8. 已知$\odot O$的半径为R,点O到直线l的距离为d,且R、d是方程$x^{2}-4x+m=0$的两个根,当直线l与$\odot O$相切时,m的值为.

$4$

由题意，当直线$l$与$\odot O$相切时，$d = R$。
因为$R$，$d$是方程$x^{2} - 4x + m = 0$的两个根，根据判别式的意义，当相切时即$d=R$，也就是方程有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^{2}-4x + m = 0$中，$a = 1$，$b=-4$，$c = m$，则$\Delta=(-4)^{2}-4m=0$，
即$16 - 4m=0$，
解得$m = 4$。

9. 如图,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即$OM=d$.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如$d=0$时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有4个到直线l的距离等于1的点,即$m=4$.
(1) 当$d=3$时,$m=$;
(2) 当$m=2$时,d的取值范围是.

1；$1 ＜ d ＜ 3$

（1）圆半径$r=2$，圆心到直线$l$距离$d=3$。到直线$l$距离为1的点构成两条平行于$l$的直线$l_1$、$l_2$。圆心到$l_1$的距离$d_1=|d - 1|=|3 - 1|=2=r$，故$l_1$与圆相切，交点数$n_1=1$；圆心到$l_2$的距离$d_2=d + 1=4 ＞ r$，故$l_2$与圆相离，交点数$n_2=0$。因此$m=n_1 + n_2=1 + 0=1$。
（2）$m=2$时，需两条平行线与圆交点数之和为2。$l_2$（异侧）与圆交点数$n_2$：当$d ＞ 1$时，$d_2=d + 1 ＞ 2=r$，$n_2=0$；$l_1$（同侧）与圆交点数$n_1$：当$1 ＜ d ＜ 3$时，$d_1=|d - 1| ＜ 2=r$，$n_1=2$。此时$m=n_1 + n_2=2 + 0=2$，故$d$的取值范围是$1 ＜ d ＜ 3$。

10. (易错题)在$Rt\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ },BC=4cm,AC=3cm$.以点C为圆心,r为半径作$\odot C$.
(1) 若边AB与$\odot C$没有公共点,求r的取值范围;
(2) 若边AB与$\odot C$有两个公共点,求r的取值范围;
(3) 若边AB与$\odot C$只有一个公共点,求r的取值范围.

(1) 在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AC=3cm$，$BC=4cm$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$。点$C$到$AB$的距离$d=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}cm=2.4cm$。当边$AB$与$\odot C$没有公共点时，直线$AB$与$\odot C$相离，故$r\lt d$，即$r\lt\frac{12}{5}cm$。
(2) 当边$AB$与$\odot C$有两个公共点时，直线$AB$与$\odot C$相交且两交点均在线段$AB$上。此时$d\lt r\leq AC$（$AC=3cm$），即$\frac{12}{5}cm\lt r\leq3cm$。
(3) 当边$AB$与$\odot C$只有一个公共点时，分两种情况：①直线$AB$与$\odot C$相切，此时$r=d=\frac{12}{5}cm$；②直线$AB$与$\odot C$相交且只有一个交点在线段$AB$上，此时$AC\lt r\leq BC$（$AC=3cm$，$BC=4cm$），即$3cm\lt r\leq4cm$。综上，$r=\frac{12}{5}cm$或$3cm\lt r\leq4cm$。
(1)$r\lt\frac{12}{5}cm$
(2)$\frac{12}{5}cm\lt r\leq3cm$
(3)$r=\frac{12}{5}cm$或$3cm\lt r\leq4cm$

11. 如图,O为坐标原点,点A的坐标为$(4,3),\odot A$的半径为2,过点A作直线$l// x$轴,交y轴于点B,点P在直线l上运动.
(1) 当点P在$\odot A$上时,请直接写出它的坐标;
(2) 若点P的横坐标为12,试判断直线OP与$\odot A$的位置关系,并说明理由.

(1) $ (2,3) $或$ (6,3) $；(2) 相交。

(1) ∵直线$ l // x $轴且过点$ A(4,3) $，∴直线$ l $的方程为$ y=3 $，设$ P(x,3) $。
∵点$ P $在$ \odot A $上，$ \odot A $半径为2，圆心$ A(4,3) $，
∴$ |x-4|=2 $，解得$ x=2 $或$ x=6 $，
∴点$ P $的坐标为$ (2,3) $或$ (6,3) $。
(2) 相交。理由如下：
∵点$ P $横坐标为12且在直线$ l $上，∴$ P(12,3) $。
直线$ OP $过原点$ O(0,0) $和$ P(12,3) $，斜率$ k=\frac{3-0}{12-0}=\frac{1}{4} $，
∴直线$ OP $的方程为$ y=\frac{1}{4}x $，即$ x-4y=0 $。
圆心$ A(4,3) $到直线$ OP $的距离$ d=\frac{|1×4 - 4×3|}{\sqrt{1^2+(-4)^2}}=\frac{|4-12|}{\sqrt{17}}=\frac{8}{\sqrt{17}} $。
∵$ d^2=\frac{64}{17}\approx3.76 $，$ r^2=4 $，$ d^2＜r^2 $，∴$ d＜r $，
∴直线$ OP $与$ \odot A $相交。