登录
5. 某游泳馆普通票价为20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数.设游泳次数为x时，所需总费用为y(单位:元).
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式.
(2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A,B,C的坐标.
(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数.设游泳次数为x时，所需总费用为y(单位:元).
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式.
(2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A,B,C的坐标.
(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.
答案
5.(1)由题意得，银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x.
(2)由题意，当10x+150=20x，解得x=15，则y=300，故B(15,300)；当y=10x+150，x=0时，y=150，故A(0,150)；当y=10x+150=600，解得x=45，则y=600，故C(45,600).
(3)由点A，B，C的坐标可得：当0＜x＜15时，普通消费更合算；当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，银卡消费更合算；当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，金卡消费更合算.
(2)由题意，当10x+150=20x，解得x=15，则y=300，故B(15,300)；当y=10x+150，x=0时，y=150，故A(0,150)；当y=10x+150=600，解得x=45，则y=600，故C(45,600).
(3)由点A，B，C的坐标可得：当0＜x＜15时，普通消费更合算；当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，银卡消费更合算；当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，金卡消费更合算.
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据两种消费方式的费用规则，银卡总费用=固定卡费+每次收费×游泳次数，普通票总费用=单次票价×游泳次数，代入对应数值即可写出函数关系式。
2. 第(2)问：先明确各点的实际意义：A是银卡函数与y轴的交点，即游泳次数为0时的银卡费用；B是银卡和普通票费用相等的交点，联立两个函数解析式解方程即可得到坐标；C是银卡和金卡费用相等的交点，令银卡函数的y值等于金卡固定费用600元，求解x即可得到坐标。
3. 第(3)问：函数图象中位置更低的线对应总费用更少，结合A、B、C三个交点划分的x的区间，判断每个区间内哪种消费方式的图象在最下方，即为更合算的方案。
【解析】
(1) 银卡消费需先付150元卡费，每次游泳另收10元，因此总费用：$ y = 10x + 150 $；
普通票无卡费，每次游泳收费20元，因此总费用：$ y = 20x $。
(2) ①求A点坐标：A为银卡函数与y轴的交点，令$ x=0 $，代入$ y=10x+150 $得$ y=150 $，故$ A(0,150) $；
②求B点坐标：B为银卡和普通票函数的交点，令二者y值相等，列方程$ 10x + 150 = 20x $，解得$ x=15 $，代入$ y=20x $得$ y=300 $，故$ B(15,300) $；
③求C点坐标：C为银卡函数与金卡费用线$ y=600 $的交点，令$ 10x + 150 = 600 $，解得$ x=45 $，故$ C(45,600) $。
(3) 结合图象的上下位置关系判断费用高低：
当$ 0 ＜ x ＜ 15 $时，普通票的函数图象在最下方，普通消费更合算；
当$ x=15 $时，银卡与普通票函数交于B点，二者总费用相同，均低于金卡费用，因此银卡、普通票总费用相同，均比金卡合算；
当$ 15 ＜ x ＜ 45 $时，银卡的函数图象在最下方，银卡消费更合算；
当$ x=45 $时，银卡与金卡费用均为600元，二者总费用相同，均低于普通票费用，因此金卡、银卡总费用相同，均比普通票合算；
当$ x ＞ 45 $时，金卡的费用线在最下方，金卡消费更合算。
【答案】
(1) 银卡消费：$\boldsymbol{y=10x+150}$，普通消费：$\boldsymbol{y=20x}$；
(2) $ A(0,150) $，$ B(15,300) $，$ C(45,600) $；
(3) 当$ 0＜x＜15 $时，选择普通消费更合算；当$ x=15 $时，选择银卡、普通票均可，均比金卡合算；当$ 15＜x＜45 $时，选择银卡消费更合算；当$ x=45 $时，选择金卡、银卡均可，均比普通票合算；当$ x＞45 $时，选择金卡消费更合算。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数交点问题，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的消费方案选择场景考查一次函数相关知识，既要求能根据题意准确写出函数解析式，也需要掌握求函数交点坐标的方法，同时要能结合图象判断不同区间的最优方案，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：根据两种消费方式的费用规则，银卡总费用=固定卡费+每次收费×游泳次数，普通票总费用=单次票价×游泳次数，代入对应数值即可写出函数关系式。
2. 第(2)问：先明确各点的实际意义：A是银卡函数与y轴的交点，即游泳次数为0时的银卡费用；B是银卡和普通票费用相等的交点，联立两个函数解析式解方程即可得到坐标；C是银卡和金卡费用相等的交点，令银卡函数的y值等于金卡固定费用600元，求解x即可得到坐标。
3. 第(3)问：函数图象中位置更低的线对应总费用更少，结合A、B、C三个交点划分的x的区间，判断每个区间内哪种消费方式的图象在最下方，即为更合算的方案。
【解析】
(1) 银卡消费需先付150元卡费，每次游泳另收10元，因此总费用：$ y = 10x + 150 $；
普通票无卡费，每次游泳收费20元，因此总费用：$ y = 20x $。
(2) ①求A点坐标：A为银卡函数与y轴的交点，令$ x=0 $，代入$ y=10x+150 $得$ y=150 $，故$ A(0,150) $；
②求B点坐标：B为银卡和普通票函数的交点，令二者y值相等，列方程$ 10x + 150 = 20x $，解得$ x=15 $，代入$ y=20x $得$ y=300 $，故$ B(15,300) $；
③求C点坐标：C为银卡函数与金卡费用线$ y=600 $的交点，令$ 10x + 150 = 600 $，解得$ x=45 $，故$ C(45,600) $。
(3) 结合图象的上下位置关系判断费用高低：
当$ 0 ＜ x ＜ 15 $时，普通票的函数图象在最下方，普通消费更合算；
当$ x=15 $时，银卡与普通票函数交于B点，二者总费用相同，均低于金卡费用，因此银卡、普通票总费用相同，均比金卡合算；
当$ 15 ＜ x ＜ 45 $时，银卡的函数图象在最下方，银卡消费更合算；
当$ x=45 $时，银卡与金卡费用均为600元，二者总费用相同，均低于普通票费用，因此金卡、银卡总费用相同，均比普通票合算；
当$ x ＞ 45 $时，金卡的费用线在最下方，金卡消费更合算。
【答案】
(1) 银卡消费：$\boldsymbol{y=10x+150}$，普通消费：$\boldsymbol{y=20x}$；
(2) $ A(0,150) $，$ B(15,300) $，$ C(45,600) $；
(3) 当$ 0＜x＜15 $时，选择普通消费更合算；当$ x=15 $时，选择银卡、普通票均可，均比金卡合算；当$ 15＜x＜45 $时，选择银卡消费更合算；当$ x=45 $时，选择金卡、银卡均可，均比普通票合算；当$ x＞45 $时，选择金卡消费更合算。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数交点问题，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的消费方案选择场景考查一次函数相关知识，既要求能根据题意准确写出函数解析式，也需要掌握求函数交点坐标的方法，同时要能结合图象判断不同区间的最优方案，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
6.宏大水果店计划购进甲、乙两种水果，已知甲种水果的进价为7元/kg，购进乙种水果的质量为x(单位:kg)时，付款为y(单位:元)，其中y与x之间的函数图象如图所示.
(1)直接写出当0≤x≤40和x＞40时，y与x之间的函数关系式.
(2)该店一次性购进甲、乙两种水果共120 kg，若乙种水果不超过80 kg，且不少于甲种水果质量的$\frac{1}{3}$.
①求购进乙种水果质量的取值范围；
②该店如何购进甲、乙两种水果，才能使本次付款总金额w(单位:元)最少，并求出最少费用(不计损耗).
(1)直接写出当0≤x≤40和x＞40时，y与x之间的函数关系式.
(2)该店一次性购进甲、乙两种水果共120 kg，若乙种水果不超过80 kg，且不少于甲种水果质量的$\frac{1}{3}$.
①求购进乙种水果质量的取值范围；
②该店如何购进甲、乙两种水果，才能使本次付款总金额w(单位:元)最少，并求出最少费用(不计损耗).
答案
6.(1)当0≤x≤40时，设y与x之间的函数关系式为y=kx，则40k=320，解得k=80，
∴y=80x；当x＞40时，设y与x之间的函数关系式为y=ax+b，则$\begin{cases}40a+b=320,\\80a+b=560,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=6,\\b=80.\end{cases}$
∴y=6x+80.故y与x之间的函数关系式为$y=\begin{cases}8x,0≤ x≤40,\\6x+80,x＞40.\end{cases}$
(2)①
∵购进乙种水果的质量为x，则购进甲种水果的质量为120-x，则$x≥\frac{1}{3}(120-x)$，解得x≥30.又
∵乙种水果不超过80 kg，
∴x≤80.
∴30≤x≤80.
②由题意可知，当30≤x≤40时，w=7×(120-x)+8x=x+840，
∵k=1＞0，
∴w随x的增大而增大.
∴当x=30时，w有最小值，为w最小=30+840=870(元)；当40＜x≤80时，w=7×(120-x)+6x+80=-x+920，
∵k=-1＜0，
∴w随x的增大而减小.
∴当x=80时，w有最小值，为w最小=-80+920=840(元).
∵840＜870，
∴该店购进甲种水果40 kg，乙种水果80 kg，才能使付款总金额最少，最少费用为840元.
∴y=80x；当x＞40时，设y与x之间的函数关系式为y=ax+b，则$\begin{cases}40a+b=320,\\80a+b=560,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=6,\\b=80.\end{cases}$
∴y=6x+80.故y与x之间的函数关系式为$y=\begin{cases}8x,0≤ x≤40,\\6x+80,x＞40.\end{cases}$
(2)①
∵购进乙种水果的质量为x，则购进甲种水果的质量为120-x，则$x≥\frac{1}{3}(120-x)$，解得x≥30.又
∵乙种水果不超过80 kg，
∴x≤80.
∴30≤x≤80.
②由题意可知，当30≤x≤40时，w=7×(120-x)+8x=x+840，
∵k=1＞0，
∴w随x的增大而增大.
∴当x=30时，w有最小值，为w最小=30+840=870(元)；当40＜x≤80时，w=7×(120-x)+6x+80=-x+920，
∵k=-1＜0，
∴w随x的增大而减小.
∴当x=80时，w有最小值，为w最小=-80+920=840(元).
∵840＜870，
∴该店购进甲种水果40 kg，乙种水果80 kg，才能使付款总金额最少，最少费用为840元.
解析
【分析】
解题思路分三步梳理：
1. 求分段函数解析式：0≤x≤40时函数过原点，属于正比例函数，代入已知点(40,320)即可求系数；x＞40时是一次函数，代入两点(40,320)、(80,560)解二元一次方程组就能得到解析式。
2. 求乙种水果质量范围：设乙的质量为x kg，则甲为(120-x)kg，根据“乙不少于甲的1/3”“乙不超过80kg”两个限制条件列不等式求解即可。
3. 求总费用最小值：总费用为甲、乙两种水果费用之和，由于乙的费用是分段函数，因此要分30≤x≤40和40＜x≤80两段分别写出总费用的函数表达式，再结合一次函数的增减性求各段的最小值，比较后得到全局最小费用及对应的进货方案。
【解析】
(1) 分情况求函数关系式：
① 当$0≤ x≤40$时，设$y=kx$，将$(40,320)$代入得：
$40k=320$，解得$k=8$，
$\therefore y=8x$；
② 当$x＞40$时，设$y=ax+b$，将$(40,320)$、$(80,560)$代入得：
$\begin{cases}40a+b=320\\80a+b=560\end{cases}$
两式相减得$40a=240$，解得$a=6$，代入第一个方程得$b=80$，
$\therefore y=6x+80$。
(2) ① 设购进乙种水果质量为$x\ \mathrm{kg}$，则甲种水果质量为$(120-x)\ \mathrm{kg}$，根据题意得：
$\begin{cases}x≤80\\x≥\frac{1}{3}(120-x)\end{cases}$
解不等式$x≥\frac{1}{3}(120-x)$得$x≥30$，结合$x≤80$，得取值范围为$30≤ x≤80$。
② 总付款$w=$甲的费用+乙的费用，分两段讨论：
当$30≤ x≤40$时：
$w=7(120-x)+8x=x+840$，
$\because k=1＞0$，$w$随$x$增大而增大，
$\therefore x=30$时，$w_{\mathrm{最小}}=30+840=870$元；
当$40＜x≤80$时：
$w=7(120-x)+6x+80=-x+920$，
$\because k=-1＜0$，$w$随$x$增大而减小，
$\therefore x=80$时，$w_{\mathrm{最小}}=-80+920=840$元。
比较得$840＜870$，因此总费用最少为840元，此时甲的质量为$120-80=40\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}8x&(0≤ x≤40)\\6x+80&(x＞40)\end{cases}$
(2) ① 购进乙种水果质量的取值范围是$30≤ x≤80$；
② 购进甲种水果40kg、乙种水果80kg时付款总金额最少，最少费用为840元。
【知识点】
分段函数求解，一次函数最值应用，一元一次不等式组应用
【点评】
本题是实际生活中的进货方案优选类题型，融合了分段函数、不等式组、一次函数增减性的相关知识，解题时要注意分段函数的取值边界，通过分类讨论分别计算不同区间的最值再比较得到最优方案。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步梳理：
1. 求分段函数解析式：0≤x≤40时函数过原点，属于正比例函数，代入已知点(40,320)即可求系数；x＞40时是一次函数，代入两点(40,320)、(80,560)解二元一次方程组就能得到解析式。
2. 求乙种水果质量范围：设乙的质量为x kg，则甲为(120-x)kg，根据“乙不少于甲的1/3”“乙不超过80kg”两个限制条件列不等式求解即可。
3. 求总费用最小值：总费用为甲、乙两种水果费用之和，由于乙的费用是分段函数，因此要分30≤x≤40和40＜x≤80两段分别写出总费用的函数表达式，再结合一次函数的增减性求各段的最小值，比较后得到全局最小费用及对应的进货方案。
【解析】
(1) 分情况求函数关系式：
① 当$0≤ x≤40$时，设$y=kx$，将$(40,320)$代入得：
$40k=320$，解得$k=8$，
$\therefore y=8x$；
② 当$x＞40$时，设$y=ax+b$，将$(40,320)$、$(80,560)$代入得：
$\begin{cases}40a+b=320\\80a+b=560\end{cases}$
两式相减得$40a=240$，解得$a=6$，代入第一个方程得$b=80$，
$\therefore y=6x+80$。
(2) ① 设购进乙种水果质量为$x\ \mathrm{kg}$，则甲种水果质量为$(120-x)\ \mathrm{kg}$，根据题意得：
$\begin{cases}x≤80\\x≥\frac{1}{3}(120-x)\end{cases}$
解不等式$x≥\frac{1}{3}(120-x)$得$x≥30$，结合$x≤80$，得取值范围为$30≤ x≤80$。
② 总付款$w=$甲的费用+乙的费用，分两段讨论：
当$30≤ x≤40$时：
$w=7(120-x)+8x=x+840$，
$\because k=1＞0$，$w$随$x$增大而增大，
$\therefore x=30$时，$w_{\mathrm{最小}}=30+840=870$元；
当$40＜x≤80$时：
$w=7(120-x)+6x+80=-x+920$，
$\because k=-1＜0$，$w$随$x$增大而减小，
$\therefore x=80$时，$w_{\mathrm{最小}}=-80+920=840$元。
比较得$840＜870$，因此总费用最少为840元，此时甲的质量为$120-80=40\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}8x&(0≤ x≤40)\\6x+80&(x＞40)\end{cases}$
(2) ① 购进乙种水果质量的取值范围是$30≤ x≤80$；
② 购进甲种水果40kg、乙种水果80kg时付款总金额最少，最少费用为840元。
【知识点】
分段函数求解，一次函数最值应用，一元一次不等式组应用
【点评】
本题是实际生活中的进货方案优选类题型，融合了分段函数、不等式组、一次函数增减性的相关知识，解题时要注意分段函数的取值边界，通过分类讨论分别计算不同区间的最值再比较得到最优方案。
【难度系数】
0.6
