1. 如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA、OB.若∠O=130°，则∠BAC的度数是()

A.60°
B.65°
C.70°
D.75°

B

∵OA=OB，∠O=130°，∴∠OAB=∠OBA=(180°-130°)/2=25°.
∵AC与⊙O相切于点A，∴OA⊥AC，∠OAC=90°.
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-25°=65°.

2. (2024·山西)如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为.

50

∵AC与⊙O相切于点A，AB为直径，∴OA⊥AC，即∠BAC=90°。
∵∠AOD=80°，OA=OD，∴∠ABD=∠AOD/2=40°（同弧所对圆周角是圆心角一半）。
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-90°-40°=50°。

3. 如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC.
(1)若∠D=30°，则∠CBE的度数为；
(2)(2024·临夏改编)若DC=8，DA=4，则AB的长为.

30°；12

(1)∵DC与⊙O相切于点C，∴OC⊥DC，∠OCD=90°。∵BE⊥DC，∴OC//BE。∠D=30°，在Rt△OCD中，∠DOC=60°。OB=OC，△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB。∠DOC=∠OBC+∠OCB=2∠OBC，∴∠OBC=30°。∵OC//BE，∴∠CBE=∠OCB=∠OBC=30°。
(2)由切割线定理得DC²=DA·DB。DC=8，DA=4，∴8²=4·DB，DB=16。∵DB=DA+AB，∴AB=DB-DA=16-4=12。

4. （2024·姑苏区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD平分∠BAC，与过点B的⊙O的切线交于点D，与⊙O交于点E，与BC交于点F.求证：E为线段DF的中点.

证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角是直角），即BE⊥AD，
∴∠BED=∠BEF=90°.
∵BD是⊙O的切线，
∴AB⊥BD（切线垂直于过切点的半径），即∠ABD=90°.
∵AD平分∠BAC，设∠CAD=∠BAD=α，
∴∠CAB=2α.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-2α.
在Rt△ABE中，∠BAE=α，∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-α，
∴∠EBF=∠ABE-∠ABC=(90°-α)-(90°-2α)=α.
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，
∴∠D=90°-∠BAD=90°-α.
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴∠DBE=90°-∠D=90°-(90°-α)=α，
∴∠DBE=∠EBF=α.
在△BDE和△BFE中，
∠DBE=∠FBE，
BE=BE，
∠BED=∠BEF，
∴△BDE≌△BFE（ASA），
∴DE=EF，
即E为线段DF的中点.

5. (2024·福建)如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，则∠ACM等于()

A.18°
B.30°
C.36°
D.72°

A

连接OC。因为C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，∠AOB=72°，所以∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=36°。由于OA=OC，故∠OAC=∠OCA=(180°-36°)÷2=72°。因为MN与⊙O相切于点C，所以OC⊥MN，即∠OCM=90°。因此∠ACM=∠OCM - ∠OCA=90° - 72°=18°。

6. 如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，连接AB，直线l与⊙O相切于点C，连接OD并延长交直线l于点F.若AE=2，∠ABC=22.5°，则CF的长为()

A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4

B

连接OA，OD。
∵BC为⊙O直径，AD⊥BC于E，由垂径定理得AE=ED=2，故AD=4。
∵∠ABC=22.5°（圆周角），∴所对弧AC度数=2×22.5°=45°，圆心角∠AOC=45°。
由垂径定理，BC垂直平分AD，∴弧AC=弧CD=45°，弧AD=90°，圆心角∠AOD=90°。
∵OA=OD（半径），△AOD为等腰直角三角形，AD=4，∴OA²+OD²=AD²，即2OA²=16，OA=2√2，故OC=OA=2√2。
∵直线l切⊙O于C，∴OC⊥l（切线性质），∠OCF=90°。
OD延长交l于F，∠DOC=弧CD度数=45°，即∠COF=45°。
在Rt△OCF中，∠COF=45°，∴OC=CF=2√2。