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1. 下列四边形中，一定有内切圆的是()
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
答案
C
解析
对于一个四边形存在内切圆，必须满足四边形的两组对边之和分别相等。对于选项中的四边形分析如下：
A. 平行四边形不满足对边和相等的条件（除非是菱形）。
B. 矩形不满足对边和相等的条件（除非是正方形）。
C. 菱形满足两组对边之和相等，因此一定存在内切圆。
D. 等腰梯形不满足两组对边之和相等的条件。
因此，只有菱形一定有内切圆。
A. 平行四边形不满足对边和相等的条件（除非是菱形）。
B. 矩形不满足对边和相等的条件（除非是正方形）。
C. 菱形满足两组对边之和相等，因此一定存在内切圆。
D. 等腰梯形不满足两组对边之和相等的条件。
因此，只有菱形一定有内切圆。
2. (2023·聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB、IA. 若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为()
A.15°
B.17.5°
C.20°
D.25°
A.15°
B.17.5°
C.20°
D.25°
答案
C
解析
∵点I是△ABC的内心，∴IA平分∠CAB，∵∠CAI=35°，∴∠CAB=2∠CAI=70°。
∵点O是△ABC外接圆的圆心（外心），∴∠BOC=2∠CAB=2×70°=140°（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）。
∵OB=OC（外接圆半径相等），∴△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB。
在△OBC中，∠OBC=(180°-∠BOC)/2=(180°-140°)/2=20°。
∵点O是△ABC外接圆的圆心（外心），∴∠BOC=2∠CAB=2×70°=140°（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）。
∵OB=OC（外接圆半径相等），∴△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB。
在△OBC中，∠OBC=(180°-∠BOC)/2=(180°-140°)/2=20°。
3. 如图，△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D、E、F，连接EF、DE、DF，作∠ABC的平分线BP. 有下列说法：①射线BP一定过点O；②O是△DEF三条中线的交点；③若△ABC是等边三角形，则DE=$\frac{1}{2}$BC；④O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点. 其中，正确的是(填序号).
答案
①③
解析
① 三角形的内角平分线交点为内心，内心是内切圆的圆心，因此 $\angle ABC$ 的平分线必然经过内心 $O$，故①正确。
② $O$ 是内切圆的圆心，而不是 $\triangle DEF$ 的中线交点，故②错误。
③ 若 $\triangle ABC$ 是等边三角形，则内切圆各切点形成的 $\triangle DEF$ 也是等边三角形，且边长为原三角形边长的一半，因此 $DE = \frac{1}{2} BC$，故③正确。
④ $O$ 是 $\triangle DEF$ 的内切圆圆心，即内角平分线交点，而不是垂直平分线交点，故④错误。
② $O$ 是内切圆的圆心，而不是 $\triangle DEF$ 的中线交点，故②错误。
③ 若 $\triangle ABC$ 是等边三角形，则内切圆各切点形成的 $\triangle DEF$ 也是等边三角形，且边长为原三角形边长的一半，因此 $DE = \frac{1}{2} BC$，故③正确。
④ $O$ 是 $\triangle DEF$ 的内切圆圆心，即内角平分线交点，而不是垂直平分线交点，故④错误。
4. (2023·镇江)已知直角三角形的两条直角边的长分别是8和15，则该三角形内切圆的直径为.
答案
6。
解析
设直角三角形的两条直角边分别为$a$和$b$，斜边为$c$，内切圆的半径为$r$。
根据勾股定理，斜边$c$的长度为：
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$，
直角三角形的内切圆半径$r$的公式为：
$r = \frac{a + b - c}{2}$，
将已知的$a$，$b$，$c$值代入公式中，得：
$r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$，
因此，内切圆的直径为半径的两倍，即：
$直径 = 2r = 2 × 3 = 6$。
根据勾股定理，斜边$c$的长度为：
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$，
直角三角形的内切圆半径$r$的公式为：
$r = \frac{a + b - c}{2}$，
将已知的$a$，$b$，$c$值代入公式中，得：
$r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$，
因此，内切圆的直径为半径的两倍，即：
$直径 = 2r = 2 × 3 = 6$。
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD=DF，连接CF、BE. 求证：
（1）DB=DE；
（2）直线CF为⊙O的切线.
（1）DB=DE；
（2）直线CF为⊙O的切线.
答案
（1）∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°（直径所对圆周角是直角）。
∵E为△ABC内心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE=45°，∠ABE=∠CBE。
∵∠BAE=∠CAE，∴弧BD=弧CD（等圆周角对等弧），又BC为直径，弧BC=180°，∴弧BD=弧CD=90°。
∴∠BCD=1/2弧BD=45°（圆周角定理），∠DBA=∠BCD=45°（同弧AD所对圆周角相等）。
在△DEB中，∠DEB=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE（三角形外角性质），∠DBE=∠DBA+∠ABE=45°+∠ABE，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE。
（2）由（1）弧BD=弧CD，得DB=DC（等弧对等弦）。
∵BD=DF，∴DB=DC=DF。
在△BCF中，D为BF中点且DC=1/2BF，∴∠BCF=90°（直角三角形斜边中线性质逆定理）。
∴CF⊥BC，又OC为⊙O半径，∴CF为⊙O切线。
∵E为△ABC内心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE=45°，∠ABE=∠CBE。
∵∠BAE=∠CAE，∴弧BD=弧CD（等圆周角对等弧），又BC为直径，弧BC=180°，∴弧BD=弧CD=90°。
∴∠BCD=1/2弧BD=45°（圆周角定理），∠DBA=∠BCD=45°（同弧AD所对圆周角相等）。
在△DEB中，∠DEB=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE（三角形外角性质），∠DBE=∠DBA+∠ABE=45°+∠ABE，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE。
（2）由（1）弧BD=弧CD，得DB=DC（等弧对等弦）。
∵BD=DF，∴DB=DC=DF。
在△BCF中，D为BF中点且DC=1/2BF，∴∠BCF=90°（直角三角形斜边中线性质逆定理）。
∴CF⊥BC，又OC为⊙O半径，∴CF为⊙O切线。
6. (2024·滨州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB、BC、CA的长分别为c、a、b，则可以用含c、a、b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是()
A.d=a+b-c
B.d=$\frac{2ab}{a+b+c}$
C.d=$\sqrt{2(c-a)(c-b)}$
D.d=|(a-b)(c-b)|
A.d=a+b-c
B.d=$\frac{2ab}{a+b+c}$
C.d=$\sqrt{2(c-a)(c-b)}$
D.d=|(a-b)(c-b)|
答案
D
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，内切圆半径为r，直径d=2r。
由内切圆半径公式r=(a+b-c)/2，得d=2r=a+b-c，故A正确；
由面积S=ab/2=rp（p=(a+b+c)/2为半周长），得r=ab/(a+b+c)，则d=2r=2ab/(a+b+c)，故B正确；
计算(c-a)(c-b)=c² -c(a+b)+ab=a²+b² -c(a+b)+ab（c²=a²+b²），则2(c-a)(c-b)=2(a²+b² -c(a+b)+ab)=(a+b-c)²=d²，故d=√[2(c-a)(c-b)]，C正确；
对3-4-5直角三角形，d=3+4-5=2，而|(3-4)(5-4)|=1≠2，故D错误。
由内切圆半径公式r=(a+b-c)/2，得d=2r=a+b-c，故A正确；
由面积S=ab/2=rp（p=(a+b+c)/2为半周长），得r=ab/(a+b+c)，则d=2r=2ab/(a+b+c)，故B正确；
计算(c-a)(c-b)=c² -c(a+b)+ab=a²+b² -c(a+b)+ab（c²=a²+b²），则2(c-a)(c-b)=2(a²+b² -c(a+b)+ab)=(a+b-c)²=d²，故d=√[2(c-a)(c-b)]，C正确；
对3-4-5直角三角形，d=3+4-5=2，而|(3-4)(5-4)|=1≠2，故D错误。
