13.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$M$,$N$分别是$AB$,$AC$的中点,$D$,$E$为$BC$上的点,连接$DN$,$EM$。若$AB=13\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,$DE=5\ \mathrm{cm}$,则图中阴影部分的面积为（）

A.$20\ \mathrm{cm}^2$
B.$30\ \mathrm{cm}^2$
C.$40\ \mathrm{cm}^2$
D.$50\ \mathrm{cm}^2$

B

1. 过点A作AH⊥BC于H，由AB=AC，等腰三角形三线合一得BH=1/2BC=5cm。在Rt△ABH中，由勾股定理计算得AH=√(13²-5²)=12cm，因此△ABC的面积S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×10×12=60cm²。
2. 连接MN，M、N分别是AB、AC的中点，因此MN是△ABC的中位线，可得MN//BC，MN=1/2BC=5cm，MN到BC的距离为1/2AH=6cm。
3. 设EM、DN的交点为O，由MN//DE，MN=DE=5cm，可证△MNO≌△EDO，二者面积相等。通过等积转化，阴影部分的总面积等于△ABC面积的一半，即60÷2=30cm²。

14.如图,已知在$△ ABC$中,$∠ C=30°$,$E$为$AB$延长线上一点,且$AB=BE$,$D$为$BC$边上一点,连接$DE$,在边$AC$,$DE$上分别取点$F$,$G$,使得$AF=GE=4$,连接$FG$,交边$BC$于点$M$。若$M$为$FG$的中点,则$MB$的长为 （）

A.$\frac{5}{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3$
D.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

B

延长EM至点K，使MK=EM，连接FK：
1. 因为M为FG中点，故FM=GM，又∠FMK=∠GME，MK=EM，可证△FMK≌△GME（SAS），得FK=GE=4，且FK//DE。
2. 已知AF=GE=4，因此FK=AF=4。
3. 由AB=BE可知B是AE中点，结合M是KE中点，可得MB是△AKE的中位线，因此$MB=\frac{1}{2}AK$。
4. 结合∠C=30°，FK//DE可推得∠AFK=120°，等腰△AFK中，AF=FK=4，作FT⊥AK于T，由三线合一得∠AFT=60°，$AT=AF·\sin60°=2\sqrt{3}$，故$AK=2AT=4\sqrt{3}$。
5. 代入得$MB=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。

15. 如图，在$△ ABC$中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F。若$AF=3$，则FC的长是。

$\boldsymbol{6}$

解：过点D作DG//BF，交AC于点G。
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点。
又∵DG//BF，
∴DG是△BCF的中位线，
∴G是CF的中点，即$CG = FG$。
∵E是AD的中点，且EF//DG，
∴EF是△ADG的中位线，
∴F是AG的中点，即$AF = FG$。
∵$AF = 3$，
∴$FG = 3$，$CG = 3$，
∴$FC = FG + CG = 6$。

16.如图，在$△ ABC$中，$BA=BC=5$，$AC=6$，$D$，$E$分别是$BC$，$AB$边上的动点，连接$DE$，$F$，$M$分别是$CD$，$DE$的中点，则$FM$的最小值为________。

$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$

解：连接CE。
∵F，M分别是CD，DE的中点，
∴FM是△CDE的中位线，
∴FM = $\frac{1}{2}$ CE。
要使FM取得最小值，只需CE取得最小值，CE的最小值为点C到AB边的垂线段长度。
过点B作BH⊥AC于点H，
∵BA=BC=5，AC=6，
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$ AC=3，
由勾股定理得：$BH=\sqrt{BC^2 - CH^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BH = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
设点C到AB边的垂线段长为h，
则$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AB · h = 12$，
代入AB=5，得$\frac{1}{2} × 5 × h = 12$，
解得$h=\frac{24}{5}$，即CE的最小值为$\frac{24}{5}$，
∴FM的最小值为$\frac{1}{2} × \frac{24}{5} = \frac{12}{5}$。

17. 如图,在四边形ABCD中,对角线$BD⊥ CD$,且平分$∠ ABC$,O为BD的中点。在BC上取一点G,使$AG⊥ BD$,E为垂足,取AC的中点F,连接DF,EF。有以下结论:①$CO=\frac{1}{2}BD$;②$EF// BC$;③$DF=\frac{1}{2}CG$;④连接BF,则四边形ABFD是平行四边形;⑤$FD=2AE$。其中正确的结论是(填序号)。

解：
逐一判断各结论：
1. 判断结论①：
已知$BD⊥ CD$，即$△ BDC$为直角三角形，$∠ BDC=90°$，O是BD中点，并非斜边BC的中点，因此$CO＞\frac{1}{2}BD$，结论①错误。
2. 判断结论②：
因为BD平分$∠ ABC$，所以$∠ ABE=∠ GBE$，又$AG⊥ BD$，即$∠ AEB=∠ GEB=90°$，且$BE=BE$，可得$△ ABE≌△ GBE$，因此$AE=EG$，即E是AG的中点。
已知F是AC的中点，根据三角形中位线定理，EF是$△ AGC$的中位线，因此$EF// GC$，即$EF// BC$，结论②正确。
3. 判断结论③：
延长DF交AG的延长线于点H，由$AG⊥ BD$，$BD⊥ CD$，可得$AG// CD$，因此$∠ HAF=∠ DCF$。
又$AF=CF$，$∠ AFH=∠ CFD$，可得$△ AFH≌△ CFD(\mathrm{ASA})$，因此$DF=FH$，即F是DH的中点。
在$\mathrm{Rt}△ DEH$中，$∠ DEH=90°$，F是DH中点，由直角三角形斜边中线性质得$EF=\frac{1}{2}DH=DF$。
结合EF是$△ AGC$的中位线，得$EF=\frac{1}{2}CG$，因此$DF=\frac{1}{2}CG$，结论③正确。
4. 判断结论④：
题中无足够条件证明$AB// DF$且$AB=DF$，无法推出四边形ABFD是平行四边形，结论④错误。
5. 判断结论⑤：
由$DF=\frac{1}{2}CG$，$AE=\frac{1}{2}AG$，题中无条件证明$CG=2AG$，无法推出$FD=2AE$，结论⑤错误。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{②③}$。