfrac{n}{m} ) ÷ ( \dfrac{1}{m} - \dfrac{1}{n} )$的结果是 （
A.$m - n$
B.$n - m$
C.$1$
D.$-m - n$
D
）A.$m - n$
B.$n - m$
C.$1$
D.$-m - n$
答案
3. D
4. 从甲地到乙地依次需经过1 km 的上坡路和2 km 的下坡路. 已知小明骑车在上坡路上的速度为$v$ km/h, 在下坡路上的速度为$3v$ km/h, 则他骑车从甲地到乙地需要的时间是（
A.$\frac{1}{3v}$ h
B.$\frac{2}{3v}$ h
C.$\frac{4}{3v}$ h
D.$\frac{5}{3v}$ h
D
）A.$\frac{1}{3v}$ h
B.$\frac{2}{3v}$ h
C.$\frac{4}{3v}$ h
D.$\frac{5}{3v}$ h
答案
4. D
