1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$。
(1)尺规作图：作边$AB$的垂直平分线,交$AB于点D$,交$AC于点E$,连接$BE$(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)在(1)的条件下,若$AB = 6$,$BC = 4$,求$\triangle BEC$的周长。

解: (1) 如图所示;

(2) ∵ DE 垂直平分 AB,
∴ BE = AE,
∴ △BEC 的周长 = BC + BE + CE
= BC + AE + CE
= BC + AC
= BC + AB
= 4 + 6 = 10.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,过点$B作BD\perp AC$,垂足为$D$,且$D是边AC$的中点。
(1)求证：$\triangle ABC$是等边三角形；
(2)尺规作图：在线段$BD上求作点E$,使得$BE = 2DE$(不写作法,保留作图痕迹)。

解: (1) ∵ BD ⊥ AC, D 是边 AC 的中点,
∴ BD 是 AC 的垂直平分线,
∴ BA = BC.
∵ AB = AC,
∴ AB = AC = BC,
∴ △ABC 是等边三角形;
(2) 如图,

∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ACB = 60°,
作 ∠ACB 的平分线交 BD 于点 E,
易得 ∠ECB = ∠EBC = 30°,
∴ BE = CE.
根据 30° 角所对的直角边等于斜边一半,
得 BE = CE = 2DE.

3. 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$E是AB$边上一点。
(1)尺规作图：作$\angle ABC的平分线BD$,交$AC于点D$,连接$ED$,延长$ED与直线BC交于点F$(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)在(1)的条件下,若$DE\perp AB$,当$AE = 2$时,求$BF$的长。

解: (1) 如图所示;

(2) ∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠A = ∠ABC = 60°.
∵ DE ⊥ AB,
∴ ∠AED = ∠BEF = 90°,
∴ ∠ADE = ∠BFE = 30°,
∴ AD = 2AE = 4, BF = 2BE.
∵ BD 是 ∠ABC 的平分线,
∴ AD = DC = 4,
∴ AB = 2AD = 8,
∴ BE = AB - AE = 8 - 2 = 6,
∴ BF = 2BE = 12.