勾股定
理的逆
定理
如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个
三角形是直角三角形

应用
判定某一个三角形是不是直角三角形
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数

$a^2+b^2=c^2$

【分析】
这道题考查勾股定理逆定理的基本内容，解题时先回忆相关概念：勾股定理是直角三角形的性质，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；它的逆定理是直角三角形的判定依据，即如果三角形三边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，就可判定该三角形为直角三角形，通常我们用c表示三角形的最长边，对应即可写出所需关系式。
【解析】
根据勾股定理逆定理的定义：如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$（其中$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，因此横线处应填入$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对勾股定理逆定理内容的记忆，难度较低，熟练掌握基础定义就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

1. 五根小棒的长度（单位：cm）分别为6，7，8，9，10，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（）.

A.6，7，8
B.6，8，10
C.7，8，9
D.7，9，10

1.B

【分析】
要判断选出的三根小棒能否摆成直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时可对四个选项逐一验证：第一步先确定每组数中的最长边，第二步计算两条短边的平方和，第三步计算最长边的平方，对比两者是否相等，相等的即为符合要求的选项。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，对各选项逐一分析：
A. 三根小棒长度为6，7，8，最长边为8
计算得：$6^2+7^2=36+49=85$，$8^2=64$
因为$85≠64$，所以不能构成直角三角形，不符合要求。
B. 三根小棒长度为6，8，10，最长边为10
计算得：$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$
因为$100=100$，满足勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形，符合要求。
C. 三根小棒长度为7，8，9，最长边为9
计算得：$7^2+8^2=49+64=113$，$9^2=81$
因为$113≠81$，所以不能构成直角三角形，不符合要求。
D. 三根小棒长度为7，9，10，最长边为10
计算得：$7^2+9^2=49+81=130$，$10^2=100$
因为$130≠100$，所以不能构成直角三角形，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的关键是牢记验证时要先确定最长边，再验证两短边平方和与最长边平方的等量关系，熟练掌握定理即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图1，在高为3 m、斜坡长为5 m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（）。

A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.7 m

2.D

【分析】
要计算楼梯表面铺地毯的最短长度，可利用平移思想：把所有水平台阶向下平移，总长度等于直角三角形的水平直角边AC的长度；把所有竖直台阶向右平移，总长度等于直角三角形的竖直直角边BC的长度，因此地毯总长度=AC+BC。首先通过勾股定理求出AC的长度，再求和即可得到结果。
【解析】
由图可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知AB=5m，BC=3m。
根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值计算AC的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\mathrm{m}$
结合平移的性质，地毯的总长度等于水平段总长加竖直段总长，即：
地毯长度$=AC+BC=4+3=7\mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，平移的性质
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，将不规则的台阶长度转化为直角三角形两条直角边的和，解题的关键是理解平移后台阶的总长度与直角三角形直角边的对应关系。
【难度系数】
0.7

3. 可用下面的方法得到直角：用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处.这样推理的依据是（）.

A.三角形内角和定理
B.勾股定理的逆定理
C.勾股定理
D.直角三角形两锐角互余

3.B

【分析】
解题时首先需要确定拉紧后三角形的三边长，再根据三边长的数量关系判断推理依据。第一步：先明确13个等距的结将绳子分成12段等长的部分，设每段长度为1，分别计算三个握持点之间的距离得到三边长；第二步：验证三边是否满足“两边的平方和等于第三边的平方”；第三步：对应所学定理，判断该推理的依据。
【解析】
设每段绳子的长度为1：
1. 计算三角形三边长：第1个结到第4个结的长度为$4-1=3$，第4个结到第8个结的长度为$8-4=4$，第8个结到第13个结（与第1个结重合）的长度为$13-8=5$，即三角形三边长分别为3、4、5。
2. 验证三边关系：计算得$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，满足“如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”，也就是勾股定理的逆定理，因此该推理的依据是勾股定理的逆定理。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题结合生活实际场景考查定理的应用，解题关键是先准确求出三角形的三边长度，再结合勾股定理逆定理的内容进行判断，属于基础类应用题，熟悉定理内容即可快速作答。
【难度系数】
0.8

4. 如图2，在正方形ABCD中，E为BC的中点，CF=$\frac{1}{4}$CD，连接AE，AF，EF，设CF=a.
（1）线段AE=，AF=，EF=；（用含a的代数式表示）
（2）求证：AE⊥EF.

4. (1) $2\sqrt{5}a$ $5a$ $\sqrt{5}a$
(2) $\because AE=2\sqrt{5}a$，$AF=5a$，$EF=\sqrt{5}a$，$\therefore AE^2+EF^2=AF^2$，$\therefore △ AEF$ 是直角三角形，$\therefore ∠ AEF=90°$，即$AE⊥ EF$

【分析】
（1）首先根据CF=$\frac{1}{4}$CD且CF=a，先求出正方形的边长，再结合E是BC中点得到各直角三角形的直角边长度，最后利用勾股定理分别计算AE、AF、EF的长度；
（2）要证明AE⊥EF，即证∠AEF=90°，结合（1）中得到的△AEF三边长度，利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和等于最长边的平方，即可证明△AEF是直角三角形，得到垂直结论。
【解析】
（1）已知CF=a，CF=$\frac{1}{4}$CD，因此CD=4CF=4a。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=4a，∠B=∠C=∠D=90°，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2a，DF=CD-CF=4a-a=3a。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{(4a)^2+(2a)^2}=\sqrt{16a^2+4a^2}=\sqrt{20a^2}=2\sqrt{5}a$；
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{(4a)^2+(3a)^2}=\sqrt{16a^2+9a^2}=\sqrt{25a^2}=5a$；
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EC^2+CF^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{4a^2+a^2}=\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}a$。
（2）证明：
由（1）可知$AE=2\sqrt{5}a$，$EF=\sqrt{5}a$，$AF=5a$，
计算得：$AE^2+EF^2=(2\sqrt{5}a)^2+(\sqrt{5}a)^2=20a^2+5a^2=25a^2$，
$AF^2=(5a)^2=25a^2$，
∴$AE^2+EF^2=AF^2$，
根据勾股定理的逆定理，△AEF是直角三角形，且∠AEF=90°，
∴AE⊥EF。
【答案】
（1）$2\sqrt{5}a$，$5a$，$\sqrt{5}a$
（2）AE⊥EF得证
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与逆定理的典型应用类题目，解题的关键是先结合正方形的性质求出各直角三角形的直角边长度，再通过勾股定理计算线段长度，最后用逆定理判断直角即可，解题思路清晰，属于基础的几何综合题。
【难度系数】
0.7