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1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是( )
A. $\sqrt {16a}$
B. $\sqrt {a^{2}+b^{2}}$
C. $\sqrt {\frac {b}{a}}$
D. $\sqrt {0.5}$
A. $\sqrt {16a}$
B. $\sqrt {a^{2}+b^{2}}$
C. $\sqrt {\frac {b}{a}}$
D. $\sqrt {0.5}$
答案
B
2. 如果$\sqrt {x}\cdot \sqrt {x-6}=\sqrt {x(x-6)}$，那么( )
A. $x≥0$
B. $x≥6$
C. $0≤x≤6$
D. $x$为一切实数
A. $x≥0$
B. $x≥6$
C. $0≤x≤6$
D. $x$为一切实数
答案
B
3. 下列各式从左到右一定正确的是( )
A. $\sqrt {a^{2}+b^{2}}=a+b$
B. $\sqrt {(-a)\cdot (-b)}=\sqrt {a}\cdot \sqrt {b}$
C. $\sqrt {-a^{3}}=-a\sqrt {-a}$
D. $\sqrt {4a^{2}}=2a$
A. $\sqrt {a^{2}+b^{2}}=a+b$
B. $\sqrt {(-a)\cdot (-b)}=\sqrt {a}\cdot \sqrt {b}$
C. $\sqrt {-a^{3}}=-a\sqrt {-a}$
D. $\sqrt {4a^{2}}=2a$
答案
C
4. 将$\sqrt {108}$化成最简二次根式的结果为______.
答案
$6\sqrt{3}$
5. 若$\sqrt {3m-4}$是最简二次根式，且$m$为整数，则$m$的最小值是______.
答案
$2$
6. 我们把形如$a\sqrt {x}+b$($a$，$b$为有理数，$\sqrt {x}$为最简二次根式)的数叫作$\sqrt {x}$型无理数，如$3\sqrt {5}+1$是$\sqrt {5}$型无理数，则$(\sqrt {5}+\sqrt {15})^{2}$是______型无理数.
答案
$\sqrt {3}$
7. 把下列二次根式化为最简二次根式.
(1)$\sqrt {28}$；(2)$\sqrt {\frac {3}{5}}$；(3)$\sqrt {2\frac {1}{4}}$；(4)$\sqrt {9a^{2}b^{5}}$.
(1)$\sqrt {28}$；(2)$\sqrt {\frac {3}{5}}$；(3)$\sqrt {2\frac {1}{4}}$；(4)$\sqrt {9a^{2}b^{5}}$.
答案
【解析】：
(1) 对于$\sqrt{28}$，先将$28$分解因数，$28 = 4\times7$，根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，则$\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\sqrt{7}$。
(2) 对于$\sqrt{\frac{3}{5}}$，根据$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，可得$\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$，即$\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$。
(3) 对于$\sqrt{2\frac{1}{4}}$，先将带分数化为假分数，$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，则$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$，根据$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，可得$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}$。
(4) 对于$\sqrt{9a^{2}b^{5}}$，根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，可得$\sqrt{9a^{2}b^{5}}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{a^{2}}\cdot\sqrt{b^{4}\cdot b}$，因为$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，$\sqrt{b^{4}\cdot b}=\sqrt{b^{4}}\cdot\sqrt{b}=b^{2}\sqrt{b}$，所以$\sqrt{9a^{2}b^{5}} = 3\vert a\vert b^{2}\sqrt{b}$。
【答案】：(1)$2\sqrt{7}$；(2)$\frac{\sqrt{15}}{5}$；(3)$\frac{3}{2}$；(4)$3\vert a\vert b^{2}\sqrt{b}$
(1) 对于$\sqrt{28}$，先将$28$分解因数，$28 = 4\times7$，根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，则$\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\sqrt{7}$。
(2) 对于$\sqrt{\frac{3}{5}}$，根据$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，可得$\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$，即$\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$。
(3) 对于$\sqrt{2\frac{1}{4}}$，先将带分数化为假分数，$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，则$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$，根据$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，可得$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}$。
(4) 对于$\sqrt{9a^{2}b^{5}}$，根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，可得$\sqrt{9a^{2}b^{5}}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{a^{2}}\cdot\sqrt{b^{4}\cdot b}$，因为$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，$\sqrt{b^{4}\cdot b}=\sqrt{b^{4}}\cdot\sqrt{b}=b^{2}\sqrt{b}$，所以$\sqrt{9a^{2}b^{5}} = 3\vert a\vert b^{2}\sqrt{b}$。
【答案】：(1)$2\sqrt{7}$；(2)$\frac{\sqrt{15}}{5}$；(3)$\frac{3}{2}$；(4)$3\vert a\vert b^{2}\sqrt{b}$
8. 计算或化简.
(1)$6\sqrt {30}×\frac {2}{3}\sqrt {\frac {5}{2}}$；(2)$(m+1)(1-\frac {1}{m+1})$.
(1)$6\sqrt {30}×\frac {2}{3}\sqrt {\frac {5}{2}}$；(2)$(m+1)(1-\frac {1}{m+1})$.
答案
【解析】：
(1)根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geqslant0,b\geqslant0)$来计算$6\sqrt {30}\times\frac {2}{3}\sqrt {\frac {5}{2}}$：
$\begin{aligned}6\sqrt {30}\times\frac {2}{3}\sqrt {\frac {5}{2}}&=(6\times\frac{2}{3})\times\sqrt{30\times\frac{5}{2}}\\& = 4\times\sqrt{75}\\&=4\times\sqrt{25\times3}\\&=4\times5\sqrt{3}\\& = 20\sqrt{3}\end{aligned}$
(2)先对$(m + 1)(1-\frac{1}{m + 1})$中的$1-\frac{1}{m + 1}$进行通分计算：
$1-\frac{1}{m + 1}=\frac{m + 1}{m + 1}-\frac{1}{m + 1}=\frac{m+1 - 1}{m + 1}=\frac{m}{m + 1}$
再计算$(m + 1)\times\frac{m}{m + 1}=m$。
【答案】：(1)$20\sqrt{3}$；(2)$m$
(1)根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geqslant0,b\geqslant0)$来计算$6\sqrt {30}\times\frac {2}{3}\sqrt {\frac {5}{2}}$：
$\begin{aligned}6\sqrt {30}\times\frac {2}{3}\sqrt {\frac {5}{2}}&=(6\times\frac{2}{3})\times\sqrt{30\times\frac{5}{2}}\\& = 4\times\sqrt{75}\\&=4\times\sqrt{25\times3}\\&=4\times5\sqrt{3}\\& = 20\sqrt{3}\end{aligned}$
(2)先对$(m + 1)(1-\frac{1}{m + 1})$中的$1-\frac{1}{m + 1}$进行通分计算：
$1-\frac{1}{m + 1}=\frac{m + 1}{m + 1}-\frac{1}{m + 1}=\frac{m+1 - 1}{m + 1}=\frac{m}{m + 1}$
再计算$(m + 1)\times\frac{m}{m + 1}=m$。
【答案】：(1)$20\sqrt{3}$；(2)$m$
9. 已知$A=5\sqrt {2x+1}$，$B=3\sqrt {x+3}$，$C=\sqrt {10x+3y}$，其中$A$，$B$为最简二次根式，且$A+B=C$，求$\sqrt {2y-x^{2}}$的值.
答案
【解析】：
因为$A = 5\sqrt{2x + 1}$，$B = 3\sqrt{x + 3}$为最简二次根式，且$A + B = C$，即$5\sqrt{2x + 1}+3\sqrt{x + 3}=\sqrt{10x + 3y}$。
由于几个最简二次根式能合并，则它们是同类二次根式，所以$2x + 1=x + 3$。
解方程$2x + 1=x + 3$，移项可得$2x-x=3 - 1$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$A = 5\sqrt{2x + 1}$得$A = 5\sqrt{2\times2 + 1}=5\sqrt{5}$，$B = 3\sqrt{2 + 3}=3\sqrt{5}$，则$C=A + B=5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
又因为$C=\sqrt{10x + 3y}$，所以$\sqrt{10\times2+3y}=8\sqrt{5}$，两边同时平方可得$10\times2 + 3y=(8\sqrt{5})^{2}$，即$20+3y = 320$。
移项得$3y=320 - 20$，即$3y = 300$，解得$y = 100$。
把$x = 2$，$y = 100$代入$\sqrt{2y - x^{2}}$得：
$\sqrt{2\times100-2^{2}}=\sqrt{200 - 4}=\sqrt{196}=14$。
【答案】：$14$
因为$A = 5\sqrt{2x + 1}$，$B = 3\sqrt{x + 3}$为最简二次根式，且$A + B = C$，即$5\sqrt{2x + 1}+3\sqrt{x + 3}=\sqrt{10x + 3y}$。
由于几个最简二次根式能合并，则它们是同类二次根式，所以$2x + 1=x + 3$。
解方程$2x + 1=x + 3$，移项可得$2x-x=3 - 1$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$A = 5\sqrt{2x + 1}$得$A = 5\sqrt{2\times2 + 1}=5\sqrt{5}$，$B = 3\sqrt{2 + 3}=3\sqrt{5}$，则$C=A + B=5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
又因为$C=\sqrt{10x + 3y}$，所以$\sqrt{10\times2+3y}=8\sqrt{5}$，两边同时平方可得$10\times2 + 3y=(8\sqrt{5})^{2}$，即$20+3y = 320$。
移项得$3y=320 - 20$，即$3y = 300$，解得$y = 100$。
把$x = 2$，$y = 100$代入$\sqrt{2y - x^{2}}$得：
$\sqrt{2\times100-2^{2}}=\sqrt{200 - 4}=\sqrt{196}=14$。
【答案】：$14$
