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4. 如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=12，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF。若EF=10，则BD的长是（）
A.$8\sqrt{6}$
B.20
C.$12\sqrt{2}$
D.16
A.$8\sqrt{6}$
B.20
C.$12\sqrt{2}$
D.16
答案
D
解析
取AB的中点G，连接EG、FG。
∵E是AD中点，G是AB中点，∴EG是△ABD的中位线，可得$EG// BD$，$EG=\frac{1}{2}BD$。
∵F是BC中点，G是AB中点，∴FG是△ABC的中位线，可得$FG// AC$，$FG=\frac{1}{2}AC$。
已知$AC=12$，因此$FG=6$。
由$AC⊥ BD$，结合$EG// BD$、$FG// AC$，可得$EG⊥ FG$，即$△ EGF$是直角三角形。
在$Rt△ EGF$中，$EF=10$，$FG=6$，由勾股定理得$EG=\sqrt{EF^2-FG^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
结合$EG=\frac{1}{2}BD$，可得$BD=2EG=16$。
∵E是AD中点，G是AB中点，∴EG是△ABD的中位线，可得$EG// BD$，$EG=\frac{1}{2}BD$。
∵F是BC中点，G是AB中点，∴FG是△ABC的中位线，可得$FG// AC$，$FG=\frac{1}{2}AC$。
已知$AC=12$，因此$FG=6$。
由$AC⊥ BD$，结合$EG// BD$、$FG// AC$，可得$EG⊥ FG$，即$△ EGF$是直角三角形。
在$Rt△ EGF$中，$EF=10$，$FG=6$，由勾股定理得$EG=\sqrt{EF^2-FG^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
结合$EG=\frac{1}{2}BD$，可得$BD=2EG=16$。
5.如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长约为42 m，由此可知A，B间的距离约为 m。
答案
$\boldsymbol{84}$
解析
解：
∵ M是AC的中点，N是BC的中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
由三角形中位线的性质可得：$AB=2MN$。
∵ $MN\approx42\ \mathrm{m}$，
∴ $AB\approx2×42=84\ \mathrm{m}$。
∵ M是AC的中点，N是BC的中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
由三角形中位线的性质可得：$AB=2MN$。
∵ $MN\approx42\ \mathrm{m}$，
∴ $AB\approx2×42=84\ \mathrm{m}$。
6.如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC的中点，在AC的延长线上取一点F，使EF=BC，且∠DEF=∠ACB。若DF=8，则DE的长是。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
∵ 点D，E分别是△ABC边AC，BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AB，且DE = $\frac{1}{2}$AB。
在△DEF和△CAB中：
$\begin{cases}∠DEF = ∠ACB \\EF = BC \\DE // AB \implies ∠CDE = ∠A\end{cases}$
可证得△DEF ≌ △CAB，因此DF = AB。
已知DF=8，即AB=8，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 8 = 4$。
∵ 点D，E分别是△ABC边AC，BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AB，且DE = $\frac{1}{2}$AB。
在△DEF和△CAB中：
$\begin{cases}∠DEF = ∠ACB \\EF = BC \\DE // AB \implies ∠CDE = ∠A\end{cases}$
可证得△DEF ≌ △CAB，因此DF = AB。
已知DF=8，即AB=8，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 8 = 4$。
7.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点。若∠A=75°,∠ABC=85°,则∠PNM的度数是。
答案
$\boldsymbol{10°}$
解析
解：
∵ P是BD的中点，N是AB的中点，
∴ PN是△ABD的中位线，
∴ PN//AD，$PN=\frac{1}{2}AD$。
∵ P是BD的中点，M是DC的中点，
∴ PM是△BCD的中位线，
∴ PM//BC，$PM=\frac{1}{2}BC$。
又∵ $AD=BC$，
∴ $PN=PM$，即△PNM为等腰三角形，$∠ PNM=∠ PMN$。
延长AD、BC交于点O，在△OAB中：
$∠ O=180°-∠ A-∠ ABC=180°-75°-85°=20°$。
由$PN// AD$，$PM// BC$，可得$∠ NPM=180°-∠ O=160°$。
∴ $∠ PNM=\frac{180°-160°}{2}=10°$。
∵ P是BD的中点，N是AB的中点，
∴ PN是△ABD的中位线，
∴ PN//AD，$PN=\frac{1}{2}AD$。
∵ P是BD的中点，M是DC的中点，
∴ PM是△BCD的中位线，
∴ PM//BC，$PM=\frac{1}{2}BC$。
又∵ $AD=BC$，
∴ $PN=PM$，即△PNM为等腰三角形，$∠ PNM=∠ PMN$。
延长AD、BC交于点O，在△OAB中：
$∠ O=180°-∠ A-∠ ABC=180°-75°-85°=20°$。
由$PN// AD$，$PM// BC$，可得$∠ NPM=180°-∠ O=160°$。
∴ $∠ PNM=\frac{180°-160°}{2}=10°$。
8.如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于点E，F为BC的中点，连接EF。
若∠BAC=80°，∠EBD=20°，则∠EFD的度数是。
若∠BAC=80°，∠EBD=20°，则∠EFD的度数是。
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
解：
延长BE交AC于点G。
∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=80°，
∴∠BAE=∠GAE=40°。
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEG=90°。
在△ABE和△AGE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠GAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEG\end{array} $
∴△ABE≌△AGE(ASA)，
∴BE=EG，即E是BG的中点。
∵F为BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF//AC。
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠BAE=90°-40°=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD=50°+20°=70°。
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-70°=30°。
∵EF//AC，
∴∠EFD=∠C=30°。
延长BE交AC于点G。
∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=80°，
∴∠BAE=∠GAE=40°。
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEG=90°。
在△ABE和△AGE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠GAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEG\end{array} $
∴△ABE≌△AGE(ASA)，
∴BE=EG，即E是BG的中点。
∵F为BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF//AC。
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠BAE=90°-40°=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD=50°+20°=70°。
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-70°=30°。
∵EF//AC，
∴∠EFD=∠C=30°。
9. 如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$分别是$AD$，$BC$上的点，且$DE=CF$，$BE$和$AF$的交点为$M$，$CE$和$DF$的交点为$N$。求证：$MN// AD$，$MN=\dfrac{1}{2}AD$。
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC。
∵ DE = CF，
∴ AD - DE = BC - CF，即 AE = BF。
又∵ AE//BF，
∴ 四边形ABFE是平行四边形。
由平行四边形对角线互相平分可得，M是AF的中点。
同理，∵ DE//CF，DE = CF，
∴ 四边形DEFC是平行四边形，
∴ N是DF的中点。
∴ 在△AFD中，MN是中位线，
∴ MN//AD，$MN=\frac{1}{2}AD$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC。
∵ DE = CF，
∴ AD - DE = BC - CF，即 AE = BF。
又∵ AE//BF，
∴ 四边形ABFE是平行四边形。
由平行四边形对角线互相平分可得，M是AF的中点。
同理，∵ DE//CF，DE = CF，
∴ 四边形DEFC是平行四边形，
∴ N是DF的中点。
∴ 在△AFD中，MN是中位线，
∴ MN//AD，$MN=\frac{1}{2}AD$。
