8. 化简：(1) $(\sqrt{7})^{2}=$ ______； (2) $(-2\sqrt{3})^{2}=$ ______；

8.(1)7 (2)12

【分析】首先回忆二次根式的核心性质：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$；另外多个因式乘积的乘方适用积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$。解第(1)题直接套用二次根式的性质即可；解第(2)题时，先把原式拆成两个因式分别乘方，再结合二次根式的性质计算，最后将结果相乘即可得到答案。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，本题中$a=7≥0$，因此$(\sqrt{7})^2=7$。
(2) 根据积的乘方运算法则$(ab)^2=a^2b^2$，可得：
$(-2\sqrt{3})^2=(-2)^2×(\sqrt{3})^2$
先计算$(-2)^2=4$，再根据二次根式的性质得$(\sqrt{3})^2=3$，因此原式$=4×3=12$。
【答案】(1)$7$；(2)$12$
【知识点】二次根式的性质、积的乘方运算
【点评】本题属于基础运算题，重点考查二次根式乘方的相关计算，解题时要注意当系数带负号时，平方后负号会消失，牢记运算法则即可避免出错。
【难度系数】0.9

(3) $\sqrt{(-2)^2}=$；
(4) $\sqrt{(\dfrac{2}{3})^2}=$.

8.(3)2 (4)$\dfrac{2}{3}$

【分析】
求解这类“一个数的平方的算术平方根”类题目，解题思路如下：首先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，该性质保证了算术平方根的结果始终是非负数，因此不能直接消去根号和平方，需先将原式转化为绝对值形式；再根据绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）计算绝对值，即可得到最终结果。
【解析】
(3) 根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(-2)^2}=|-2|$
因为$-2$是负数，负数的绝对值是它的相反数，所以$|-2|=2$。
(4) 同理，根据二次根式性质可得：
$\sqrt{(\frac{2}{3})^2}=|\frac{2}{3}|$
因为$\frac{2}{3}$是正数，正数的绝对值是它本身，所以$|\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}$。
【答案】
(3)$2$；(4)$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次根式的基本性质与绝对值的化简运算，熟练掌握$\sqrt{a^2}=|a|$这一性质是解题的关键，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9

9. 比较大小：5______$2\sqrt{6}$.（填“＜”“＞”或“=”）

9.＞

【分析】
要比较两个正数的大小，可利用“对于正数，平方后数值更大的原数也更大”的性质，将带根号的数转化为有理数比较，降低解题难度。解题时先分别计算两个数的平方，再比较平方结果的大小，最后反推原数的大小关系即可。
【解析】
∵5和$2\sqrt{6}$均为正数，分别计算两数的平方：
$5^2=25$，
$(2\sqrt{6})^2=2^2×(\sqrt{6})^2=4×6=24$，
∵$25＞24$，根据正数平方越大对应原数越大的性质，
∴$5＞2\sqrt{6}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；二次根式乘方运算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，将含根号的数平方后转化为有理数比较是通用解题技巧，熟练掌握该方法可快速解答同类问题。
【难度系数】
0.9

10.长方形的面积是24，其中一边长是$2\sqrt{3}$，则另一边长是.

10.$4\sqrt{3}$

【分析】
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=相邻两边长的乘积。已知面积和其中一条边长，求另一边长，只需用面积除以已知边长即可。接下来按照二次根式的除法规则计算，最后将结果化为最简二次根式，注意最终结果的分母不能含有根号。
【解析】
解：根据长方形面积公式$S=a× b$（$S$为面积，$a、b$为相邻两边长），可得另一边长为：
$b = S÷ a = 24÷ 2\sqrt{3}$
先计算整数部分的除法：$24÷ 2 = 12$，原式化简为$\frac{12}{\sqrt{3}}$
对其进行分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{3}$：
$\frac{12×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
长方形面积计算，二次根式除法，分母有理化
【点评】
本题是基础运算类题目，结合几何图形的面积公式考察二次根式的化简运算，计算时需注意规范化简步骤，保证最终结果为最简二次根式。
【难度系数】
0.85

11.若$-1＜x＜1$，则$\sqrt{(x - 1)^2}+|x + 1|=$.

11.2

【分析】
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式中的二次根式转化为绝对值形式，再根据题目给出的$x$的取值范围$-1＜x＜1$，分别判断两个绝对值内部的代数式$x-1$和$x+1$的正负性，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质，可得$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，因此原式可转化为：
$\mathrm{原式}=|x-1|+|x+1|$
已知$-1＜x＜1$，可推导得：
$x-1＜0$，$x+1＞0$
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，因此：
$|x-1|=-(x-1)=1-x$，$|x+1|=x+1$
代入原式计算：
$\mathrm{原式}=(1-x)+(x+1)=1-x+x+1=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 绝对值的性质
3. 不等式的应用
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考点是结合给定的取值范围判断代数式的正负，进而完成二次根式和绝对值的化简，是代数式化简的常考题型，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

12. 在实数范围内分解因式：
（1）$x^4 - 9$；
（2）$3x^2 - 4$。

12.(1)$(x^2+3)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$ (2)$(\sqrt{3}x+2)(\sqrt{3}x-2)$

【分析】
要在实数范围内分解因式，核心是运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，且需分解到不能再分解为止。解题思路：①先观察多项式是否符合平方差公式“两项、异号、均为平方形式”的特征；②若不符合直接套用的条件，先把两项转化为平方的形式；③套用平方差公式分解，每分解一步都要检查是否还能继续分解，直到实数范围内无法再分解为止。
（1）对于$x^4-9$，先把$x^4$看作$(x^2)^2$、9看作$3^2$，先分解一次，再判断分解后的因式是否还能继续用平方差公式分解。
（2）对于$3x^2-4$，把$3x^2$看作$(\sqrt{3}x)^2$、4看作$2^2$，直接套用平方差公式即可。
【解析】
（1）分解$x^4 - 9$：
第一步，将原式改写为平方差形式：
$x^4 - 9=(x^2)^2 - 3^2$
第二步，第一次套用平方差公式：
$=(x^2 + 3)(x^2 - 3)$
第三步，检查因式，$x^2 - 3$在实数范围内仍可分解，将3改写为$(\sqrt{3})^2$，第二次套用平方差公式：
$=(x^2 + 3)(x^2 - (\sqrt{3})^2)=(x^2 + 3)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$
此时$x^2+3$在实数范围内恒大于0，无法继续分解，分解完成。
（2）分解$3x^2 - 4$：
第一步，将原式改写为平方差形式：
$3x^2 - 4=(\sqrt{3}x)^2 - 2^2$
第二步，套用平方差公式：
$=(\sqrt{3}x + 2)(\sqrt{3}x - 2)$
此时已无法继续分解，分解完成。
【答案】
（1）$(x^2+3)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$；（2）$(\sqrt{3}x+2)(\sqrt{3}x-2)$
【知识点】
平方差公式因式分解；实数范围内因式分解
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，注意实数范围内分解因式要彻底，同时要学会将非负数转化为平方形式，为套用公式创造条件。
【难度系数】
0.7

13. 计算:
(1) $\sqrt{48}+\sqrt{12}+3\sqrt{18}÷\sqrt{6}$;
(2) $(3\sqrt{2}+5)^2$.

13.(1)$9\sqrt{3}$ (2)$43+30\sqrt{2}$

【分析】
这两道题属于二次根式的混合运算类题目，解题思路如下：(1)第一题遵循先乘除后加减的运算顺序，先计算二次根式的除法部分，再将所有二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；(2)第二题是两个数的和的平方形式，直接套用完全平方公式展开计算即可，计算时注意每一项的运算规则，避免漏项或计算错误。
【解析】
(1) 先计算除法运算：
$3\sqrt{18}÷\sqrt{6}=3\sqrt{18÷6}=3\sqrt{3}$
再化简其余二次根式：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
合并同类二次根式：
原式$=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(4+2+3)\sqrt{3}=9\sqrt{3}$
(2) 利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$计算，其中$a=3\sqrt{2}$，$b=5$：
原式$=(3\sqrt{2})^2+2×3\sqrt{2}×5+5^2$
分别计算每一项：
$(3\sqrt{2})^2=9×2=18$，$2×3\sqrt{2}×5=30\sqrt{2}$，$5^2=25$
合并常数项得：
原式$=18+30\sqrt{2}+25=43+30\sqrt{2}$
【答案】
(1)$9\sqrt{3}$；(2)$43+30\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算、完全平方公式、最简二次根式
【点评】
本题是二次根式运算的基础常规题型，重点考查运算顺序和公式的正确运用，解题时需先理清运算顺序，养成先化简二次根式再合并、套用公式时逐项核对的习惯，可有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.7

14. 小明说：若$m＞0$，$n＞0$，则$\sqrt{m}+\sqrt{n}$与$\sqrt{m+n}$的差是正数. 请判断小明的说法是否正确，若正确请给予证明，若不正确，请举例说明.

14.证明：$\because m＞0, n＞0, \therefore \sqrt{m}＞0, \sqrt{n}＞0, \sqrt{mn}＞0,\sqrt{m}+\sqrt{n}＞0, \sqrt{m+n}＞0. \because (\sqrt{m}+\sqrt{n})^2= (\sqrt{m})^2+2\sqrt{mn}+ (\sqrt{n})^2=m+2\sqrt{mn}+n, (\sqrt{m+n})^2=m+n,$ 又$\because \sqrt{mn}＞0, \therefore m+2\sqrt{mn}+n＞m+n,$ 即$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2＞(\sqrt{m+n})^2, \therefore \sqrt{m}+\sqrt{n}＞\sqrt{m+n}, \therefore \sqrt{m}+\sqrt{n}-\sqrt{m+n}＞0.$

【分析】
要判断小明的说法是否正确，本质是验证当$m＞0、n＞0$时，$\sqrt{m}+\sqrt{n}-\sqrt{m+n}$的正负性，也就是比较$\sqrt{m}+\sqrt{n}$和$\sqrt{m+n}$的大小。由于两个式子均为正数，根据正数的性质：两个正数比较大小，平方大的数本身更大，因此可以通过计算两个式子的平方，将带根号的式子大小比较转化为整式大小比较，就能快速推导出差的正负。
【解析】
小明的说法正确，证明如下：
$\because m＞0, n＞0$，
$\therefore \sqrt{m}＞0, \sqrt{n}＞0, \sqrt{mn}＞0,\sqrt{m}+\sqrt{n}＞0, \sqrt{m+n}＞0$。
分别计算两个式子的平方：
$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2= (\sqrt{m})^2+2\sqrt{mn}+ (\sqrt{n})^2=m+2\sqrt{mn}+n$，
$(\sqrt{m+n})^2=m+n$，
又$\because \sqrt{mn}＞0$，
$\therefore m+2\sqrt{mn}+n＞m+n$，即$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2＞(\sqrt{m+n})^2$，
$\because \sqrt{m}+\sqrt{n}$和$\sqrt{m+n}$均为正数，
$\therefore \sqrt{m}+\sqrt{n}＞\sqrt{m+n}$，
$\therefore \sqrt{m}+\sqrt{n}-\sqrt{m+n}＞0$，即二者的差是正数。
【答案】
小明的说法正确，证明：$\because m＞0, n＞0, \therefore \sqrt{m}＞0, \sqrt{n}＞0, \sqrt{mn}＞0,\sqrt{m}+\sqrt{n}＞0, \sqrt{m+n}＞0. \because (\sqrt{m}+\sqrt{n})^2= (\sqrt{m})^2+2\sqrt{mn}+ (\sqrt{n})^2=m+2\sqrt{mn}+n, (\sqrt{m+n})^2=m+n,$ 又$\because \sqrt{mn}＞0, \therefore m+2\sqrt{mn}+n＞m+n,$ 即$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2＞(\sqrt{m+n})^2, \therefore \sqrt{m}+\sqrt{n}＞\sqrt{m+n}, \therefore \sqrt{m}+\sqrt{n}-\sqrt{m+n}＞0.$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，实数大小比较
【点评】
本题考查含二次根式的式子的大小判断，解题核心是利用正数平方与原数的大小对应关系，将无理式比较转化为整式比较，大幅降低解题难度，需要注意只有两个数均为正数时，平方的大小关系才和原数的大小关系一致。
【难度系数】
0.7

15. 某同学在作业本上做了这么一道题：“当a=■时，试求$a+\sqrt{a^2 - 2a + 1}$的值”，其中■是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为$\frac{1}{2}$，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理.

15.错误，理由如下：
(1) 当$a≥1$时，原式$=2a-1$，由$2a-1=\frac{1}{2}$，得$a=\frac{3}{4}＜1$，矛盾；(2) 当$a＜1$时，原式$=1≠\frac{1}{2}$. 综上，所求得的答案不可能为$\frac{1}{2}$.

【分析】
首先观察到根号内的多项式是完全平方形式，可先将二次根式化简为绝对值形式，即$\sqrt{a^2-2a+1}=|a-1|$，因此原式可转化为$a+|a-1|$。接下来根据绝对值的性质，需要分$a≥1$和$a＜1$两种情况去掉绝对值符号，分别计算两种情况下原式的取值，再将同学得到的答案$\frac{1}{2}$代入验证，判断是否存在符合条件的$a$，即可判断答案是否正确。
【解析】
先对原式进行化简：
$\sqrt{a^2 - 2a + 1}=\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|$，因此原式$=a+|a-1|$，分两种情况讨论：
(1) 当$a≥1$时，$|a-1|=a-1$，此时原式$=a+a-1=2a-1$。
若原式的值为$\frac{1}{2}$，则$2a-1=\frac{1}{2}$，解得$a=\frac{3}{4}$，但$\frac{3}{4}＜1$，与$a≥1$的前提矛盾，该情况不成立。
(2) 当$a＜1$时，$|a-1|=1-a$，此时原式$=a+1-a=1$，显然$1≠\frac{1}{2}$，该情况也不成立。
综上，无论$a$取何值，原式的结果都不可能为$\frac{1}{2}$，因此该同学的答案错误。
【答案】
错误，理由如下：(1) 当$a≥1$时，原式$=2a-1$，由$2a-1=\frac{1}{2}$，得$a=\frac{3}{4}＜1$，矛盾；(2) 当$a＜1$时，原式$=1≠\frac{1}{2}$。综上，所求得的答案不可能为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
二次根式化简，绝对值化简，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式开方结果的非负性，直接去掉根号得到$a-1$，未分类讨论绝对值的取值。解题时需牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，根据$a$的取值范围分情况化简后，还要验证结果是否符合前提条件。
【难度系数】
0.6