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8. 某街道办事处积极落实国家垃圾分类政策，计划在所辖小区内安装垃圾分类宣传版面及分类垃圾箱，现邀请友谊班同学作为小小环保员，运用数学知识与方法，研究如何购买这批物资性价比更高。同学们实地记录各商场和垃圾生产厂家对垃圾箱的定价，得到如下方案.
方案一:从垃圾箱加工厂直接购买,购买所需的费用$y_1$(单位:元)与垃圾箱数量$x$(单位:个)满足
所示的函数关系.
方案二:租赁机器自己加工,所需费用$y_2$(单位:元,包括租赁机器的费用和生产垃圾箱的费用)与垃圾箱数量$x$(单位:个)满足
所示的函数关系.
(1)①方案一中每个垃圾箱的价格是
②方案二中租赁机器的费用是
(2)请分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数关系式.
(3)试说明该街道办事处购买垃圾箱时,选择哪种方案更优惠.
(4)若该街道办事处购买垃圾分类宣传版面和垃圾箱共2700个,购买1个垃圾分类宣传版面的价格是240元,1个垃圾箱的价格是150元,且购买垃圾箱的个数不多于垃圾分类宣传版面个数的4.4倍,则该街道购买多少个垃圾分类宣传版面时,所需总费用最少?最少是多少元?
方案一:从垃圾箱加工厂直接购买,购买所需的费用$y_1$(单位:元)与垃圾箱数量$x$(单位:个)满足
所示的函数关系.方案二:租赁机器自己加工,所需费用$y_2$(单位:元,包括租赁机器的费用和生产垃圾箱的费用)与垃圾箱数量$x$(单位:个)满足
所示的函数关系.(1)①方案一中每个垃圾箱的价格是
150
元；②方案二中租赁机器的费用是
20000
元，生产一个垃圾箱的费用是50
元.(2)请分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数关系式.
(3)试说明该街道办事处购买垃圾箱时,选择哪种方案更优惠.
(4)若该街道办事处购买垃圾分类宣传版面和垃圾箱共2700个,购买1个垃圾分类宣传版面的价格是240元,1个垃圾箱的价格是150元,且购买垃圾箱的个数不多于垃圾分类宣传版面个数的4.4倍,则该街道购买多少个垃圾分类宣传版面时,所需总费用最少?最少是多少元?
答案
8.(1)①150 ②2 000 50
(2)设$y_1=ax$，把(100,15 000)代入，得15 000=100a，
∴a=150.
∴$y_1=150x$.设$y_2=kx+b$，把(0,20 000)和(100,25 000)代入，得$\begin{cases}20\ 000=b,\\25\ 000=100k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=50,\\b=20\ 000.\end{cases}$
∴$y_2=50x+20\ 000$.
(3)当$y_1＜y_2$，即150x＜50x+20 000时，解得x＜200；当$y_1=y_2$，即150x=50x+20 000时，解得x=200；当$y_1＞y_2$，即150x＞50x+20 000时，解得x＞200.
∴当x＜200时，选择方案一更优惠；当x=200时，两种方案一样优惠；当x＞200时，选择方案二更优惠.
(4)设购买垃圾分类宣传版面m个，则购买垃圾箱(2 700-m)个，所需总费用为W元.由题意，得2 700-m≤4.4m，解得m≥500.
∵W=240m+150(2 700-m)=90m+405 000，90＞0，
∴当m=500时，W的值最小，$W_{最小}=90×500+405\ 000=450\ 000$.
∴购买500个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少，最少费用为450 000元.
(2)设$y_1=ax$，把(100,15 000)代入，得15 000=100a，
∴a=150.
∴$y_1=150x$.设$y_2=kx+b$，把(0,20 000)和(100,25 000)代入，得$\begin{cases}20\ 000=b,\\25\ 000=100k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=50,\\b=20\ 000.\end{cases}$
∴$y_2=50x+20\ 000$.
(3)当$y_1＜y_2$，即150x＜50x+20 000时，解得x＜200；当$y_1=y_2$，即150x=50x+20 000时，解得x=200；当$y_1＞y_2$，即150x＞50x+20 000时，解得x＞200.
∴当x＜200时，选择方案一更优惠；当x=200时，两种方案一样优惠；当x＞200时，选择方案二更优惠.
(4)设购买垃圾分类宣传版面m个，则购买垃圾箱(2 700-m)个，所需总费用为W元.由题意，得2 700-m≤4.4m，解得m≥500.
∵W=240m+150(2 700-m)=90m+405 000，90＞0，
∴当m=500时，W的值最小，$W_{最小}=90×500+405\ 000=450\ 000$.
∴购买500个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少，最少费用为450 000元.
解析
【分析】
(1) ①方案一的单价可通过已知的100个垃圾箱总费用15000元，用总费用除以购买数量计算得到；②方案二中当垃圾箱数量为0时的费用就是租赁机器的固定费用，生产1个垃圾箱的费用可通过生产100个时的额外生产成本除以100计算得到。
(2) 方案一的费用$y_1$与垃圾箱数量$x$是正比例函数关系，设解析式为$y_1=ax$，代入已知点坐标即可求出参数$a$；方案二的费用$y_2$与$x$是一次函数关系，设解析式为$y_2=kx+b$，代入两个已知点坐标，解二元一次方程组即可求出参数$k$和$b$。
(3) 要判断哪种方案更优惠，就是比较$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1＜y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$三种情况列不等式或方程求解，即可得到不同购买数量对应的最优方案。
(4) 先设购买宣传版面的数量为$m$个，可得垃圾箱数量为$(2700-m)$个，根据“垃圾箱个数不多于宣传版面个数的4.4倍”列不等式求出$m$的取值范围，再列出总费用$W$关于$m$的函数关系式，结合一次函数的增减性即可求出总费用的最小值。
【解析】
(1) ①方案一购买100个垃圾箱费用为15000元，每个垃圾箱价格为$15000÷100=150$元；
②方案二当$x=0$时费用为20000元，即租赁机器的费用为20000元；生产100个垃圾箱时总费用为25000元，生产100个垃圾箱的成本为$25000-20000=5000$元，因此生产1个垃圾箱的费用为$5000÷100=50$元。
(2) 设$y_1=ax$，把$(100,15000)$代入得$15000=100a$，解得$a=150$，因此$y_1=150x$（$x$为非负整数）。
设$y_2=kx+b$，把$(0,20000)$和$(100,25000)$代入得$\begin{cases}20000=b\\25000=100k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=50\\b=20000\end{cases}$，因此$y_2=50x+20000$（$x$为非负整数）。
(3) 分三种情况讨论：
当$y_1＜y_2$时，$150x＜50x+20000$，解得$x＜200$；
当$y_1=y_2$时，$150x=50x+20000$，解得$x=200$；
当$y_1＞y_2$时，$150x＞50x+20000$，解得$x＞200$。
∴当购买垃圾箱数量小于200个时，选择方案一更优惠；当购买数量等于200个时，两种方案费用相同；当购买数量大于200个时，选择方案二更优惠。
(4) 设购买垃圾分类宣传版面$m$个，则购买垃圾箱$(2700-m)$个，所需总费用为$W$元。
由题意得：$2700-m≤4.4m$，解得$m≥500$。
总费用$W=240m+150(2700-m)=90m+405000$，
∵$90＞0$，
∴$W$随$m$的增大而增大，
∴当$m=500$时，$W$取得最小值，$W_{最小}=90×500+405000=450000$元。
【答案】
(1)①$\boxed{150}$；②$\boxed{20000}$，$\boxed{50}$
(2)$\boxed{y_1=150x}$；$\boxed{y_2=50x+20000}$
(3)当购买垃圾箱数量小于200个时选择方案一更优惠；等于200个时两种方案一样优惠；大于200个时选择方案二更优惠。
(4)购买500个垃圾分类宣传版面时所需总费用最少，最少为450000元。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合垃圾分类的现实场景，将实际问题转化为数学模型，综合考查了一次函数解析式求解、方案选择及最值问题，需要学生具备提取有效信息、分类讨论和利用函数性质解决实际问题的能力，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.65
(1) ①方案一的单价可通过已知的100个垃圾箱总费用15000元，用总费用除以购买数量计算得到；②方案二中当垃圾箱数量为0时的费用就是租赁机器的固定费用，生产1个垃圾箱的费用可通过生产100个时的额外生产成本除以100计算得到。
(2) 方案一的费用$y_1$与垃圾箱数量$x$是正比例函数关系，设解析式为$y_1=ax$，代入已知点坐标即可求出参数$a$；方案二的费用$y_2$与$x$是一次函数关系，设解析式为$y_2=kx+b$，代入两个已知点坐标，解二元一次方程组即可求出参数$k$和$b$。
(3) 要判断哪种方案更优惠，就是比较$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1＜y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$三种情况列不等式或方程求解，即可得到不同购买数量对应的最优方案。
(4) 先设购买宣传版面的数量为$m$个，可得垃圾箱数量为$(2700-m)$个，根据“垃圾箱个数不多于宣传版面个数的4.4倍”列不等式求出$m$的取值范围，再列出总费用$W$关于$m$的函数关系式，结合一次函数的增减性即可求出总费用的最小值。
【解析】
(1) ①方案一购买100个垃圾箱费用为15000元，每个垃圾箱价格为$15000÷100=150$元；
②方案二当$x=0$时费用为20000元，即租赁机器的费用为20000元；生产100个垃圾箱时总费用为25000元，生产100个垃圾箱的成本为$25000-20000=5000$元，因此生产1个垃圾箱的费用为$5000÷100=50$元。
(2) 设$y_1=ax$，把$(100,15000)$代入得$15000=100a$，解得$a=150$，因此$y_1=150x$（$x$为非负整数）。
设$y_2=kx+b$，把$(0,20000)$和$(100,25000)$代入得$\begin{cases}20000=b\\25000=100k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=50\\b=20000\end{cases}$，因此$y_2=50x+20000$（$x$为非负整数）。
(3) 分三种情况讨论：
当$y_1＜y_2$时，$150x＜50x+20000$，解得$x＜200$；
当$y_1=y_2$时，$150x=50x+20000$，解得$x=200$；
当$y_1＞y_2$时，$150x＞50x+20000$，解得$x＞200$。
∴当购买垃圾箱数量小于200个时，选择方案一更优惠；当购买数量等于200个时，两种方案费用相同；当购买数量大于200个时，选择方案二更优惠。
(4) 设购买垃圾分类宣传版面$m$个，则购买垃圾箱$(2700-m)$个，所需总费用为$W$元。
由题意得：$2700-m≤4.4m$，解得$m≥500$。
总费用$W=240m+150(2700-m)=90m+405000$，
∵$90＞0$，
∴$W$随$m$的增大而增大，
∴当$m=500$时，$W$取得最小值，$W_{最小}=90×500+405000=450000$元。
【答案】
(1)①$\boxed{150}$；②$\boxed{20000}$，$\boxed{50}$
(2)$\boxed{y_1=150x}$；$\boxed{y_2=50x+20000}$
(3)当购买垃圾箱数量小于200个时选择方案一更优惠；等于200个时两种方案一样优惠；大于200个时选择方案二更优惠。
(4)购买500个垃圾分类宣传版面时所需总费用最少，最少为450000元。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合垃圾分类的现实场景，将实际问题转化为数学模型，综合考查了一次函数解析式求解、方案选择及最值问题，需要学生具备提取有效信息、分类讨论和利用函数性质解决实际问题的能力，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.65
