6. 设a,b是直角三角形的两条直角边的长.若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,则ab的值为.

6.3　解析:根据题意，得a + b+2.5=6，即a + b=3.5，a² + b²=2.5²①.将a + b=3.5两边平方，得a²+2ab + b²=12.25②.由②−①，得2ab=6，即ab=3.

由题意得，$a + b + 2.5 = 6$，则$a + b = 3.5$。
因为直角三角形中，$a^2 + b^2 = 2.5^2$。
将$a + b = 3.5$两边平方，得$(a + b)^2 = 3.5^2$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 12.25$。
用$a^2 + 2ab + b^2 = 12.25$减去$a^2 + b^2 = 2.5^2 = 6.25$，得$2ab = 12.25 - 6.25 = 6$，所以$ab = 3$。
3

7. (2025·苏州期末)勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠.被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法.其中一种是在右图的基础上,运用“出入相补”原理完成的.在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ABDE,ACFG,BCHI均为正方形,HI与AE相交于点J,可以证明点D在直线HI上.若△AHJ,△DEJ的面积分别为2和6,则AC的长为.
]

7.2　解析:S正方形ACFG=S△DEJ−S△AHJ.

设 $ AC = b $，$ BC = a $，$ AB = c $，由勾股定理得 $ a^2 + b^2 = c^2 $。
因为四边形 $ ACFG $ 是正方形，所以 $ S_{正方形ACFG} = b^2 $。
由“出入相补”原理及图形关系可知：$ S_{正方形ACFG} = S_{\triangle DEJ} - S_{\triangle AHJ} $。
已知 $ S_{\triangle AHJ} = 2 $，$ S_{\triangle DEJ} = 6 $，则 $ b^2 = 6 - 2 = 4 $，解得 $ b = 2 $（负值舍去）。
故 $ AC $ 的长为 $ 2 $。
$2$

8. (新考法·综合与实践)如图①所示为用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,如图②所示为以c为直角边长的等腰直角三角形.请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形(不添加其他辅助线).
(1) 画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形.
(2) 用这个图形证明勾股定理.
(3) 假设图①中的直角三角形有若干个,你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗? 请画出拼成的示意图(不要求证明).
]

8.
(1)如图①，是直角梯形　
(2)
∵S梯形=$\frac{1}{2}$(a + b)(a + b)=$\frac{1}{2}$(a + b)²，又
∵S梯形=2×$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²=ab+$\frac{1}{2}$c²，
∴$\frac{1}{2}$(a + b)²=ab+$\frac{1}{2}$c²，即a² + b²=c²　
(3)能　答案不唯一，如图②所示
　

9. “面积法”是证明勾股定理的常用方法.将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
请补全下面的证明过程.
证明:如图,连接BD,过点B作△BDE的边DE上的高,交DE的延长线于点F,易得BF=b-a.
∵ $S_{五边形ACBED}=$,
又∵ $S_{五边形ACBED}=$,
∴ ,
∴ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
]

9.答案不唯一，如S△ACB+S△ABE+S△ADE=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab　S△ACB+S△ABD+S△BDE=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a(b−a)　$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a(b−a)