7. (2024·包头)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA、OB.若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为.

105

连接OC，∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥CP，∠OCP=90°。∵∠BCP=35°，∴∠OCB=∠OCP-∠BCP=90°-35°=55°。∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=55°。
∵∠AOB=140°，OA=OB，∴∠OBA=(180°-140°)/2=20°。∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=20°+55°=75°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°。∴∠ADC=180°-75°=105°。

8. 如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C.若∠A=32°，则∠ADO的度数为.

32

连接OC，∵BC是⊙O的切线，∴OC⊥BC（切线性质）。
在△ABC中，∠B=90°，∠A=32°，∴∠ACB=180°-90°-32°=58°。
∵OC⊥BC，∠B=90°，∴OC//AB（垂直于同一直线的两直线平行）。
∴∠OCA=∠A=32°（内错角相等）。
∵OA=OC（半径相等），∴∠OAC=∠OCA=32°。
∵OA=OD（半径相等），∴∠ADO=∠OAD=32°。

9. 如图，在平面直角坐标系中，以点M(2，3)为圆心、AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于点A、C，则点B的坐标是.

(4,3-√5)

因为圆以点M(2,3)为圆心且与x轴相切，所以半径r=3（圆心到x轴距离）。圆与y轴交于A，设A(0,a)，A在圆上，由距离公式得√[(2-0)²+(3-a)²]=3，解得(3-a)²=5，a=3±√5。M是AB中点，设B(x,y)，由中点坐标公式(0+x)/2=2，(a+y)/2=3，得x=4，y=6-a。取A为(0,3+√5)（上交点），则y=6-(3+√5)=3-√5，故B(4,3-√5)。

10. （2024·苏州期末改编）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D.
（1）求证：∠BCD=∠A；
（2）若BD=2，CD=4，求AC·BC的值.

（1）证明见上述过程；（2）72/5．

（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∠OCD=90°，即∠OCB+∠BCD=90°．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠ACO=∠BCD．
∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，
∴∠BCD=∠A．
（2）设⊙O半径为r，
∵CD是切线，OC⊥CD，∴OC²+CD²=OD²．
∵OC=r，OD=OB+BD=r+2，CD=4，
∴r²+4²=(r+2)²，解得r=3，∴AB=2r=6．
∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，∴△BCD∽△CAD，
∴BC/AC=BD/CD=2/4=1/2，即AC=2BC．
设BC=x，则AC=2x，在Rt△ABC中，x²+(2x)²=6²，
解得x²=36/5，∴AC·BC=2x·x=2x²=72/5．

11. （2023·济南）如图，AB、CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC=2∠BCP，E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，弦CE与BD相交于点F.
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF=3，求⊙O的直径.

（1）∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥CP，即∠OCP=90°。设∠BCP=x，则∠ABC=2x。
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=2x。
∵∠OCP=∠OCB+∠BCP=90°，∴2x+x=90°，解得x=30°。
∴∠OCB=2x=60°。
（2）由（1）知∠BOC=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，BC=OB=OC=r（设半径为r）。
∠BOD=180°-∠BOC=120°，OB=OD=r，∴BD=2r·sin60°=r√3。
E是弧BD中点，∠BOE=∠DOE=60°，∴△BOE、△DOE是等边三角形，BE=DE=r，∠OBE=∠ODE=60°。
∠OBD=30°，∴∠FBE=∠OBE-∠OBD=30°。
∠BEC=1/2∠BOC=30°（圆周角定理），∴∠FBE=∠BEC，△BFE中BF=EF=3。
∠BCF=1/2∠BOE=30°（圆周角定理），∠CBF=∠OBD=30°，∴△CFB中CF=BF=3。
CE=CF+EF=6，又CE=2r·sin60°=r√3，∴r√3=6，r=2√3。
直径=2r=4√3。
（1）60°；（2）4√3。