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8. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一. 它不但因证明方法层出不穷而吸引着人们，更因为应用广泛而引人入胜.
（1）应用一：最短路径问题.
如图8，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8 cm，圆柱的底面半径为$\frac{3}{π}$ cm，那么最短的路线长是
（2）应用二：解决实际问题.
如图9，某公园有一秋千，简易图示如图10. 秋千静止时，踏板离地的垂直高度$BE=0.5$ m，将它往前推2 m至C处时，即水平距离$CD=2$ m，踏板离地的垂直高度$CF=1.5$ m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长.
（1）应用一：最短路径问题.
如图8，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8 cm，圆柱的底面半径为$\frac{3}{π}$ cm，那么最短的路线长是
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cm.（2）应用二：解决实际问题.
如图9，某公园有一秋千，简易图示如图10. 秋千静止时，踏板离地的垂直高度$BE=0.5$ m，将它往前推2 m至C处时，即水平距离$CD=2$ m，踏板离地的垂直高度$CF=1.5$ m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长.
答案
8.（1）5 （2）由题意可得$AC=AB$，$DE=CF=1.5\ \mathrm{m}$，$CD=EF=2\ \mathrm{m}$，$BE=0.5\ \mathrm{m}$，$\therefore BD=DE-BE=1.5-0.5=1\ (\mathrm{m})$ . 设$AC=x\ \mathrm{m}$，则$AD=AB-DB=(x-1)\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得$AD^{2}+DC^{2}=AC^{2}$，即$(x-1)^{2}+2^{2}=x^{2}$，解得$x=2.5$，故绳索AC的长为2.5 m
解析
【分析】
（1）圆柱侧面最短路径问题的核心是将立体图形转化为平面图形求解：先把圆柱侧面展开为长方形，根据“两点之间线段最短”，蚂蚁的最短路线就是展开图中A、B两点的连线长度。首先计算底面半周长（即展开后A、B的水平距离，因B在A相对侧），再确定两点竖直方向的距离，最后用勾股定理计算线段长即可。
（2）秋千实际问题的核心是抓住绳索长度不变的特点：先明确AC=AB，算出踏板升高的高度差，得到直角△ADC中AD与AC的数量关系，设AC长为未知数，用含未知数的式子表示AD，结合已知CD的长度，用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）将圆柱侧面沿过点A的高展开得到长方形：
圆柱底面周长为$2π r=2π×\frac{3}{π}=6\ \mathrm{cm}$，则A、B两点的水平距离为底面半周长：$\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$；
B是圆柱高的中点，圆柱高为8cm，因此A、B两点的竖直距离为$\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$；
在展开图对应的直角三角形中，由勾股定理得最短路线长为$\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$。
（2）由题意得绳索长度不变，即$AC=AB$，四边形CDEF为矩形，因此$DE=CF=1.5\ \mathrm{m}$，$CD=EF=2\ \mathrm{m}$；
已知$BE=0.5\ \mathrm{m}$，则$BD=DE-BE=1.5-0.5=1\ \mathrm{m}$；
设$AC=x\ \mathrm{m}$，则$AB=x\ \mathrm{m}$，$AD=AB-BD=(x-1)\ \mathrm{m}$；
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，代入得：
$(x-1)^2+2^2=x^2$
展开化简得：$x^2-2x+1+4=x^2$，解得$x=2.5$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）绳索AC的长为$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理应用，最短路径问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的两类典型应用，既考查了立体图形转平面图形的空间转换能力，又考查了结合方程思想解决实际几何问题的能力，贴近生活，能有效检验对勾股定理的掌握和灵活运用程度。
【难度系数】
0.7
（1）圆柱侧面最短路径问题的核心是将立体图形转化为平面图形求解：先把圆柱侧面展开为长方形，根据“两点之间线段最短”，蚂蚁的最短路线就是展开图中A、B两点的连线长度。首先计算底面半周长（即展开后A、B的水平距离，因B在A相对侧），再确定两点竖直方向的距离，最后用勾股定理计算线段长即可。
（2）秋千实际问题的核心是抓住绳索长度不变的特点：先明确AC=AB，算出踏板升高的高度差，得到直角△ADC中AD与AC的数量关系，设AC长为未知数，用含未知数的式子表示AD，结合已知CD的长度，用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）将圆柱侧面沿过点A的高展开得到长方形：
圆柱底面周长为$2π r=2π×\frac{3}{π}=6\ \mathrm{cm}$，则A、B两点的水平距离为底面半周长：$\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$；
B是圆柱高的中点，圆柱高为8cm，因此A、B两点的竖直距离为$\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$；
在展开图对应的直角三角形中，由勾股定理得最短路线长为$\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$。
（2）由题意得绳索长度不变，即$AC=AB$，四边形CDEF为矩形，因此$DE=CF=1.5\ \mathrm{m}$，$CD=EF=2\ \mathrm{m}$；
已知$BE=0.5\ \mathrm{m}$，则$BD=DE-BE=1.5-0.5=1\ \mathrm{m}$；
设$AC=x\ \mathrm{m}$，则$AB=x\ \mathrm{m}$，$AD=AB-BD=(x-1)\ \mathrm{m}$；
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，代入得：
$(x-1)^2+2^2=x^2$
展开化简得：$x^2-2x+1+4=x^2$，解得$x=2.5$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）绳索AC的长为$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理应用，最短路径问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的两类典型应用，既考查了立体图形转平面图形的空间转换能力，又考查了结合方程思想解决实际几何问题的能力，贴近生活，能有效检验对勾股定理的掌握和灵活运用程度。
【难度系数】
0.7
