9. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ AC = BC $,将$ \triangle ABC $绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $,得到$ \triangle ADE $,连接 $ BD $,$ BE $.
(1)判断$ \triangle ABD $的形状;
(2)求证:$ BE 平分 \angle ABD $.

解：(1) $\because AB = AD$，$\angle BAD = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABD$ 是等边三角形；
(2) $\because AC = AE$，$BC = DE$，$AC = BC$，
$\therefore AE = DE$。
$\because AB = DB$，$BE = BE$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DBE(SSS)$，
$\therefore \angle ABE = \angle DBE$，
即 $BE$ 平分 $\angle ABD$。

10. (教材 $ \text{P}_{60} $ 例变式)如图,$ E $ 是正方形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 上的一点,在 $ DE $ 的右侧作等腰直角$ \triangle DEF $,$ \angle EDF = 90^{\circ} $,连接 $ CF $.
(1)$ \triangle DCF 可以由 \triangle DAE $旋转变换得到,写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小;
(2)过点 $ D $ 作 $ DM \perp EF $于点 $ M $,交 $ BC $ 于点 $ N $,若 $ BN = 2 $,$ CN = 3 $,求 $ AE $ 的长.

解：(1) 旋转中心是点 $D$，逆时针，$90^{\circ}$；
(2) 连接 $EN$。由旋转得 $\angle DCF = \angle DAE = \angle DCB = 90^{\circ}$，
$\therefore$ 点 $B$，$C$，$F$ 共线。
$\because DE = DF$，$DM \perp EF$，
$\therefore \angle EDM = \angle FDM$，
$\because DN = DN$，
$\therefore \triangle DEN \cong \triangle DFN$，
$\therefore EN = FN$。设 $AE = CF = x$，
$\because BC = BN + CN = 2 + 3 = 5$，
$\therefore BE = 5 - x$，$EN = FN = 3 + x$。
在 $Rt\triangle BEN$ 中，
$\because BE^{2} + BN^{2} = EN^{2}$，
$\therefore (5 - x)^{2} + 2^{2} = (3 + x)^{2}$，
$\therefore x = \frac{5}{4}$，$\therefore AE = \frac{5}{4}$。

11. (2024 湖北元调改)在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,将$ \triangle ABC $绕点 $ A $ 顺时针旋转得到$ \triangle ADE $,旋转角小于$ \angle CAB $,点 $ B $ 的对应点为点 $ D $,点 $ C $ 的对应点为点 $ E $,延长 $ DE $ 交 $ BC $ 于点 $ P $.
(1)如图 1,求证:$ PC = PE $;
(2)如图 2,当 $ AD // BC $ 时,连接 $ BD $,$ CE $,延长 $ CE $ 交 $ BD $ 于点 $ F $,求证:$ DF = BF $.

解：(1) 连接 $AP$。
由旋转的性质知，$AC = AE$，
$\angle AED = \angle C = \angle AEP = 90^{\circ}$。
$\because AP = AP$，
$\therefore Rt\triangle APE \cong Rt\triangle APC(HL)$，
$\therefore PC = PE$；
(2) 连接 $AP$，延长 $AD$ 和 $CF$ 交于点 $H$。由(1)知 $PE = PC$，
$\therefore \angle PEC = \angle PCE$。
$\because AD // BC$，
$\therefore \angle DHE = \angle PCE = \angle PEC = \angle DEH$，
$\therefore DE = DH = BC$。
在 $\triangle DFH$ 和 $\triangle BFC$ 中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle DFH = \angle BFC,\\\angle DHF = \angle BCF,\\DH = BC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DFH \cong \triangle BFC(AAS)$，
$\therefore DF = BF$。