1. 某景区有一块三角形的草坪,A,B,C 是三个商店,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到三个商店的距离相等,凉亭的位置应选在△ABC______的交点处.

三边垂直平分线

2. 将一台带有保护套的平板电脑按图 1 放置在水平桌面上,其侧面示意图如图 2 所示. 经测得AB= 10 cm,BC= 10.5 cm. 若移动支点 C 的位置,使△ABC 是一个等腰三角形,则△ABC 的周长为()

A. 30.5 cm
B. 31 cm
C. 10 cm 或 10.5 cm
D. 30.5 cm 或 31 cm

D

3. (2025 宿迁)如图,在三角测平架中,AB= AC,在 BC 的中点 D 处挂一重锤,让它自然下垂. 如果调整架身,使重锤线正好经过点 A,那么就能确认 BC 处于水平位置. 这种做法依据的数学原理是()

A. 等腰三角形的三线合一
B. 等角对等边
C. 三角形具有稳定性
D. 等边对等角

A

4. (2025 大连)如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸,点 A 与点 B 对称,点 C 与点 D 对称,将其放置在平面直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为(3,0),(5,0),(1,4),则点 D 的坐标为______.

$(7,4)$

5. 如图,某市地铁站入口的闸机双翼展开时,双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10 cm,双翼的边缘 AC= BD= 52 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA= ∠BDQ= 30°,那么两机箱之间的距离 CD 为______cm.

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6. 如图是风筝的结构示意图,点 D 是等边三角形 ABC 的外部一点,且 AD= CD,过点 D 作 DE//AB 交 AC 于点 F,交 BC 于点 E. 若 BC= 10,CF= 4,则 DE 的长为______.

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7. 左图是古代大型武器投石机,右图为投石机的侧截面示意图. 炮架的炮梢两顶点 A,B 到炮轴 O 的距离分别为 1 m 和 8 m,拉动炮索,炮梢 AB 绕炮轴 O 旋转 60°(∠BOB'= 60°),点 A,B 的对应点分别为 A',B',B'B,AA',B'A'的延长线与地面分别交于点 D,C,E,若 B'D,AC 均与地面垂直,A'E 比 AC 长 5 m,求点 B'到水平地面的距离.

解: $\because OB = OB', OA = OA'$,
$\angle BOB' = \angle AOA' = 60^{\circ}$,
$\therefore \triangle BOB', \triangle AOA'$ 都是等边三角形,
$\therefore AA' = OA = OA' = 1m$,
$\angle B' = \angle AA'O = 60^{\circ}$.
$\because AA' \perp DE, BB' \perp DE$,
$\therefore \angle E = 30^{\circ}$,
$\therefore B'D = \frac{1}{2}B'E, A'C = \frac{1}{2}A'E$.
设 $A'C = xm$, 则 $AC = (x + 1)m$,
$\therefore A'E = (x + 6)m$,
$\therefore 2x = x + 6$,
$\therefore x = 6$,
$\therefore A'E = 12m$,
$\therefore B'E = B'O + OA' + A'E = 21m$,
$\therefore B'D = \frac{21}{2}m$,
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$\therefore B'$ 到水平地面的距离是 $\frac{21}{2}m$.