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1. 下列各式中，是最简二次根式的是（
A.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{27}$
D.$\sqrt{x^2 + 1}$
D
）.A.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{27}$
D.$\sqrt{x^2 + 1}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数的因数是整数、因式是整式，即被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们按照这两个标准逐一排查每个选项，即可选出正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数不含分母；2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数含有分母，不符合要求，可化简为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{x^2 + 1}$的被开方数是整式，且不存在能开得尽方的因式，符合最简二次根式的所有要求。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，熟练掌握最简二次根式的两个判定条件即可快速解题，是二次根式章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数的因数是整数、因式是整式，即被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们按照这两个标准逐一排查每个选项，即可选出正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数不含分母；2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数含有分母，不符合要求，可化简为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{x^2 + 1}$的被开方数是整式，且不存在能开得尽方的因式，符合最简二次根式的所有要求。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，熟练掌握最简二次根式的两个判定条件即可快速解题，是二次根式章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
2. 下列根式中，不能与$\sqrt{48}$合并的是（
A.$\sqrt{0.12}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{1\dfrac{1}{3}}$
D.$-\sqrt{75}$
B
）.A.$\sqrt{0.12}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{1\dfrac{1}{3}}$
D.$-\sqrt{75}$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断根式能否与$\sqrt{48}$合并，首先要明确：只有化成最简二次根式后，被开方数相同的同类二次根式才能合并。本题的解题思路为：第一步先将$\sqrt{48}$化为最简二次根式，第二步分别把四个选项的根式也化为最简形式，第三步对比各选项最简根式的被开方数是否与$\sqrt{48}$化简后的被开方数一致，被开方数不同的就是不能合并的选项。
【解析】
首先化简$\sqrt{48}$：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，最简后被开方数为3。
再逐一化简各选项：
A. $\sqrt{0.12}=\sqrt{\frac{12}{100}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{100}}=\frac{2\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，最简后被开方数为3，是同类二次根式，可以合并；
B. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，最简后被开方数为2，不是同类二次根式，不能合并；
C. $\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，最简后被开方数为3，是同类二次根式，可以合并；
D. $-\sqrt{75}=-\sqrt{25×3}=-5\sqrt{3}$，最简后被开方数为3，是同类二次根式，可以合并。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的化简 2. 同类二次根式的判定
【点评】
本题属于二次根式部分的基础常考题，核心考查同类二次根式的判断规则，解题的关键是熟练掌握二次根式化简、分母有理化的方法，避免因化简失误导致判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断根式能否与$\sqrt{48}$合并，首先要明确：只有化成最简二次根式后，被开方数相同的同类二次根式才能合并。本题的解题思路为：第一步先将$\sqrt{48}$化为最简二次根式，第二步分别把四个选项的根式也化为最简形式，第三步对比各选项最简根式的被开方数是否与$\sqrt{48}$化简后的被开方数一致，被开方数不同的就是不能合并的选项。
【解析】
首先化简$\sqrt{48}$：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，最简后被开方数为3。
再逐一化简各选项：
A. $\sqrt{0.12}=\sqrt{\frac{12}{100}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{100}}=\frac{2\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，最简后被开方数为3，是同类二次根式，可以合并；
B. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，最简后被开方数为2，不是同类二次根式，不能合并；
C. $\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，最简后被开方数为3，是同类二次根式，可以合并；
D. $-\sqrt{75}=-\sqrt{25×3}=-5\sqrt{3}$，最简后被开方数为3，是同类二次根式，可以合并。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的化简 2. 同类二次根式的判定
【点评】
本题属于二次根式部分的基础常考题，核心考查同类二次根式的判断规则，解题的关键是熟练掌握二次根式化简、分母有理化的方法，避免因化简失误导致判断错误。
【难度系数】
0.8
3. 下列计算正确的是（
A.$3+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
B.$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=2$
C.$\sqrt{9}=\pm3$
D.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
B
）.A.$3+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
B.$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=2$
C.$\sqrt{9}=\pm3$
D.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算与基础概念，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点判断对错即可：首先明确①只有同类二次根式才能合并，合并时仅系数加减、被开方数不变；②二次根式除法法则为$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0, b＞0$）；③$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，结果为非负数，据此逐一验证选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$3$是有理数，$\sqrt{3}$是最简二次根式，二者不是同类二次根式，无法合并，因此$3+\sqrt{3}≠3\sqrt{3}$，A错误；
B选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}=\sqrt{4}=2$，运算正确，B符合要求；
C选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根是非负的，因此$\sqrt{9}=3$，不是$\pm3$，C错误；
D选项：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$是不同的最简二次根式，不是同类二次根式，无法直接相加合并，因此$\sqrt{3}+\sqrt{2}≠\sqrt{5}$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算；算术平方根的概念；同类二次根式的合并
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，易错点在于混淆算术平方根和平方根的概念、随意合并非同类二次根式，只要熟练掌握二次根式的相关运算法则和基础概念，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算与基础概念，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点判断对错即可：首先明确①只有同类二次根式才能合并，合并时仅系数加减、被开方数不变；②二次根式除法法则为$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0, b＞0$）；③$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，结果为非负数，据此逐一验证选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$3$是有理数，$\sqrt{3}$是最简二次根式，二者不是同类二次根式，无法合并，因此$3+\sqrt{3}≠3\sqrt{3}$，A错误；
B选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}=\sqrt{4}=2$，运算正确，B符合要求；
C选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根是非负的，因此$\sqrt{9}=3$，不是$\pm3$，C错误；
D选项：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$是不同的最简二次根式，不是同类二次根式，无法直接相加合并，因此$\sqrt{3}+\sqrt{2}≠\sqrt{5}$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算；算术平方根的概念；同类二次根式的合并
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，易错点在于混淆算术平方根和平方根的概念、随意合并非同类二次根式，只要熟练掌握二次根式的相关运算法则和基础概念，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
4. 一个正方体的水晶砖，体积为$100\ \mathrm{cm}^3$，它的棱长大约在（
A.$4\ \mathrm{cm}$~$5\ \mathrm{cm}$之间
B.$5\ \mathrm{cm}$~$6\ \mathrm{cm}$之间
C.$6\ \mathrm{cm}$~$7\ \mathrm{cm}$之间
D.$7\ \mathrm{cm}$~$8\ \mathrm{cm}$之间
A
）.A.$4\ \mathrm{cm}$~$5\ \mathrm{cm}$之间
B.$5\ \mathrm{cm}$~$6\ \mathrm{cm}$之间
C.$6\ \mathrm{cm}$~$7\ \mathrm{cm}$之间
D.$7\ \mathrm{cm}$~$8\ \mathrm{cm}$之间
答案
4.A
解析
【分析】
要确定正方体棱长的范围，首先根据正方体体积公式，可知棱长是体积的立方根，因此本题本质是估算$\sqrt[3]{100}$的取值范围。我们可以先找到与100相邻的两个正整数的立方值，再根据立方根的大小变化规律，就能判断出$\sqrt[3]{100}$所在的区间，对应得到答案。
【解析】
设正方体水晶砖的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，已知体积为$100\ \mathrm{cm}^3$，可得：
$a^3=100$，即$a=\sqrt[3]{100}$。
计算相邻整数的立方：$4^3=64$，$5^3=125$。
因为$64＜100＜125$，且立方根随被开方数的增大而增大，所以$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{100}＜\sqrt[3]{125}$，化简得$4＜\sqrt[3]{100}＜5$。
因此棱长在$4\ \mathrm{cm}$~$5\ \mathrm{cm}$之间，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体体积计算；立方根的估算
【点评】
本题是立方根估算的基础应用题型，解题的核心是熟记常见整数的立方值，结合被开方数的大小关系即可快速判断立方根的取值范围，整体考查难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定正方体棱长的范围，首先根据正方体体积公式，可知棱长是体积的立方根，因此本题本质是估算$\sqrt[3]{100}$的取值范围。我们可以先找到与100相邻的两个正整数的立方值，再根据立方根的大小变化规律，就能判断出$\sqrt[3]{100}$所在的区间，对应得到答案。
【解析】
设正方体水晶砖的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，已知体积为$100\ \mathrm{cm}^3$，可得：
$a^3=100$，即$a=\sqrt[3]{100}$。
计算相邻整数的立方：$4^3=64$，$5^3=125$。
因为$64＜100＜125$，且立方根随被开方数的增大而增大，所以$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{100}＜\sqrt[3]{125}$，化简得$4＜\sqrt[3]{100}＜5$。
因此棱长在$4\ \mathrm{cm}$~$5\ \mathrm{cm}$之间，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体体积计算；立方根的估算
【点评】
本题是立方根估算的基础应用题型，解题的核心是熟记常见整数的立方值，结合被开方数的大小关系即可快速判断立方根的取值范围，整体考查难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 若$\sqrt{(a - 3)^2}=3 - a$，则$a$与3的大小关系是（
A.$a＜3$
B.$a≤3$
C.$a＞3$
D.$a≥3$
B
）.A.$a＜3$
B.$a≤3$
C.$a＞3$
D.$a≥3$
答案
5.B
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆二次根式的相关性质，看到根号下平方的形式，首先想到$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为绝对值的形式，再结合绝对值的化简规则：若$|x|=-x$，则$x$是非正数（即$x≤0$），代入对应的式子就能求出$a$的取值范围，进而判断$a$和3的大小关系。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(a - 3)^2}=|a-3|$
已知$\sqrt{(a - 3)^2}=3 - a$，因此$|a-3|=3-a=-(a-3)$
根据绝对值的性质：当$x≤0$时，$|x|=-x$，此处$x=a-3$，因此：
$a-3≤0$
移项得$a≤3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查二次根式的化简和绝对值的性质，易错点是容易忽略等于0的情况，即漏掉$a=3$的可能，做题时要注意非正数包含0哦。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆二次根式的相关性质，看到根号下平方的形式，首先想到$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为绝对值的形式，再结合绝对值的化简规则：若$|x|=-x$，则$x$是非正数（即$x≤0$），代入对应的式子就能求出$a$的取值范围，进而判断$a$和3的大小关系。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(a - 3)^2}=|a-3|$
已知$\sqrt{(a - 3)^2}=3 - a$，因此$|a-3|=3-a=-(a-3)$
根据绝对值的性质：当$x≤0$时，$|x|=-x$，此处$x=a-3$，因此：
$a-3≤0$
移项得$a≤3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查二次根式的化简和绝对值的性质，易错点是容易忽略等于0的情况，即漏掉$a=3$的可能，做题时要注意非正数包含0哦。
【难度系数】
0.8
6. 比较大小：5______$3\sqrt{2}$.（选填“＞”或“＜”）
答案
6. ＞
解析
【分析】
要比较两个正数的大小，可利用“两个正数，平方越大则原数越大”的性质，将带根号的数转化为有理数后再比较，计算更简便。首先明确5和$3\sqrt{2}$都是正数，分别计算二者的平方，通过比较平方结果的大小，就能得到原数的大小关系。
【解析】
因为两个正数比较大小，平方大的原数更大：
1. 计算5的平方：$5^2=25$
2. 计算$3\sqrt{2}$的平方：$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$
由于$25＞18$，因此$5＞3\sqrt{2}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质
【点评】
本题是含二次根式的实数比较大小的基础题，平方法是解决这类问题的常用技巧，能快速将带根号的数转化为有理数比较，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要比较两个正数的大小，可利用“两个正数，平方越大则原数越大”的性质，将带根号的数转化为有理数后再比较，计算更简便。首先明确5和$3\sqrt{2}$都是正数，分别计算二者的平方，通过比较平方结果的大小，就能得到原数的大小关系。
【解析】
因为两个正数比较大小，平方大的原数更大：
1. 计算5的平方：$5^2=25$
2. 计算$3\sqrt{2}$的平方：$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$
由于$25＞18$，因此$5＞3\sqrt{2}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质
【点评】
本题是含二次根式的实数比较大小的基础题，平方法是解决这类问题的常用技巧，能快速将带根号的数转化为有理数比较，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
7. 计算：$(\sqrt{0.5})^2 = \underline{\hspace{8cm}}$，$\sqrt{(-4)^2} = \underline{\hspace{6cm}}$，$(-3\sqrt{2})^2 = \underline{\hspace{5cm}}$.
答案
7. 0.5，4，18
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题时可根据每个式子的特征匹配对应的运算性质求解：
1. 第一个式子是$(\sqrt{a})^2$的形式，可直接运用二次根式性质$(\sqrt{a})^2 = a\ (a≥0)$计算，其中$a=0.5$满足非负条件，直接代入即可；
2. 第二个式子是$\sqrt{a^2}$的形式，可先计算根号内的乘方，再求算术平方根，也可运用性质$\sqrt{a^2}=|a|$求解，避免符号错误；
3. 第三个式子是含系数的二次根式的平方，先运用积的乘方法则$(ab)^2=a^2b^2$将系数和二次根式分别平方，再计算乘积得到结果。
【解析】
1. 计算$(\sqrt{0.5})^2$：
根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2 = a\ (a≥0)$，$0.5≥0$，因此$(\sqrt{0.5})^2=0.5$；
2. 计算$\sqrt{(-4)^2}$：
先算根号内的乘方：$(-4)^2=16$，再求16的算术平方根，得$\sqrt{16}=4$；也可根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得$\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4$；
3. 计算$(-3\sqrt{2})^2$：
根据积的乘方法则$(ab)^2=a^2b^2$，展开得$(-3)^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$。
【答案】
0.5，4，18
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 积的乘方运算
3. 算术平方根计算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查对二次根式两个常用性质的区分和应用，计算时需注意区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的适用条件，避免出现符号错误，熟练掌握基础性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的相关运算，解题时可根据每个式子的特征匹配对应的运算性质求解：
1. 第一个式子是$(\sqrt{a})^2$的形式，可直接运用二次根式性质$(\sqrt{a})^2 = a\ (a≥0)$计算，其中$a=0.5$满足非负条件，直接代入即可；
2. 第二个式子是$\sqrt{a^2}$的形式，可先计算根号内的乘方，再求算术平方根，也可运用性质$\sqrt{a^2}=|a|$求解，避免符号错误；
3. 第三个式子是含系数的二次根式的平方，先运用积的乘方法则$(ab)^2=a^2b^2$将系数和二次根式分别平方，再计算乘积得到结果。
【解析】
1. 计算$(\sqrt{0.5})^2$：
根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2 = a\ (a≥0)$，$0.5≥0$，因此$(\sqrt{0.5})^2=0.5$；
2. 计算$\sqrt{(-4)^2}$：
先算根号内的乘方：$(-4)^2=16$，再求16的算术平方根，得$\sqrt{16}=4$；也可根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得$\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4$；
3. 计算$(-3\sqrt{2})^2$：
根据积的乘方法则$(ab)^2=a^2b^2$，展开得$(-3)^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$。
【答案】
0.5，4，18
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 积的乘方运算
3. 算术平方根计算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查对二次根式两个常用性质的区分和应用，计算时需注意区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的适用条件，避免出现符号错误，熟练掌握基础性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85
8. 化简：$\sqrt{500}=$______，$\sqrt{4\dfrac{2}{3}}=$______.
答案
8. $10\sqrt{5}$，$\dfrac{\sqrt{42}}{3}$
解析
【分析】
化简二次根式需要满足两个核心要求：一是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，二是被开方数不含分母。对于$\sqrt{500}$，先将被开方数分解出最大的完全平方因数，再利用二次根式的乘法性质化简；对于带分数形式的二次根式，先把带分数转化为假分数，再通过分母有理化将分母变为完全平方数后开方，即可得到最简结果。
【解析】
1. 化简$\sqrt{500}$：
将500拆分为完全平方数和剩余因数的乘积：$500=100×5$，其中100是$10^2$，属于可开尽方的因数。
根据二次根式性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{500}=\sqrt{100×5}=\sqrt{100}×\sqrt{5}=10\sqrt{5}$。
2. 化简$\sqrt{4\dfrac{2}{3}}$：
先将带分数化为假分数：$4\dfrac{2}{3}=\dfrac{4×3+2}{3}=\dfrac{14}{3}$。
被开方数含分母，给分子分母同乘3进行分母有理化：
$\sqrt{\dfrac{14}{3}}=\sqrt{\dfrac{14×3}{3×3}}=\dfrac{\sqrt{42}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{42}}{3}$。
【答案】
$10\sqrt{5}$，$\dfrac{\sqrt{42}}{3}$
【知识点】
二次根式化简；分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查最简二次根式的化简规则，解题时注意带分数要先转化为假分数再计算，不可直接拆分整数和分数部分化简，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
化简二次根式需要满足两个核心要求：一是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，二是被开方数不含分母。对于$\sqrt{500}$，先将被开方数分解出最大的完全平方因数，再利用二次根式的乘法性质化简；对于带分数形式的二次根式，先把带分数转化为假分数，再通过分母有理化将分母变为完全平方数后开方，即可得到最简结果。
【解析】
1. 化简$\sqrt{500}$：
将500拆分为完全平方数和剩余因数的乘积：$500=100×5$，其中100是$10^2$，属于可开尽方的因数。
根据二次根式性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{500}=\sqrt{100×5}=\sqrt{100}×\sqrt{5}=10\sqrt{5}$。
2. 化简$\sqrt{4\dfrac{2}{3}}$：
先将带分数化为假分数：$4\dfrac{2}{3}=\dfrac{4×3+2}{3}=\dfrac{14}{3}$。
被开方数含分母，给分子分母同乘3进行分母有理化：
$\sqrt{\dfrac{14}{3}}=\sqrt{\dfrac{14×3}{3×3}}=\dfrac{\sqrt{42}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{42}}{3}$。
【答案】
$10\sqrt{5}$，$\dfrac{\sqrt{42}}{3}$
【知识点】
二次根式化简；分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查最简二次根式的化简规则，解题时注意带分数要先转化为假分数再计算，不可直接拆分整数和分数部分化简，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
