8. (2023·潍坊)利用某型号的计算器计算$\sqrt {5}$，显示结果为$2.236067977$. 借助显示结果，可以将方程$x^{2}+x-1=0$的正数解近似表示为(结果精确到$0.001$).

8. 0.618

解方程$x^{2}+x-1=0$，其中$a=1$，$b=1$，$c=-1$。
判别式$\Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×(-1)=1 + 4=5$。
由求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
正数解为$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，已知$\sqrt{5}\approx2.236067977$，则$x\approx\frac{-1 + 2.236067977}{2}=\frac{1.236067977}{2}\approx0.6180339885$，精确到$0.001$为$0.618$。
0.618

9. 若一元二次方程$3x^{2}+(m-1)x-4=0$中的$b^{2}-4ac=73$，则$m$的值为.

9. 6或-4 解析:由题意,得$ (m - 1)^{2} - 4×3×(- 4) = 73 $，$ \therefore (m - 1)^{2} = 25 $，$ \therefore m - 1 = ±5 $，解得$ m_{1} = 6 $，$ m_{2} = - 4 $.

10. 点$M$在数轴的负半轴上，点$N$在该数轴的正半轴上，且点$M$、$N$对应的数分别为$2x-2$、$x^{2}+x$. 当线段$MN$的长为$5$时，$x$的值为.

10. $ \frac{1 - \sqrt{13}}{2} $ 解析:根据题意,得$ (x^{2} + x) - (2x - 2) = 5 $，整理,得$ x^{2} - x - 3 = 0 $. $ \because a = 1 $，$ b = - 1 $，$ c = - 3 $，$ b^{2} - 4ac = (- 1)^{2} - 4×1×(- 3) = 13 $，$ \therefore x = \frac{-(- 1) ± \sqrt{13}}{2×1} = \frac{1 ± \sqrt{13}}{2} $. $ \because $点M在数轴的负半轴上，$ \therefore 2x - 2 ＜ 0 $，即$ x ＜ 1 $，$ \therefore x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} $，此时$ x^{2} + x ＞ 0 $，符合题意.

11. 用公式法解下列方程：
（1）$y^{2}+2\sqrt {2}y=6$；
（2）$(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1$；
（3）$(x+1)^{2}-2(x-1)^{2}=7$；
（4）$1-t^{2}=2t(2t-1)$.

11. (1) $ y_{1} = \sqrt{2} $，$ y_{2} = - 3\sqrt{2} $ (2) $ x_{1} = - 8 $，$ x_{2} = \frac{9}{2} $ (3) $ x_{1} = 4 $，$ x_{2} = 2 $ (4) $ t_{1} = \frac{1 + \sqrt{6}}{5} $，$ t_{2} = \frac{1 - \sqrt{6}}{5} $

（1）解：原方程整理得$y^{2}+2\sqrt{2}y - 6=0$，其中$a=1$，$b=2\sqrt{2}$，$c=-6$，$\Delta=(2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-6)=8 + 24=32$，$y=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{-2\sqrt{2}\pm4\sqrt{2}}{2}$，即$y_{1}=\sqrt{2}$，$y_{2}=-3\sqrt{2}$；
（2）解：原方程整理得$2x^{2}-x - 1=72 - 8x - 1$，$2x^{2}+7x - 72=0$，其中$a=2$，$b=7$，$c=-72$，$\Delta=7^{2}-4×2×(-72)=49 + 576=625$，$x=\frac{-7\pm\sqrt{625}}{4}=\frac{-7\pm25}{4}$，即$x_{1}=-8$，$x_{2}=\frac{9}{2}$；
（3）解：原方程整理得$x^{2}+2x + 1 - 2(x^{2}-2x + 1)=7$，$x^{2}+2x + 1 - 2x^{2}+4x - 2=7$，$-x^{2}+6x - 8=0$，$x^{2}-6x + 8=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=8$，$\Delta=(-6)^{2}-4×1×8=36 - 32=4$，$x=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{6\pm2}{2}$，即$x_{1}=4$，$x_{2}=2$；
（4）解：原方程整理得$1 - t^{2}=4t^{2}-2t$，$5t^{2}-2t - 1=0$，其中$a=5$，$b=-2$，$c=-1$，$\Delta=(-2)^{2}-4×5×(-1)=4 + 20=24$，$t=\frac{2\pm\sqrt{24}}{10}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{10}=\frac{1\pm\sqrt{6}}{5}$，即$t_{1}=\frac{1+\sqrt{6}}{5}$，$t_{2}=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$。

12. 已知代数式$3m^{2}+4m-3$与$-m^{2}+m-30$的值互为相反数，求$m$的值.

12. 根据题意,得$ (3m^{2} + 4m - 3) + (- m^{2} + m - 30) = 0 $，即$ 2m^{2} + 5m - 33 = 0 $，解得$ m_{1} = 3 $，$ m_{2} = - \frac{11}{2} $. $ \therefore m $的值为3或$ - \frac{11}{2} $

13. （分类讨论思想）已知一元二次方程$x^{2}-11x+30=0$的两个根恰好分别是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长，求$\triangle ABC$的面积.

13. 一元二次方程$ x^{2} - 11x + 30 = 0 $的两个根分别为$ x_{1} = 5 $，$ x_{2} = 6 $.当等腰三角形ABC的底边长为5、腰长为6时,易得$ \triangle ABC $的面积为$ \frac{5\sqrt{119}}{4} $；当等腰三角形ABC的底边长为6、腰长为5时,易得$ \triangle ABC $的面积为12.综上所述,$ \triangle ABC $的面积为$ \frac{5\sqrt{119}}{4} $或12

解：解方程$x^{2}-11x+30=0$，因式分解得$(x - 5)(x - 6)=0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=6$。
情况一：当底边长为$5$，腰长为$6$时，过顶点作底边的高，根据勾股定理，高$h = \sqrt{6^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{36 - \frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{119}{4}}=\frac{\sqrt{119}}{2}$，面积$S=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}$。
情况二：当底边长为$6$，腰长为$5$时，过顶点作底边的高，高$h = \sqrt{5^{2}-\left(\frac{6}{2}\right)^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$，面积$S=\frac{1}{2}×6×4 = 12$。
综上所述，$\triangle ABC$的面积为$\frac{5\sqrt{119}}{4}$或$12$。