7.某市A,B两个蔬菜基地得知四川C,D两个灾民安置点分别急需蔬菜240 t和260 t的消息后,决定调运蔬菜支援灾区.已知A蔬菜基地有蔬菜200 t,B蔬菜基地有蔬菜300 t,现将这些蔬菜全部调运C,D两个灾民安置点,从A地运往C,D两处的费用分别为20元/t和25元/t,从B地运往C,D两处的费用分别为15元/t和18元/t.设从B地运往C处的蔬菜为x t.
(1)请填写下表(单位:t),并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值.

(2)设A,B两个蔬菜基地的总运费为w元,求出w与x之间的函数关系式,并求总运费最小的调运方案.
(3)经过抢修,从B地到C处的路况得到进一步改善,缩短了运输时间,运费每吨减少m元(m＞0),其余线路的运费不变,试讨论总运费最小的调运方案.

7.(1)填表如下：
| 地点 | C | D | 总计 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | 240-x | x-40 | 200 |
| B | x | 300-x | 300 |
| 总计 | 240 | 260 | 500 |
依题意，得20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x).解得x=200.两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200.
(2)w与x之间的函数关系式为w=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)=2x+9 200.由题意，得$\begin{cases}240-x≥0,\\x-40≥0,\\x≥0,\\300-x≥0.\end{cases}$
∴40≤x≤240.
∵在w=2x+9 200中，2＞0，
∴w随x的增大而增大.
∴当x=40时，总运费最小.此时调运方案如下表.
| 地点 | C | D |
| ---- | ---- | ---- |
| A | 200 t | 0 t |
| B | 40 t | 260 t |
(3)由题意，得w=(2-m)x+9 200，
∴当0＜m＜2，(2)中调运方案总费用最小；当m=2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变；当2＜m＜15时，x=240总费用最小，其调运方案如下表.
| 地点 | C | D |
| ---- | ---- | ---- |
| A | 0 t | 200 t |
| B | 240 t | 60 t |

【分析】
这是调运类实际应用题，解题思路如下：①先根据供需总量推导各调运量的表达式：C地共需240t，B运往C地x t，因此A运往C地为(240-x)t；A基地共200t，因此A运往D地为200-(240-x)=x-40 t；B基地共300t，因此B运往D地为(300-x)t，同时所有调运量不能为负数，可确定x的取值范围。②第一问运费相等，分别计算A、B两个基地的总运费，列一元一次方程求解即可。③第二问总运费是四条运输线路运费的和，整理得到w关于x的一次函数，结合一次函数的增减性和x的取值范围，即可找到总运费最小时的x值，确定调运方案。④第三问B到C运费减少m元后，重新整理总运费的函数表达式，根据一次项系数的正负分类讨论，即可得到不同m取值下的最优调运方案。
【解析】
(1) 根据各地点供需总量填写表格：
A运往C地为C总需求减去B运往C的量，即$(240-x)\mathrm{ t}$；
A运往D地为A总储量减去运往C的量，即$200-(240-x)=(x-40)\mathrm{ t}$；
B运往D地为B总储量减去运往C的量，即$(300-x)\mathrm{ t}$。
填表后如下：
| 地点 | C | D | 总计 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | 240-x | x-40 | 200 |
| B | x | 300-x | 300 |
| 总计 | 240 | 260 | 500 |
两个基地运费相等，列方程：
$20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x)$
展开化简得：$5x+3800=-3x+5400$，解得$x=200$。
(2) 总运费为四条线路运费之和：
$\begin{aligned}w&=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)\\&=2x+9200\end{aligned}$
根据调运量非负列不等式组：
$\begin{cases}240-x≥0\\x-40≥0\\x≥0\\300-x≥0\end{cases}$，解得$40≤ x≤240$。
在$w=2x+9200$中，$2＞0$，w随x的增大而增大，因此当$x=40$时总运费最小。
此时调运方案：A运200t到C，0t到D；B运40t到C，260t到D。
(3) B到C运费每吨减少m元后，总运费表达式调整为：
$w=(2-m)x+9200\quad(40≤ x≤240)$
分情况讨论：
①当$0＜m＜2$时，$2-m＞0$，w随x增大而增大，$x=40$时w最小，方案同(2)的最优方案；
②当$m=2$时，$2-m=0$，总运费为定值9200，$40≤ x≤240$范围内所有方案费用相同；
③当$2＜m＜15$时，$2-m＜0$，w随x增大而减小，$x=240$时w最小，此时调运方案：A运0t到C，200t到D；B运240t到C，60t到D。
【答案】
(1) 表格填写如上，运费相等时x的值为200；
(2) $w=2x+9200\ (40≤ x≤240)$，总运费最小的调运方案为：A地运往C地200t，运往D地0t；B地运往C地40t，运往D地260t；
(3) 当$0＜m＜2$时，(2)中的调运方案总费用最小；当$m=2$时，$40≤ x≤240$范围内所有调运方案总费用相同；当$2＜m＜15$时，总费用最小的调运方案为：A地运往C地0t，运往D地200t；B地运往C地240t，运往D地60t。
【知识点】
一次函数应用，一元一次方程应用，方案优化设计
【点评】
本题是典型的调运类应用题，需要先理清各调运量的数量关系，结合非负条件确定自变量取值范围，再利用一次函数的增减性分析最优方案，第三问的分类讨论是难点，需要根据一次项系数的正负判断函数变化趋势，进而确定最值对应的自变量取值。
【难度系数】
0.6