1. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧，下列格点中，与点B的连线能够与该圆弧相切的是()

A.$(0,3)$
B.$(2,3)$
C.$(5,1)$
D.$(6,1)$

C

设A(1,2)、B(3,2)、C(4,1)，求过A、B、C三点的圆的圆心。AB垂直平分线为x=2，BC垂直平分线方程为y=x-2，交点圆心O(2,0)。半径OB斜率为(2-0)/(3-2)=2，切线斜率为-1/2。切线方程：y-2=-1/2(x-3)。代入选项C(5,1)：左边=1-2=-1，右边=-1/2(5-3)=-1，等式成立，故(5,1)在切线上。

2. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ }$，以BC为直径作$\odot O$，交斜边AB于点E，D为AC的中点，连接DO、DE.下列结论不一定正确的是()

A.$DO// AB$
B.$△ADE$是等腰三角形
C.$DE⊥AC$
D.DE是$\odot O$的切线

C

选项A：D为AC中点，O为BC中点（BC为直径，圆心O为BC中点），则DO为△ABC中位线，由中位线定理得DO//AB，A正确。
选项B：BC为直径，∠BEC=90°（直径所对圆周角为直角），即CE⊥AB，△AEC为Rt△。D为AC中点，DE为Rt△AEC斜边AC上的中线，故DE=AD（直角三角形斜边中线等于斜边一半），△ADE为等腰三角形，B正确。
选项C：DE=AD（已证），但DE⊥AC需∠A=45°，题目未限定∠A度数，故DE不一定垂直AC，C不一定正确。
选项D：连接OE，DE=DC（斜边中线）得∠DCE=∠DEC；OC=OE（半径）得∠OCE=∠OEC。∠ACB=90°，则∠DCE+∠OCE=90°，故∠DEC+∠OEC=90°，即DE⊥OE（OE为半径），DE是⊙O切线，D正确。

3. 如图，A、B是$\odot O$上的两点，AC是过点A的一条直线.若$∠AOB=120^{\circ }$，则当$∠CAB=$°时，AC才能成为$\odot O$的切线.

60

∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=(180°-120°)/2=30°.
∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，即∠OAC=90°.
∴∠CAB=∠OAC-∠OAB=90°-30°=60°.

4. 如图，在$△ABC$中，$∠ABC=90^{\circ },∠ACB$的平分线交边AB于点P，以点P为圆心，PB为半径作$\odot P$，则AC与$\odot P$的位置关系是.

相切

过点P作PD⊥AC于点D，∵PC平分∠ACB，∠ABC=90°，PB⊥BC，PD⊥AC，∴PD=PB（角平分线上的点到角两边距离相等）。∵PB为⊙P半径，∴PD为⊙P半径，又PD⊥AC，∴AC与⊙P相切。

5. (2024·淮安)如图，在$△ABC$中，$BA=BC$，以AB为直径作$\odot O$交AC于点D，过点D作$DE⊥BC$，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F.求证：DF为$\odot O$的切线.

证明：连接OD.
∵BA=BC，∴△ABC为等腰三角形.
∵AB为⊙O直径，D在⊙O上，∴∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角），即BD⊥AC.
∵BA=BC，BD⊥AC，∴AD=DC（等腰三角形三线合一）.
∵O为AB中点，D为AC中点，∴OD为△ABC中位线.
∴OD//BC（三角形中位线平行于第三边）.
∵DE⊥BC，∴DE⊥OD（两平行线中一条垂直于第三条直线，另一条也垂直）.
∵OD为⊙O半径，∴DF为⊙O切线（切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线为切线）.

6. 如图，在$△ABC$中，$∠A=28^{\circ }$，以AB为直径的$\odot O$交AC于点D，$DE// CB$，连接BD.若添加一个条件，使BC是$\odot O$的切线，则下列四个条件不符合的是()

A.$DE⊥AB$
B.$∠EDB=28^{\circ }$
C.$∠ADE=∠ABD$
D.$OB=BC$

D

要使BC是⊙O的切线，需∠ABC=90°（AB为直径，切线垂直于直径）。已知∠A=28°，AB为直径，故∠ADB=90°，∠ABD=62°，DE//CB得∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C。
选项A：DE⊥AB→∠AED=90°，由DE//CB得∠ABC=∠AED=90°，符合。
选项B：∠EDB=28°，DE//CB→∠DBC=∠EDB=28°，∠ABC=∠ABD+∠DBC=62°+28°=90°，符合。
选项C：∠ADE=∠ABD=62°，DE//CB→∠C=∠ADE=62°，∠ABC=180°-28°-62°=90°，符合。
选项D：OB=BC仅表明BC等于半径，无法推出∠ABC=90°，不符合。