9. (2023·济宁)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是$1$个单位长度，点$A,B,C,D,E$均在小正方形的顶点上，线段$AB,CD$交于点$F$. 若$\angle CFB=\alpha$，则$\angle ABE$的度数为()

A.$180^{\circ}-\alpha$
B.$180^{\circ}-2\alpha$
C.$90^{\circ}+\alpha$
D.$90^{\circ}+2\alpha$
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9.C　解析:如图，过点B作BG//CD,连接EG.由BG//CD,得∠ABG=∠CFB=α.根据勾股定理，得BG²=17，BE²=17,EG²=34,则BG²+BE²=EG²,
∴∠GBE=90°,
∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.
　　　　　　　

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 10,AC = 8,BC = 6,DE$是$AC$的垂直平分线，$DE$交$AB$于点$D$，连接$CD$，则$CD$的长为.
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10.5

11. (2025·苏州期末)定义：若三角形一条边上的高等于这条边长的$2$倍，则这个三角形叫作“高倍底”三角形，这条边叫作这个三角形的“基底”. 有下列三角形：① 等边三角形；② 等腰直角三角形；③ 三边长分别是$1,2,\sqrt{5}$的三角形. 其中，属于“高倍底”三角形的是(填序号).

11.③

①设等边三角形边长为$a$，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a\neq 2a$，不是“高倍底”三角形；
②设等腰直角三角形直角边为$a$，斜边为$\sqrt{2}a$。直角边上的高为$a$，$a\neq 2a$；斜边上的高为$\frac{a}{\sqrt{2}}$，$\frac{a}{\sqrt{2}}\neq 2\sqrt{2}a$，不是“高倍底”三角形；
③三边长为$1$，$2$，$\sqrt{5}$，因为$1^2 + 2^2 = (\sqrt{5})^2$，是直角三角形。两直角边为$1$，$2$，斜边为$\sqrt{5}$。以$1$为底，高为$2$，$2 = 2×1$，是“高倍底”三角形。
③

12. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = 3,AD = 4,BC = 13,CD = 12,\angle A = 90^{\circ}$，求四边形$ABCD$的面积.
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12.连接BD.
∵∠A=90°,
∴AB²+AD²=BD².
∵AB=3,AD=4,
∴BD²=3²+4²=25,
∴BD=5.
∵BD²+CD²=5²+12²=169,BC²=13²=169,
∴BD²+CD²=BC²,
∴∠BDC=90°,
∴S四边形ABCD=S△BAD+S△BDC=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×5×12=36

13. 如图，$P$是等边三角形$ABC$内的一点，$PA = 6,PB = 8,PC = 10$. 若$P'$是$\triangle ABC$外的一点，且$\triangle P'AB\cong\triangle PAC$，求点$P$与点$P'$之间的距离及$\angle APB$的度数.
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13.如图,连接PP'.
∵△P'AB≌△PAC,
∴∠BAP'=∠CAP,AP'=AP=6,P'B=PC=10.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠CAP+∠PAB=60°,
∴∠P'AP=∠BAP'+∠PAB=60°,
∴△P'AP是等边三角形,
∴AP=AP'=P'P=6,∠APP'=60°,
∴点P与点P'之间的距离为6.
∵P'P²+PB²=6²+8²=100,P'B²=10²=100,
∴P'P²+PB²=P'B²,
∴∠P'PB=90°,
∴∠APB=∠P'PB+∠APP'=150°