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7. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ }$，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的$\odot O$分别交AC、BC于点M、N，过点N作$NE⊥AB$，垂足为E，则NE与$\odot O$的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
答案
B
解析
连接ON。
∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，∴CD=BD，∠DCB=∠B。
∵O是CD中点，ON是⊙O半径，∴OC=ON，∠OCN=∠ONC。
∴∠ONC=∠B，故ON//AB。
∵NE⊥AB，∴NE⊥ON。
∵ON为⊙O半径，∴NE与⊙O相切。
∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，∴CD=BD，∠DCB=∠B。
∵O是CD中点，ON是⊙O半径，∴OC=ON，∠OCN=∠ONC。
∴∠ONC=∠B，故ON//AB。
∵NE⊥AB，∴NE⊥ON。
∵ON为⊙O半径，∴NE与⊙O相切。
8. (新考法·条件开放题)如图，CD是$\odot O$的直径，BD是$\odot O$的弦，延长DC到点A，使$∠ABD=120^{\circ }$，连接BC.有下列条件：①$AC=BC$；②$AC=OC$；③$OC=BC$；④$AB=BD$.从中添加一个条件，能使AB是$\odot O$的切线的为(填序号).
答案
③④
解析
要使AB是$\odot O$的切线，需证$AB\perp OB$，即$\angle ABO=90°$。已知CD是直径，$\angle CBD=90°$（直径所对圆周角为直角），$\angle ABD=120°$，故$\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD=30°$。因此$\angle ABO=\angle ABC+\angle CBO=30°+\angle CBO=90°$，需$\angle CBO=60°$。
条件③：$OC=BC$。$\because OB=OC$（半径），$\therefore OB=OC=BC$，$\triangle OBC$为等边三角形，$\angle CBO=60°$，则$\angle ABO=90°$，AB是切线。
条件④：$AB=BD$。$\therefore \angle BAD=\angle ADB$，$\angle ABD=120°$，$\angle ADB=(180°-120°)/2=30°$。$\because OB=OD$，$\angle ODB=30°$，$\angle OBD=30°$，$\angle BOD=120°$，$\angle BOC=60°$，$\triangle OBC$为等边三角形，$\angle CBO=60°$，则$\angle ABO=90°$，AB是切线。
条件①、②无法推出$\angle CBO=60°$。
条件③：$OC=BC$。$\because OB=OC$（半径），$\therefore OB=OC=BC$，$\triangle OBC$为等边三角形，$\angle CBO=60°$，则$\angle ABO=90°$，AB是切线。
条件④：$AB=BD$。$\therefore \angle BAD=\angle ADB$，$\angle ABD=120°$，$\angle ADB=(180°-120°)/2=30°$。$\because OB=OD$，$\angle ODB=30°$，$\angle OBD=30°$，$\angle BOD=120°$，$\angle BOC=60°$，$\triangle OBC$为等边三角形，$\angle CBO=60°$，则$\angle ABO=90°$，AB是切线。
条件①、②无法推出$\angle CBO=60°$。
9. (2024·武汉改编)如图，$△ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E、F两点.
（1）求证：AB与半圆O相切；
（2）若$CD=4,CF=2$，求EF的长.
（1）求证：AB与半圆O相切；
（2）若$CD=4,CF=2$，求EF的长.
答案
（1）见解析；（2）6。
解析
（1）证明：连接OD，过点O作OG⊥AB于G。
∵△ABC为等腰三角形，O是BC中点，∴AO平分∠BAC。
∵AC与半圆O相切于D，∴OD⊥AC。
∵AO平分∠BAC，OD⊥AC，OG⊥AB，∴OG=OD。
∵OD为半圆O半径，∴OG为半圆O半径。
∵OG⊥AB，∴AB与半圆O相切。
（2）设半圆O半径为r，则OD=OF=r。
∵CF=2，∴OC=OF+CF=r+2。
∵AC与半圆O相切于D，∴OD⊥AC。
在Rt△ODC中，OD²+CD²=OC²，即r²+4²=(r+2)²。
解得r=3。
∵E、F为半圆O与BC交点，∴EF=2r=6。
∵△ABC为等腰三角形，O是BC中点，∴AO平分∠BAC。
∵AC与半圆O相切于D，∴OD⊥AC。
∵AO平分∠BAC，OD⊥AC，OG⊥AB，∴OG=OD。
∵OD为半圆O半径，∴OG为半圆O半径。
∵OG⊥AB，∴AB与半圆O相切。
（2）设半圆O半径为r，则OD=OF=r。
∵CF=2，∴OC=OF+CF=r+2。
∵AC与半圆O相切于D，∴OD⊥AC。
在Rt△ODC中，OD²+CD²=OC²，即r²+4²=(r+2)²。
解得r=3。
∵E、F为半圆O与BC交点，∴EF=2r=6。
10. 如图，四边形ABCD是正方形，点A、B在$\odot O$上，边DA的延长线交$\odot O$于点E，对角线DB的延长线交$\odot O$于点F，连接EF并延长至点G，使$∠FBG=∠FAB$.
（1）求证：BG与$\odot O$相切；
（2）若$\odot O$的半径为1，求AF的长.
（1）求证：BG与$\odot O$相切；
（2）若$\odot O$的半径为1，求AF的长.
答案
（1）见解析；（2）√2。
解析
（1）连接OB、OF。
∵∠FAB是⊙O的圆周角，∠FOB是弧FB所对的圆心角，
∴∠FOB=2∠FAB。设∠FAB=α，则∠FOB=2α。
∵OB=OF，∴△FOB为等腰三角形，∠OBF=(180°-∠FOB)/2=(180°-2α)/2=90°-α。
∵∠FBG=∠FAB=α，∴∠OBG=∠OBF+∠FBG=(90°-α)+α=90°。
∵OB是⊙O的半径，∴BG⊥OB，故BG与⊙O相切。
（2）∵ABCD是正方形，∴∠ABD=45°。F在DB延长线上，∴∠ABF=180°-45°=135°。
在△ABF中，∠AFB=180°-∠ABF-∠FAB=180°-135°-α=45°-α。
∠AFB是圆周角，所对弧AB，故弧AB的圆心角∠AOB=2∠AFB=2(45°-α)=90°-2α。
∠FOB=2α（已证），∴∠AOF=∠AOB+∠FOB=90°-2α+2α=90°。
∵OA=OF=1，∠AOF=90°，∴AF=√(OA²+OF²)=√(1²+1²)=√2。
∵∠FAB是⊙O的圆周角，∠FOB是弧FB所对的圆心角，
∴∠FOB=2∠FAB。设∠FAB=α，则∠FOB=2α。
∵OB=OF，∴△FOB为等腰三角形，∠OBF=(180°-∠FOB)/2=(180°-2α)/2=90°-α。
∵∠FBG=∠FAB=α，∴∠OBG=∠OBF+∠FBG=(90°-α)+α=90°。
∵OB是⊙O的半径，∴BG⊥OB，故BG与⊙O相切。
（2）∵ABCD是正方形，∴∠ABD=45°。F在DB延长线上，∴∠ABF=180°-45°=135°。
在△ABF中，∠AFB=180°-∠ABF-∠FAB=180°-135°-α=45°-α。
∠AFB是圆周角，所对弧AB，故弧AB的圆心角∠AOB=2∠AFB=2(45°-α)=90°-2α。
∠FOB=2α（已证），∴∠AOF=∠AOB+∠FOB=90°-2α+2α=90°。
∵OA=OF=1，∠AOF=90°，∴AF=√(OA²+OF²)=√(1²+1²)=√2。
