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1. (2023·吉林)一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$的根的判别式的值是 (
A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt {17}$
C
)A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt {17}$
答案
1. C
解析
解：对于一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$，其中$a=1$，$b=-5$，$c=2$。
根的判别式$\Delta =b^{2}-4ac$，
代入得$\Delta =(-5)^{2}-4×1×2$
$=25 - 8$
$=17$
C
根的判别式$\Delta =b^{2}-4ac$，
代入得$\Delta =(-5)^{2}-4×1×2$
$=25 - 8$
$=17$
C
2. 下列一元二次方程中,没有实数根的是 (
A.$x^{2}-2x-3=0$
B.$x^{2}+3x+2=0$
C.$x^{2}-2x+1=0$
D.$x^{2}+2x+3=0$
D
)A.$x^{2}-2x-3=0$
B.$x^{2}+3x+2=0$
C.$x^{2}-2x+1=0$
D.$x^{2}+2x+3=0$
答案
2. D
3. (2023·滨州)一元二次方程$x^{2}+3x-2=0$的根的情况为 (
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A
)A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
3. A
解析
对于一元二次方程$x^{2}+3x - 2 = 0$，其中$a = 1$，$b = 3$，$c=-2$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4×1×(-2)=9 + 8=17$。
因为$\Delta=17＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。
A
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4×1×(-2)=9 + 8=17$。
因为$\Delta=17＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。
A
4. 关于x的方程$x^{2}-x-m=0$有实数根,则实数m的取值范围是 (
A.$m＜\frac {1}{4}$
B.$m≤\frac {1}{4}$
C.$m≥-\frac {1}{4}$
D.$m＞-\frac {1}{4}$
C
)A.$m＜\frac {1}{4}$
B.$m≤\frac {1}{4}$
C.$m≥-\frac {1}{4}$
D.$m＞-\frac {1}{4}$
答案
4. C
解析
解：对于方程$x^{2}-x-m=0$，判别式$\Delta =(-1)^{2}-4×1×(-m)=1 + 4m$。
因为方程有实数根，所以$\Delta\geq0$，即$1 + 4m\geq0$。
解得$m\geq-\frac{1}{4}$。
C
因为方程有实数根，所以$\Delta\geq0$，即$1 + 4m\geq0$。
解得$m\geq-\frac{1}{4}$。
C
5. (2024·徐州)关于x的方程$x^{2}+kx+1=0$有两个相等的实数根,则k的值为
$\pm 2$
.答案
5. $\pm 2$
解析
解：
∵方程$x^{2}+kx+1=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta =k^{2}-4×1×1=0$，
即$k^{2}-4=0$，
解得$k=\pm 2$。
$\pm 2$
∵方程$x^{2}+kx+1=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta =k^{2}-4×1×1=0$，
即$k^{2}-4=0$，
解得$k=\pm 2$。
$\pm 2$
6. (2024·云南)若一元二次方程$x^{2}-2x+c=0$没有实数根,则实数c的取值范围是
$c＞1$
.答案
6. $c＞1$
解析
解：对于一元二次方程$x^{2}-2x+c=0$，其判别式$\Delta =(-2)^{2}-4×1× c=4 - 4c$。
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即$4 - 4c ＜ 0$，解得$c ＞ 1$。
$c ＞ 1$
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即$4 - 4c ＜ 0$，解得$c ＞ 1$。
$c ＞ 1$
7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2a+1)x+a^{2}=0$.
(1) 当a满足什么条件时,方程有两个相等的实数根?
(2) 当a满足什么条件时,方程有两个实数根?
(3) 当a满足什么条件时,方程没有实数根?
(1) 当a满足什么条件时,方程有两个相等的实数根?
(2) 当a满足什么条件时,方程有两个实数根?
(3) 当a满足什么条件时,方程没有实数根?
答案
7. (1)
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $[-(2a+1)]^{2}-4a^{2}=0$，即 $4a+1=0$，解得 $a=-\frac{1}{4}$ (2)
∵ 方程有两个实数根，
∴ $[-(2a+1)]^{2}-4a^{2}\geq 0$，即 $4a+1\geq 0$，解得 $a\geq -\frac{1}{4}$ (3)
∵ 方程没有实数根，
∴ $[-(2a+1)]^{2}-4a^{2}＜0$，即 $4a+1＜0$，解得 $a＜-\frac{1}{4}$
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $[-(2a+1)]^{2}-4a^{2}=0$，即 $4a+1=0$，解得 $a=-\frac{1}{4}$ (2)
∵ 方程有两个实数根，
∴ $[-(2a+1)]^{2}-4a^{2}\geq 0$，即 $4a+1\geq 0$，解得 $a\geq -\frac{1}{4}$ (3)
∵ 方程没有实数根，
∴ $[-(2a+1)]^{2}-4a^{2}＜0$，即 $4a+1＜0$，解得 $a＜-\frac{1}{4}$
8. (易错题)(2024·广安)若关于x的一元二次方程$(m+1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 (
A.$m＜0$且$m≠-1$
B.$m≥0$
C.$m≤0$且$m≠-1$
D.$m＜0$
A
)A.$m＜0$且$m≠-1$
B.$m≥0$
C.$m≤0$且$m≠-1$
D.$m＜0$
答案
8. A 解析：
∵ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m+1)x^{2}-2x+1=0$ 有两个不相等的实数根，
∴ $\begin{cases}m+1\neq 0,\\4-4(m+1)＞0,\end{cases}$ 解得 $m＜0$ 且 $m\neq -1$。
[易错分析]解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为 0”这一特征而错选 D。
∵ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m+1)x^{2}-2x+1=0$ 有两个不相等的实数根，
∴ $\begin{cases}m+1\neq 0,\\4-4(m+1)＞0,\end{cases}$ 解得 $m＜0$ 且 $m\neq -1$。
[易错分析]解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为 0”这一特征而错选 D。
9. (新考法·新定义题)(2023·遂宁)我们规定:对于任意实数a、b、c、d,有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$.其中,等式的右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$.若关于x的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,则m的取值范围是 (
A.$m＜\frac {1}{4}$且$m≠0$
B.$m≤\frac {1}{4}$
C.$m≤\frac {1}{4}$且$m≠0$
D.$m≥\frac {1}{4}$
C
)A.$m＜\frac {1}{4}$且$m≠0$
B.$m≤\frac {1}{4}$
C.$m≤\frac {1}{4}$且$m≠0$
D.$m≥\frac {1}{4}$
答案
9. C
解析
由题意得：$x(mx + 1)-m(2x - 1)=0$
整理得：$mx^{2}+(1 - 2m)x + m=0$
∵方程有两个实数根
∴$\left\{\begin{array}{l}m\neq0\\\Delta=(1 - 2m)^{2}-4m· m\geq0\end{array}\right.$
解得：$m\leq\frac{1}{4}$且$m\neq0$
C
整理得：$mx^{2}+(1 - 2m)x + m=0$
∵方程有两个实数根
∴$\left\{\begin{array}{l}m\neq0\\\Delta=(1 - 2m)^{2}-4m· m\geq0\end{array}\right.$
解得：$m\leq\frac{1}{4}$且$m\neq0$
C
