18.在$△ ABC$中，D，E分别是AB，AC的中点，O是$△ ABC$内任意一点，连接OB，OC。
(1)如图1，G，F分别是OB，OC的中点，连接DG，GF，FE，DE，求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)如图2，若O恰为BE和CD的交点，求证：$OB=2OE$，$OC=2OD$；
(3)如图3，若O恰为BE和CD的交点，射线AO与BC交于点M，求证：$BM=CM$。

(1) 证明：
∵ D，E分别是AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
∵ G，F分别是OB，OC的中点，
∴ GF是△OBC的中位线，
∴ $GF// BC$，$GF=\frac{1}{2}BC$。
∴ $DE// GF$，$DE=GF$，
∴ 四边形DEFG是平行四边形。
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(2) 证明：
连接DE，
∵ D，E分别是AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴ $∠ ODE=∠ OCB$，$∠ OED=∠ OBC$，
∴ $△ ODE ∽ △ OCB$，
∴ $\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OD}=\frac{BC}{DE}=2$，
∴ $OB=2OE$，$OC=2OD$。
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(3) 证明：
延长AM到点N，使$ON=AO$，连接BN，CN。
∵ D是AB的中点，O是AN的中点，
∴ DO是△ABN的中位线，
∴ $DO// BN$，即$DC// BN$。
同理，E是AC的中点，O是AN的中点，
∴ EO是△ACN的中位线，
∴ $EO// CN$，即$BE// CN$。
∴ 四边形OBNC是平行四边形，
∵ 平行四边形对角线互相平分，
∴ $BM=CM$。

三角形中线与中位线的“相遇密码”
取任意三角形纸片，不用尺子量、不用笔做记号，仅靠对折折出三角形的一条中位线，以及这条中位线所对第三边上的中线，动手试一试。仔细观察二者的交点，你有什么发现？
答案：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

解：
折纸操作方法
1. 折中位线：将三角形任意一个角的顶点向对边对折，使该顶点落在对边上，且折痕两端分别落在该角相邻的两条边上，展开后得到第一条边的中点，用同样方法得到第二条边的中点，过这两个中点的折痕就是三角形的一条中位线。
2. 折对应中线：将上述中位线所对的第三边的两个端点对齐对折，展开后得到的过该边中点和对角顶点的折痕，就是这条中位线所对第三边上的中线。
结论验证
设△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE为△ABC的中位线，F是DE所对边BC的中点，AF是BC边上的中线，连接DF、EF。
∵ D、E分别是AB、AC的中点，
∴ DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$。
∵ E、F分别是AC、BC的中点，
∴ EF//AB，$EF=\frac{1}{2}AB$。
∴ 四边形ADFE是平行四边形。
∵ 平行四边形的对角线互相平分，
∴ DE与AF互相平分。
发现：三角形的一条中位线与这条中位线所对第三边上的中线互相平分。