1.(教材变式)如图,$\triangle ABC$ 和 $\triangle CDE$ 都为等边三角形,点 $E$ 在 $BC$ 上,$AE$ 的延长线交 $BD$ 于点 $F$.
(1)求证：$AE = BD$；
(2)求 $\angle AFB$ 的度数；
(3)求证：$FC$ 平分 $\angle AFD$；
(4)直接写出 $EF$,$DF$,$CF$ 之间的数量关系.

解: (1) ∵△ABC 和△CDE 都为等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,
∠ACB=∠DCE=60°,
∴△ACE≌△BCD,
∴AE=BD;
(2) 由(1)知△ACE≌△BCD,
∴∠CAE=∠CBD.
∵∠CEA=∠BEF,
∴∠AFB=∠ACB=60°;
(3) 过点 C 作 CM⊥AF 于点 M,CN⊥DF 于点 N,
∴∠CMA=∠CNB=90°.
由(1)知△ACE≌△BCD,
∴∠CAM=∠CBN,
∴△CAM≌△CBN,
∴CM=CN,
∴FC 平分∠AFD;
(4) 在 EA 上取点 G,使 EG=DF,连接 CG.
由(1)知△ACE≌△BCD,
∴∠CDF=∠CEG.
又∵CE=CD,
∴△CDF≌△CEG,
∴CG=CF,∠ECG=∠FCD,
∴∠GCF=∠ECD=60°,
∴△CGF 为等边三角形,
∴CF=FG=EF+EG=EF+DF.

2.(原创题)如图,$E$ 为等边 $\triangle ABC$ 的边 $AC$ 上一点,$D$ 在 $\triangle ABC$ 外,且 $CD// AB$,$\angle CBD= \angle ABE+\angle BEC$. 求证：$CD = AE + BD$.

证明: 在 CD 上截取 CF=AE,连接 BF.
∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=BC,∠A=∠ABC.
∵CD//AB,
∴∠BCF=∠ABC,
∴∠A=∠BCF.
∵AE=CF,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴∠ABE=∠CBF,∠AEB=∠CFB.
∵∠AEB+∠BEC=∠CFB+∠BFD=180°,
∴∠BEC=∠BFD.
∵∠CBD=∠CBF+∠FBD=∠ABE+∠BEC,
∴∠FBD=∠BEC,
∴∠FBD=∠BFD,
∴BD=DF,
∴CD=CF+DF=AE+BD.