10. (2023·兰州)关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$有两个相等的实数根,则$b^{2}-2(1+2c)$的值为.

10. $-2$

因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^{2}-4c = 0$，即$b^{2}=4c$。
将$b^{2}=4c$代入$b^{2}-2(1 + 2c)$可得：
$4c-2(1 + 2c)=4c - 2 - 4c=-2$
$-2$

11. (2024·南充)已知$x_{1}$、$x_{2}(x_{1}＜x_{2})$是关于x的方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1=0$的两个不相等的实数根.
(1) 求k的取值范围;
(2) 若$k＜5$,且k、$x_{1}$、$x_{2}$都是整数,求k的值.

11. (1)
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ $b^{2}-4ac=(-2k)^{2}-4× 1× (k^{2}-k+1)=4k^{2}-4k^{2}+4k-4=4k-4＞0$，解得 $k＞1$。
∴ $k$ 的取值范围是 $k＞1$ (2)
∵ $k＜5$，$k＞1$，
∴ $1＜k＜5$，
∴ 整数 $k$ 的值为 2、3、4。当 $k=2$ 时，方程为 $x^{2}-4x+3=0$，解得 $x_{1}=1$，$x_{2}=3$；当 $k=3$ 或 4 时，此时方程的解不为整数，舍去。综上所述，$k$ 的值为 2

12. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-4mx+3m^{2}=0$.
(1) 求证:该方程总有两个实数根;
(2) 若$m＞0$,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.

12. (1)
∵ $b^{2}-4ac=(-4m)^{2}-4× 1× 3m^{2}=4m^{2}\geq 0$，
∴ 该方程总有两个实数根 (2)
∵ $x^{2}-4mx+3m^{2}=0$，
∴ $x=\frac{4m\pm \sqrt{4m^{2}}}{2}$。
∵ $m＞0$，
∴ $x_{1}=m$，$x_{2}=3m$。由题意，得 $3m-m=2$，解得 $m=1$

13. 已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$,其中a、b、c分别为$\triangle ABC$的三边长.
(1) 若$x=-1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(2) 若方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(3) 若$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

13. (1) $\triangle ABC$ 是等腰三角形 理由：把 $x=-1$ 代入方程，得 $2a-2b=0$，
∴ $a=b$，
∴ $\triangle ABC$ 是等腰三角形。
(2) $\triangle ABC$ 是直角三角形 理由：
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $(2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$，
∴ $b^{2}+c^{2}=a^{2}$，
∴ $\triangle ABC$ 是直角三角形。 (3)
∵ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $a=b=c$，
∴ 原方程变为 $2ax^{2}+2ax=0$。
∵ $a\neq 0$，
∴ $x^{2}+x=0$，
∴ $x=\frac{-1\pm \sqrt{1^{2}-4× 1× 0}}{2}=\frac{-1\pm 1}{2}$，
∴ $x_{1}=0$，$x_{2}=-1$