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B. 求终止点B与出发点A的距离AB. 
图3
图3答案
4. 100 m. 提示：过点A作$AC⊥ CB$，垂足为C，先求AC，BC，再用勾股定理求AB
解析
【分析】
要计算点A和点B之间的距离，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解。首先过点A作AC垂直于CB，垂足为C，得到Rt△ACB，AB为该直角三角形的斜边。接下来分别计算两条直角边的长度：竖直方向的直角边长度为两段竖直路径的长度之和，水平方向的直角边长度可通过已知的水平线段长度求和得到，最后将两条直角边的长度代入勾股定理公式，即可求出AB的长度。
【解析】
解：过点A作$AC ⊥ CB$，垂足为C，可得$△ ACB$为直角三角形。
由图中线段长度可得：
竖直方向直角边长度：$AC = 20 + 40 = 60\ \mathrm{m}$
水平方向直角边长度：$BC = 70 + 10 = 80\ \mathrm{m}$
根据勾股定理，在$Rt△ ACB$中：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
将数值代入得：
$AB^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$
因此$AB = \sqrt{10000} = 100\ \mathrm{m}$
【答案】
100 m
【知识点】
勾股定理，直角三角形构造，两点距离计算
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，解题的核心是通过作辅助线将不规则的路径问题转化为直角三角形的边长计算问题，计算时要准确梳理两条直角边的组成，避免数值计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算点A和点B之间的距离，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解。首先过点A作AC垂直于CB，垂足为C，得到Rt△ACB，AB为该直角三角形的斜边。接下来分别计算两条直角边的长度：竖直方向的直角边长度为两段竖直路径的长度之和，水平方向的直角边长度可通过已知的水平线段长度求和得到，最后将两条直角边的长度代入勾股定理公式，即可求出AB的长度。
【解析】
解：过点A作$AC ⊥ CB$，垂足为C，可得$△ ACB$为直角三角形。
由图中线段长度可得：
竖直方向直角边长度：$AC = 20 + 40 = 60\ \mathrm{m}$
水平方向直角边长度：$BC = 70 + 10 = 80\ \mathrm{m}$
根据勾股定理，在$Rt△ ACB$中：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
将数值代入得：
$AB^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$
因此$AB = \sqrt{10000} = 100\ \mathrm{m}$
【答案】
100 m
【知识点】
勾股定理，直角三角形构造，两点距离计算
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，解题的核心是通过作辅助线将不规则的路径问题转化为直角三角形的边长计算问题，计算时要准确梳理两条直角边的组成，避免数值计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图4，在$3×2$的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（
A.$3-\sqrt{6}$
B.$\sqrt{7}-2$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{2}-2$
C
）.A.$3-\sqrt{6}$
B.$\sqrt{7}-2$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{2}-2$
答案
5.C
解析
【分析】
要求CE的长，首先观察到CE是线段CD的一部分，CD的长度可直接从网格中得出为3，因此只需要求出DE的长度即可。首先连接AE，根据圆的定义，同圆的半径相等，所以AE=AB。先确定AB的长度，再在直角三角形ADE中运用勾股定理求出DE的长度，最后用CD减去DE就能得到CE的长度。
【解析】
解：连接AE，由题意可知AE=AB（同圆的半径相等）。
根据网格可得：AB=3，CD=3，AD⊥CD，AD=2。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2 - AD^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
∴$CE=CD - DE=3-\sqrt{5}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；网格线段计算
【点评】
本题主要考查勾股定理和圆的性质的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线AE，利用半径相等得到AE与AB的等量关系，再结合直角三角形的勾股定理求出未知线段的长度，解题时注意结合网格提取线段长度的信息。
【难度系数】
0.7
要求CE的长，首先观察到CE是线段CD的一部分，CD的长度可直接从网格中得出为3，因此只需要求出DE的长度即可。首先连接AE，根据圆的定义，同圆的半径相等，所以AE=AB。先确定AB的长度，再在直角三角形ADE中运用勾股定理求出DE的长度，最后用CD减去DE就能得到CE的长度。
【解析】
解：连接AE，由题意可知AE=AB（同圆的半径相等）。
根据网格可得：AB=3，CD=3，AD⊥CD，AD=2。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2 - AD^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
∴$CE=CD - DE=3-\sqrt{5}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；网格线段计算
【点评】
本题主要考查勾股定理和圆的性质的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线AE，利用半径相等得到AE与AB的等量关系，再结合直角三角形的勾股定理求出未知线段的长度，解题时注意结合网格提取线段长度的信息。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，分别以这个三角形的$AC$，$AB$，$BC$三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为$S_1$，$S_2$，$S_3$.若$S_3+S_2-S_1=18$，则图中阴影部分的面积为（
A.6
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{7}{2}$
B
）.A.6
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{7}{2}$
答案
6.B
解析
【分析】
本题是勾股定理与面积计算的结合题型，首先根据直角三角形的三边关系，利用勾股定理得到三个正方形面积的等量关系，代入已知条件求出S₂的值，再分析阴影部分面积和S₂的对应关系，即可算出结果。
【解析】
∵ $\mathrm{Rt}△ABC$中$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：$BC^2=AB^2+AC^2$
又
∵ 以$AC、AB、BC$为边的正方形面积分别为$S_1、S_2、S_3$
∴ $S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$，即$S_3=S_1+S_2$
将$S_3=S_1+S_2$代入$S_3+S_2-S_1=18$，得：
$(S_1+S_2)+S_2-S_1=18$
化简得$2S_2=18$，解得$S_2=9$
观察图形可知，阴影部分为两个同底为$AB$的三角形，高的和等于$AB$，因此阴影面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}× AB× AB=\frac{1}{2}S_2=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积，三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查对勾股定理的灵活应用，解题核心是通过勾股定理建立三个正方形面积的关联，再结合阴影部分的图形特征找到面积对应关系，属于基础的几何综合题。
【难度系数】
0.6
本题是勾股定理与面积计算的结合题型，首先根据直角三角形的三边关系，利用勾股定理得到三个正方形面积的等量关系，代入已知条件求出S₂的值，再分析阴影部分面积和S₂的对应关系，即可算出结果。
【解析】
∵ $\mathrm{Rt}△ABC$中$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：$BC^2=AB^2+AC^2$
又
∵ 以$AC、AB、BC$为边的正方形面积分别为$S_1、S_2、S_3$
∴ $S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$，即$S_3=S_1+S_2$
将$S_3=S_1+S_2$代入$S_3+S_2-S_1=18$，得：
$(S_1+S_2)+S_2-S_1=18$
化简得$2S_2=18$，解得$S_2=9$
观察图形可知，阴影部分为两个同底为$AB$的三角形，高的和等于$AB$，因此阴影面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}× AB× AB=\frac{1}{2}S_2=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积，三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查对勾股定理的灵活应用，解题核心是通过勾股定理建立三个正方形面积的关联，再结合阴影部分的图形特征找到面积对应关系，属于基础的几何综合题。
【难度系数】
0.6
7. 《九章算术》中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图6和图7（图7为图6的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸，1寸≈3.33厘米，尺、寸为古代计量单位），则AB的长是（
A.50.5寸
B.52寸
C.101寸
D.104寸
C
）。A.50.5寸
B.52寸
C.101寸
D.104寸
答案
7.C
解析
【分析】
这是一道结合古代数学背景的勾股定理应用题，解题思路如下：首先明确双门宽度相等，将问题转化为直角三角形模型求解；①先统一单位，1尺换算为10寸；②设单扇门的宽度为x寸，可得总门宽AB为2x寸；③过D作AB的垂线得到直角三角形，分析该直角三角形的三边：斜边是单扇门的宽度x寸，一条直角边是D到门槛的距离10寸，另一条直角边可通过门间隙2寸的对称性推导得(x-1)寸；④利用勾股定理列方程求解x，再计算AB的长度即可。
【解析】
解：先统一单位：1尺=10寸。
设单扇门的宽度为x寸，则AB的长度为2x寸。
过点D作DE⊥AB于点E，由题意得DE=10寸，CD=2寸。
根据双门对称的性质，AE=(AB-CD)÷2=(2x-2)÷2=x-1（寸），且AD为单扇门宽度，即AD=x寸。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AE^2 + DE^2 = AD^2$
代入数据得：$(x-1)^2 + 10^2 = x^2$
展开：$x^2 - 2x +1 +100 =x^2$
化简得：$-2x +101=0$，解得$2x=101$
即AB的长度为101寸，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用，对称性质
【点评】
本题是我国古代数学经典问题，将生活中的开门场景与几何知识结合，既考察了对勾股定理的掌握，也要求学生具备将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是准确找到直角三角形的三边关系。
【难度系数】
0.7
这是一道结合古代数学背景的勾股定理应用题，解题思路如下：首先明确双门宽度相等，将问题转化为直角三角形模型求解；①先统一单位，1尺换算为10寸；②设单扇门的宽度为x寸，可得总门宽AB为2x寸；③过D作AB的垂线得到直角三角形，分析该直角三角形的三边：斜边是单扇门的宽度x寸，一条直角边是D到门槛的距离10寸，另一条直角边可通过门间隙2寸的对称性推导得(x-1)寸；④利用勾股定理列方程求解x，再计算AB的长度即可。
【解析】
解：先统一单位：1尺=10寸。
设单扇门的宽度为x寸，则AB的长度为2x寸。
过点D作DE⊥AB于点E，由题意得DE=10寸，CD=2寸。
根据双门对称的性质，AE=(AB-CD)÷2=(2x-2)÷2=x-1（寸），且AD为单扇门宽度，即AD=x寸。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AE^2 + DE^2 = AD^2$
代入数据得：$(x-1)^2 + 10^2 = x^2$
展开：$x^2 - 2x +1 +100 =x^2$
化简得：$-2x +101=0$，解得$2x=101$
即AB的长度为101寸，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用，对称性质
【点评】
本题是我国古代数学经典问题，将生活中的开门场景与几何知识结合，既考察了对勾股定理的掌握，也要求学生具备将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是准确找到直角三角形的三边关系。
【难度系数】
0.7
