登录
1. 下列各组数据均为三条线段的长，其中，不能构成直角三角形的一组是(
A.$0.3,0.4,0.5$
B.$\frac{5}{2},6,\frac{13}{2}$
C.$12,16,20$
D.$9,11,17$
D
)A.$0.3,0.4,0.5$
B.$\frac{5}{2},6,\frac{13}{2}$
C.$12,16,20$
D.$9,11,17$
答案
1.D
解析
A. $0.3^2 + 0.4^2 = 0.09 + 0.16 = 0.25 = 0.5^2$，能构成直角三角形。
B. $\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 6^2 = \frac{25}{4} + 36 = \frac{25}{4} + \frac{144}{4} = \frac{169}{4} = \left(\frac{13}{2}\right)^2$，能构成直角三角形。
C. $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$，能构成直角三角形。
D. $9^2 + 11^2 = 81 + 121 = 202$，$17^2 = 289$，$202 \neq 289$，不能构成直角三角形。
D
B. $\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 6^2 = \frac{25}{4} + 36 = \frac{25}{4} + \frac{144}{4} = \frac{169}{4} = \left(\frac{13}{2}\right)^2$，能构成直角三角形。
C. $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$，能构成直角三角形。
D. $9^2 + 11^2 = 81 + 121 = 202$，$17^2 = 289$，$202 \neq 289$，不能构成直角三角形。
D
2. (新考向·传统文化)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：有一块三角形沙田，三条边的长分别为$5$里、$12$里、$13$里，这块沙田的面积有多大？其中，$1$里$=500$米，则该沙田的面积为(
A.$7.5$平方千米
B.$15$平方千米
C.$75$平方千米
D.$750$平方千米
A
)A.$7.5$平方千米
B.$15$平方千米
C.$75$平方千米
D.$750$平方千米
答案
2.A
解析
因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144=169=13^{2}$，所以该三角形沙田是直角三角形，两直角边为5里和12里。
面积为$\frac{1}{2}×5×12 = 30$（平方里）。
因为1里=500米，所以1平方里$=(500)^{2}$平方米$=250000$平方米。
30平方里$=30×250000 = 7500000$平方米。
又因为1平方千米=1000000平方米，所以7500000平方米$=7.5$平方千米。
答案选A。
面积为$\frac{1}{2}×5×12 = 30$（平方里）。
因为1里=500米，所以1平方里$=(500)^{2}$平方米$=250000$平方米。
30平方里$=30×250000 = 7500000$平方米。
又因为1平方千米=1000000平方米，所以7500000平方米$=7.5$平方千米。
答案选A。
3. 在下列横线上填上一个数，使各组中的三个数成为勾股数.
(1)$6,$
(2)$7,24,$
(3)$8,$
(4)
(1)$6,$
8
，$10$；(2)$7,24,$
25
；(3)$8,$
15
，$17$；(4)
9
，$40,41$.答案
3.
(1)8
(2)25
(3)15
(4)9
(1)8
(2)25
(3)15
(4)9
4. 若三角形的三边长分别为$3,4,5$，则最长边上的中线长为
$\frac{5}{2}$
.答案
4.$\frac{5}{2}$
解析
解：因为$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，所以该三角形是直角三角形，最长边为斜边，长度为$5$。直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以最长边上的中线长为$\frac{5}{2}$。
5. 若一个三角形三边的长分别为$15cm,20cm,25cm$，则这个三角形最长边上的高为
12
$cm$.答案
5.12
解析
因为$15^{2} + 20^{2} = 225 + 400 = 625 = 25^{2}$，所以该三角形是直角三角形，最长边为斜边，长度为$25cm$。
设最长边上的高为$h cm$，根据三角形面积公式，直角三角形面积可表示为两直角边乘积的一半，也可表示为斜边与斜边上高乘积的一半。
则$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$，
即$150 = \frac{25}{2}h$，
解得$h = 12$。
12
设最长边上的高为$h cm$，根据三角形面积公式，直角三角形面积可表示为两直角边乘积的一半，也可表示为斜边与斜边上高乘积的一半。
则$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$，
即$150 = \frac{25}{2}h$，
解得$h = 12$。
12
6. （教材$P96$习题第$1$题变式）已知$\triangle ABC$的三边长分别为$a = m^{2}-n^{2},b = 2mn,c = m^{2}+n^{2}$，其中，$m,n$是正整数，且$m＞n$. 求证：$\triangle ABC$是直角三角形.
答案
6.
∵a²=(m²−n²)²=m⁴−2m²n²+n⁴,b²=(2mn)²=4m²n²,c²=(m²+n²)²=m⁴+2m²n²+n⁴,
∴a²+b²=m⁴+2m²n²+n⁴=c²,
∴△ABC是直角三角形
∵a²=(m²−n²)²=m⁴−2m²n²+n⁴,b²=(2mn)²=4m²n²,c²=(m²+n²)²=m⁴+2m²n²+n⁴,
∴a²+b²=m⁴+2m²n²+n⁴=c²,
∴△ABC是直角三角形
7. （教材$P95$例$2$变式）如图，$AD$为$\triangle ABC$的中线，且$AC = 13,BC = 10,AD = 12$，求$\triangle ABD$的周长.
]
]
答案
7.
∵AD为△ABC的中线，BC=10,
∴BD=CD=5.
∵AC=13,AD=12,
∴AD²+CD²=12²+5²=169,AC²=13²=169,
∴AD²+CD²=AC²,
∴∠ADC=90°.
∵∠ADC+∠ADB=180°,
∴∠ADB=90°,
∴在Rt△ADB 中,AD²+BD²=AB²,即12²+5²=AB²,
∴AB²=169,
∴AB=13,
∴△ABD的周长为5+12+13=30
∵AD为△ABC的中线，BC=10,
∴BD=CD=5.
∵AC=13,AD=12,
∴AD²+CD²=12²+5²=169,AC²=13²=169,
∴AD²+CD²=AC²,
∴∠ADC=90°.
∵∠ADC+∠ADB=180°,
∴∠ADB=90°,
∴在Rt△ADB 中,AD²+BD²=AB²,即12²+5²=AB²,
∴AB²=169,
∴AB=13,
∴△ABD的周长为5+12+13=30
8. 在$\triangle ABC$中，$\angle A,\angle B,\angle C$的对边长分别是$a,b,c$，下列条件不能判断$\triangle ABC$为直角三角形的是(
A.$a + b＞c$
B.$c^{2}=b^{2}-a^{2}$
C.$(c - a)(c + a)=b^{2}$
D.$\angle A=\angle B-\angle C$
A
)A.$a + b＞c$
B.$c^{2}=b^{2}-a^{2}$
C.$(c - a)(c + a)=b^{2}$
D.$\angle A=\angle B-\angle C$
答案
8.A
