1. 如图，在$△ ABC$中，$AB≠AC$，点$D$，$E$，$F$分别是边$AB$，$AC$，$BC$的中点，则下列结论错误的是 （）

A.$DE// BC$
B.$∠ B=∠ EFC$
C.$∠ BAF=∠ CAF$
D.$OD=OE$

C

根据三角形中位线定理逐一判断选项：
1. 选项A：D、E分别是AB、AC中点，由三角形中位线性质可得$DE// BC$，结论正确。
2. 选项B：E、F分别是AC、BC中点，由三角形中位线性质得$EF// AB$，根据两直线平行同位角相等，可得$∠ B=∠ EFC$，结论正确。
3. 选项C：F是BC中点，但已知$AB≠ AC$，根据等腰三角形三线合一性质，AF不是$∠ BAC$的角平分线，因此$∠ BAF≠∠ CAF$，该结论错误。
4. 选项D：由$DE// BC$，D是AB中点，可得$OD=\frac{1}{2}BF$，同理$OE=\frac{1}{2}FC$，又F是BC中点，$BF=FC$，因此$OD=OE$，结论正确。
综上错误的结论是选项C。

2.如图，$△ ABC$的中线$BD$，$CE$交于点$O$，连接$OA$，点$G$，$F$分别为$OC$，$OB$的中点。若$BC=10$，$AO=8$，则四边形$DEFG$的周长为（）

A.20
B.18
C.16
D.14

B

根据三角形中位线定理求解：
1. 因为BD、CE是△ABC的中线，所以D为AC中点，E为AB中点，DE是△ABC的中位线，得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$；
2. 点G、F分别为OC、OB的中点，GF是△OBC的中位线，得$GF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$；
3. 同理，EF是△ABO的中位线，得$EF=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}×8=4$；DG是△ACO的中位线，得$DG=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}×8=4$；
4. 四边形DEFG的周长为$DE+EF+FG+GD=5+4+5+4=18$。

3. 如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形……按这样的规律，第2026个等边三角形的周长为（）

A.$\frac{1}{2^{2025}}$
B.$\frac{1}{2^{2026}}$
C.$\frac{1}{4050}$
D.$\frac{1}{4052}$

A

根据三角形中位线定理，连接三角形各边中点得到的新等边三角形的边长为原三角形边长的$\frac{1}{2}$，因此新三角形的周长是原三角形周长的$\frac{1}{2}$。
已知第一个等边三角形周长为1：
第2个等边三角形周长为$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{1}}$，
第3个等边三角形周长为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$，
以此类推，第$n$个等边三角形的周长为$\frac{1}{2^{n-1}}$。
当$n=2026$时，第2026个等边三角形的周长为$\frac{1}{2^{2026-1}}=\frac{1}{2^{2025}}$。