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9. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地,其中快车送达后立即沿原路返回,且往返速度的大小不变,两车离甲地的距离$y(km)$与慢车行驶时间$t(h)$之间的函数关系如图所示,则两车先后两次相遇的间隔时间是(
A.$\frac {5}{3}h$
B.$\frac {3}{2}h$
C.$\frac {7}{5}h$
D.$\frac {4}{3}h$
B
)A.$\frac {5}{3}h$
B.$\frac {3}{2}h$
C.$\frac {7}{5}h$
D.$\frac {4}{3}h$
答案
9.B
解析
解：由图可知慢车行驶时间为$6h$，行驶路程为$akm$，慢车速度为$\frac{a}{6}km/h$，慢车$y$与$t$的函数关系为$y = \frac{a}{6}t$。
快车比慢车晚出发$2h$，$6h$时返回至甲地，快车往返总时间为$6 - 2=4h$，单程时间为$2h$，故快车到达乙地时间为$2 + 2=4h$。
快车去程：$t\in[2,4]$，从$0$到$a$，速度为$\frac{a}{2}km/h$，函数关系为$y=\frac{a}{2}(t - 2)=\frac{a}{2}t - a$。
快车返程：$t\in[4,6]$，从$a$到$0$，速度为$-\frac{a}{2}km/h$，函数关系为$y=a-\frac{a}{2}(t - 4)=-\frac{a}{2}t + 3a$。
第一次相遇（快车去程）：联立$\begin{cases}y = \frac{a}{6}t\\y=\frac{a}{2}t - a\end{cases}$，解得$t = 3h$。
第二次相遇（快车返程）：联立$\begin{cases}y = \frac{a}{6}t\\y=-\frac{a}{2}t + 3a\end{cases}$，解得$t=\frac{9}{2}h$。
两次相遇间隔时间：$\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}h$。
答案：$\frac{3}{2}h$
快车比慢车晚出发$2h$，$6h$时返回至甲地，快车往返总时间为$6 - 2=4h$，单程时间为$2h$，故快车到达乙地时间为$2 + 2=4h$。
快车去程：$t\in[2,4]$，从$0$到$a$，速度为$\frac{a}{2}km/h$，函数关系为$y=\frac{a}{2}(t - 2)=\frac{a}{2}t - a$。
快车返程：$t\in[4,6]$，从$a$到$0$，速度为$-\frac{a}{2}km/h$，函数关系为$y=a-\frac{a}{2}(t - 4)=-\frac{a}{2}t + 3a$。
第一次相遇（快车去程）：联立$\begin{cases}y = \frac{a}{6}t\\y=\frac{a}{2}t - a\end{cases}$，解得$t = 3h$。
第二次相遇（快车返程）：联立$\begin{cases}y = \frac{a}{6}t\\y=-\frac{a}{2}t + 3a\end{cases}$，解得$t=\frac{9}{2}h$。
两次相遇间隔时间：$\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}h$。
答案：$\frac{3}{2}h$
10. (2023·广州改编)甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动,苹果的标价为10元/千克.如果一次购买4千克以上的苹果,那么超过4千克的部分按标价的6折售卖.设购买苹果的质量为x千克,付款金额为y元.
(1) 文文购买3千克苹果需付款
(2) 求y关于x的函数表达式.
(3) 当天,隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动,同样的苹果的标价也为10元/千克,且全部按标价的8折售卖.若文文要购买10千克苹果,则她在哪个超市购买更划算?
(1) 文文购买3千克苹果需付款
30
元,购买5千克苹果需付款46
元.(2) 求y关于x的函数表达式.
(3) 当天,隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动,同样的苹果的标价也为10元/千克,且全部按标价的8折售卖.若文文要购买10千克苹果,则她在哪个超市购买更划算?
答案
10.
(1)30 46
(2)根据题意，得当0≤x≤4时，y = 10x；当x＞4时，y = 4×10+(x - 4)×10×0.6 = 6x + 16，
∴y关于x的函数表达式为$y=\begin{cases}10x(0\leq x\leq4)\\6x + 16(x＞4)\end{cases}$
(3)文文在甲超市购买10千克苹果需付款6×10 + 16 = 76(元)，文文在乙超市购买10千克苹果需付款10×10×0.8 = 80(元).
∵76＜80，
∴文文在甲超市购买更划算
(1)30 46
(2)根据题意，得当0≤x≤4时，y = 10x；当x＞4时，y = 4×10+(x - 4)×10×0.6 = 6x + 16，
∴y关于x的函数表达式为$y=\begin{cases}10x(0\leq x\leq4)\\6x + 16(x＞4)\end{cases}$
(3)文文在甲超市购买10千克苹果需付款6×10 + 16 = 76(元)，文文在乙超市购买10千克苹果需付款10×10×0.8 = 80(元).
∵76＜80，
∴文文在甲超市购买更划算
11. 在一条笔直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B两地之间,甲车从A地出发沿这条公路匀速驶向C地,乙车从B地出发沿这条公路匀速驶向A地,在甲车出发至甲车到达C地的过程中,甲、乙两车各自与C地的距离$y(km)$与甲车的行驶时间$t(h)$之间的函数关系如图所示.有下列结论:① 甲车出发2h时,两车相遇;② 乙车出发1.5h时,两车相距170km;③ 乙车出发$2\frac {5}{7}h$时,两车相遇;④ 甲车到达C地时,两车相距40km.其中,正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
11.C
解析
解：由图得：甲车从A地到C地4h，A、C两地距离240km，甲车速度$v_{甲}=\frac{240}{4}=60km/h$，甲车与C地距离$y_{甲}=-60t+240$。
乙车1h后出发，3.5h时到C地，行驶时间$3.5-1=2.5h$，B、C两地距离200km，乙车速度$v_{乙}=\frac{200}{2.5}=80km/h$，乙车与C地距离$y_{乙}=-80(t-1)+200=-80t+280(t≥1)$。
① 甲车出发2h时，$y_{甲}=-60×2+240=120km$，$y_{乙}=-80×2+280=120km$，此时两车都距C地120km，且在C地两侧，故相遇，①正确。
② 乙车出发1.5h时，甲车出发$1+1.5=2.5h$，甲车行驶$60×2.5=150km$，乙车行驶$80×1.5=120km$，A、B两地距离$240+200=440km$，两车相距$440-150-120=170km$，②正确。
③ 由①知甲车出发2h时相遇，乙车出发$2-1=1h$，③错误。
④ 甲车到达C地时$t=4h$，乙车行驶$4-1=3h$，乙车行驶$80×3=240km$，B、C两地200km，乙车过C地$240-200=40km$，两车相距40km，④正确。
综上，正确的有①②④，共3个。
答案：C
乙车1h后出发，3.5h时到C地，行驶时间$3.5-1=2.5h$，B、C两地距离200km，乙车速度$v_{乙}=\frac{200}{2.5}=80km/h$，乙车与C地距离$y_{乙}=-80(t-1)+200=-80t+280(t≥1)$。
① 甲车出发2h时，$y_{甲}=-60×2+240=120km$，$y_{乙}=-80×2+280=120km$，此时两车都距C地120km，且在C地两侧，故相遇，①正确。
② 乙车出发1.5h时，甲车出发$1+1.5=2.5h$，甲车行驶$60×2.5=150km$，乙车行驶$80×1.5=120km$，A、B两地距离$240+200=440km$，两车相距$440-150-120=170km$，②正确。
③ 由①知甲车出发2h时相遇，乙车出发$2-1=1h$，③错误。
④ 甲车到达C地时$t=4h$，乙车行驶$4-1=3h$，乙车行驶$80×3=240km$，B、C两地200km，乙车过C地$240-200=40km$，两车相距40km，④正确。
综上，正确的有①②④，共3个。
答案：C
12. 有一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水,3分钟时,再打开出水管排水,8分钟时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完.在整个过程中,容器中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,则图中a的值为
$\frac{29}{3}$
.答案
12.$\frac{29}{3}$ 解析：设出水管每分钟排水m升.由题图，得进水管每分钟的进水量为$\frac{30}{3}=10$(升)，
∴10×8 - (8 - 3)m = 20，解得m = 12，
∴8分钟后的排水时间为$\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$(分钟)，
∴$a = 8+\frac{5}{3}=\frac{29}{3}$.
∴10×8 - (8 - 3)m = 20，解得m = 12，
∴8分钟后的排水时间为$\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$(分钟)，
∴$a = 8+\frac{5}{3}=\frac{29}{3}$.
