10.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$E$,$F$分别是$BC$,$AC$的中点,延长$BA$到点$D$,使$AD=\frac{1}{2}AB$,连接$DE$,$DF$。
(1)求证:$AF$与$DE$互相平分；
(2)若$∠ ABC=60°$,$BC=4$,求$DF$的长。

(1) 证明：
连接$AE$，$EF$。
∵$E$，$F$分别是$BC$，$AC$的中点，
∴$EF$是$△ ABC$的中位线，
∴$EF// AB$，且$EF=\dfrac{1}{2}AB$。
又∵$AD=\dfrac{1}{2}AB$，
∴$AD=EF$，
∵点$D$在$BA$的延长线上，
∴$AD// EF$，
∴四边形$ADEF$是平行四边形，
∴平行四边形$ADEF$的对角线$AF$与$DE$互相平分。
---
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ ABC=60°$，$BC=4$，
∴$∠ C=90°-60°=30°$，
∴$AB=\dfrac{1}{2}BC=2$。
∵$E$是斜边$BC$的中点，
∴$AE=\dfrac{1}{2}BC=2$。
由(1)知四边形$ADEF$是平行四边形，
∴$DF=AE=2$。
答：$DF$的长为$2$。

11.如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O,∠ ADC$ 的平分线与边 $AB$ 相交于点 $P,E$ 是 $PD$ 的中点。若 $AD=6,CD=9$，则 $EO$ 的长为 （）


A.$1$
B.$\frac{3}{2}$
C.$2$
D.$3$

B

1. 由平行四边形性质得：$AB// CD$，$AB=CD=9$，对角线交点$O$是$BD$的中点。
2. 因为$DP$平分$∠ ADC$，所以$∠ ADP=∠ CDP$；由$AB// CD$得$∠ CDP=∠ APD$，因此$∠ ADP=∠ APD$，可得$△ ADP$为等腰三角形，$AP=AD=6$。
3. 计算得$PB=AB-AP=9-6=3$。
4. 已知$E$是$PD$的中点，$O$是$BD$的中点，因此$EO$是$△ DPB$的中位线，根据三角形中位线定理：$EO=\frac{1}{2}PB=\frac{3}{2}$。

12. 如图，在$□ ABCD$中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M，交AB于点N，分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交DC于点E，$DE=2CE$，点F，G分别是AE，BE的中点。若$FG=6\ \mathrm{cm}$，则四边形ABCD的周长是（）


A.20 cm
B.32 cm
C.36 cm
D.40 cm

D

1. 由F、G分别是AE、BE的中点，根据三角形中位线定理，FG是△ABE的中位线，因此$AB=2FG=2×6=12\ \mathrm{cm}$。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AB// DC$，$AB=DC=12\ \mathrm{cm}$，$AD=BC$。结合$DE=2CE$，可得$DE+CE=DC=12\ \mathrm{cm}$，解得$CE=4\ \mathrm{cm}$，$DE=8\ \mathrm{cm}$。
3. 由作图痕迹可知AE是$∠ DAB$的角平分线，即$∠ DAE=∠ EAB$。又因为$AB// DC$，所以$∠ EAB=∠ DEA$，因此$∠ DAE=∠ DEA$，可得$AD=DE=8\ \mathrm{cm}$。
4. 平行四边形ABCD的周长为$2×(AD+AB)=2×(8+12)=40\ \mathrm{cm}$。