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一、填一填。
1. $3×4=12$，则(
1. $3×4=12$，则(
3
)和(4
)是(12
)的因数，(12
)是(3
)和(4
)的倍数。答案
1. 3 4 12 12 3 4
解析
【分析】
解题时首先回忆因数和倍数的定义：在非0整数的乘法运算中，相乘的两个数是它们乘积的因数，乘积是这两个相乘的数的倍数。我们只需要对应算式$3×4=12$里的乘数和积，按定义的对应关系填空即可。
【解析】
根据因数和倍数的定义，算式$3×4=12$中，相乘的两个整数3和4是乘积12的因数，反过来乘积12就是乘数3和4的倍数。
【答案】
3 4 12 12 3 4
【知识点】
因数的概念，倍数的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对因数、倍数定义的理解和对应关系的应用，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆因数和倍数的定义：在非0整数的乘法运算中，相乘的两个数是它们乘积的因数，乘积是这两个相乘的数的倍数。我们只需要对应算式$3×4=12$里的乘数和积，按定义的对应关系填空即可。
【解析】
根据因数和倍数的定义，算式$3×4=12$中，相乘的两个整数3和4是乘积12的因数，反过来乘积12就是乘数3和4的倍数。
【答案】
3 4 12 12 3 4
【知识点】
因数的概念，倍数的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对因数、倍数定义的理解和对应关系的应用，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.18 的因数有(
1,2,3,6,9,18
),50 以内7 的倍数有(7,14,21,28,35,42,49
)。答案
2. 1,2,3,6,9,18
7,14,21,28,35,42,49
7,14,21,28,35,42,49
解析
【分析】
找18的因数时，可以用配对枚举法，从1开始按顺序查找哪两个正整数的乘积等于18，这些乘数就是18的因数，注意避免重复和遗漏；找50以内7的倍数时，用7依次乘1、2、3……，只要乘积不超过50就是符合要求的数，乘积超过50就停止计算即可。
【解析】
1. 求18的因数：
依次计算乘积为18的整数组合：$1×18=18$，$2×9=18$，$3×6=18$，因此能整除18的数为1、2、3、6、9、18，即18的因数是这几个数。
2. 求50以内7的倍数：
依次计算7的正整数倍：$7×1=7$，$7×2=14$，$7×3=21$，$7×4=28$，$7×5=35$，$7×6=42$，$7×7=49$，$7×8=56$（56＞50，不符合要求），因此50以内7的倍数为7、14、21、28、35、42、49。
【答案】
1,2,3,6,9,18；7,14,21,28,35,42,49
【知识点】
找因数的方法，找倍数的方法
【点评】
本题是因数倍数板块的基础题，重点考察有序枚举的能力，解题时注意找因数要配对枚举避免漏项，找限定范围的倍数要注意边界值不要超出要求。
【难度系数】
0.85
找18的因数时，可以用配对枚举法，从1开始按顺序查找哪两个正整数的乘积等于18，这些乘数就是18的因数，注意避免重复和遗漏；找50以内7的倍数时，用7依次乘1、2、3……，只要乘积不超过50就是符合要求的数，乘积超过50就停止计算即可。
【解析】
1. 求18的因数：
依次计算乘积为18的整数组合：$1×18=18$，$2×9=18$，$3×6=18$，因此能整除18的数为1、2、3、6、9、18，即18的因数是这几个数。
2. 求50以内7的倍数：
依次计算7的正整数倍：$7×1=7$，$7×2=14$，$7×3=21$，$7×4=28$，$7×5=35$，$7×6=42$，$7×7=49$，$7×8=56$（56＞50，不符合要求），因此50以内7的倍数为7、14、21、28、35、42、49。
【答案】
1,2,3,6,9,18；7,14,21,28,35,42,49
【知识点】
找因数的方法，找倍数的方法
【点评】
本题是因数倍数板块的基础题，重点考察有序枚举的能力，解题时注意找因数要配对枚举避免漏项，找限定范围的倍数要注意边界值不要超出要求。
【难度系数】
0.85
3. 两位数中,最小的奇数是(
11
),最大的奇数是(99
);最小的偶数是(10
),最大的偶数是(98
)。答案
3. 11 99 10 98
解析
【分析】
解题时首先明确题目限定范围是两位数，即取值在10~99之间的整数；再回忆奇数、偶数的判断方法：个位为1、3、5、7、9的数是奇数，个位为0、2、4、6、8的数是偶数。找符合要求的数时，找最小的就从最小的两位数10开始依次判断，找最大的就从最大的两位数99开始依次判断即可。
【解析】
1. 确定范围：所有两位数的取值范围是10~99。
2. 找最小的两位奇数：最小的两位数是10，个位是0，属于偶数，相邻的下一个数11的个位是1，属于奇数，因此最小的两位奇数是11。
3. 找最大的两位奇数：最大的两位数是99，个位是9，属于奇数，因此最大的两位奇数是99。
4. 找最小的两位偶数：最小的两位数是10，个位是0，属于偶数，因此最小的两位偶数是10。
5. 找最大的两位偶数：最大的两位数99是奇数，相邻的前一个数98的个位是8，属于偶数，因此最大的两位偶数是98。
【答案】
11；99；10；98
【知识点】
奇数的认识；偶数的认识；数的大小比较
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对奇数、偶数概念的掌握程度，解题时只要结合限定范围，用奇偶数的判断方法逐一验证即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目限定范围是两位数，即取值在10~99之间的整数；再回忆奇数、偶数的判断方法：个位为1、3、5、7、9的数是奇数，个位为0、2、4、6、8的数是偶数。找符合要求的数时，找最小的就从最小的两位数10开始依次判断，找最大的就从最大的两位数99开始依次判断即可。
【解析】
1. 确定范围：所有两位数的取值范围是10~99。
2. 找最小的两位奇数：最小的两位数是10，个位是0，属于偶数，相邻的下一个数11的个位是1，属于奇数，因此最小的两位奇数是11。
3. 找最大的两位奇数：最大的两位数是99，个位是9，属于奇数，因此最大的两位奇数是99。
4. 找最小的两位偶数：最小的两位数是10，个位是0，属于偶数，因此最小的两位偶数是10。
5. 找最大的两位偶数：最大的两位数99是奇数，相邻的前一个数98的个位是8，属于偶数，因此最大的两位偶数是98。
【答案】
11；99；10；98
【知识点】
奇数的认识；偶数的认识；数的大小比较
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对奇数、偶数概念的掌握程度，解题时只要结合限定范围，用奇偶数的判断方法逐一验证即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
4.既是2和3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是(
990
)。答案
4. 990
解析
【分析】
要找到同时是2、3、5的倍数的最大三位数，我们可以按三步思考：第一步，先回忆2、5的倍数特征，同时是这两个数的倍数的数个位只能是0，先锁定个位数字；第二步，要找最大的三位数，最高位百位要选最大的一位数9，先确定百位；第三步，再根据3的倍数特征，也就是各个数位数字之和是3的倍数，在十位上选最大的符合要求的数字，就能得到最终的数。
【解析】
1. 确定个位：2的倍数个位是偶数，5的倍数个位是0或5，因此同时是2和5的倍数的数，个位只能是0，所求三位数的个位为0。
2. 确定百位：要得到最大的三位数，百位要尽可能大，最大的一位数是9，因此百位填9，此时这个数的形式为9□0。
3. 确定十位：3的倍数要求各数位数字之和是3的倍数，即9+□+0的和是3的倍数。□可以填0、3、6、9，要让数最大，选最大的9，此时9+9+0=18，18是3的倍数，符合要求。
因此这个数是990。
【答案】
990
【知识点】
2的倍数特征；3的倍数特征；5的倍数特征
【点评】
这道题是因数与倍数部分的典型常考题，解题核心是先通过2和5的倍数特征快速锁定个位数字，再结合“最大数”的要求从高位到低位确定其余数位，最后验证3的倍数特征即可，考察学生对倍数特征的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
要找到同时是2、3、5的倍数的最大三位数，我们可以按三步思考：第一步，先回忆2、5的倍数特征，同时是这两个数的倍数的数个位只能是0，先锁定个位数字；第二步，要找最大的三位数，最高位百位要选最大的一位数9，先确定百位；第三步，再根据3的倍数特征，也就是各个数位数字之和是3的倍数，在十位上选最大的符合要求的数字，就能得到最终的数。
【解析】
1. 确定个位：2的倍数个位是偶数，5的倍数个位是0或5，因此同时是2和5的倍数的数，个位只能是0，所求三位数的个位为0。
2. 确定百位：要得到最大的三位数，百位要尽可能大，最大的一位数是9，因此百位填9，此时这个数的形式为9□0。
3. 确定十位：3的倍数要求各数位数字之和是3的倍数，即9+□+0的和是3的倍数。□可以填0、3、6、9，要让数最大，选最大的9，此时9+9+0=18，18是3的倍数，符合要求。
因此这个数是990。
【答案】
990
【知识点】
2的倍数特征；3的倍数特征；5的倍数特征
【点评】
这道题是因数与倍数部分的典型常考题，解题核心是先通过2和5的倍数特征快速锁定个位数字，再结合“最大数”的要求从高位到低位确定其余数位，最后验证3的倍数特征即可，考察学生对倍数特征的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
二、选一选。
1. 下面说法中，正确的有(
①因为$4×6=24$，所以24是倍数，4和6是因数。
②$m÷n=4$（$m$、$n$为非0自然数），那么$n$和4是$m$的因数，$m$是$n$和4的倍数。
③因为任何数乘1都等于它本身，所以1是所有自然数的因数。
④$9m$是3的倍数。（$m$是非零自然数）
A.1
B.2
C.3
D.4
1. 下面说法中，正确的有(
B
)个。①因为$4×6=24$，所以24是倍数，4和6是因数。
②$m÷n=4$（$m$、$n$为非0自然数），那么$n$和4是$m$的因数，$m$是$n$和4的倍数。
③因为任何数乘1都等于它本身，所以1是所有自然数的因数。
④$9m$是3的倍数。（$m$是非零自然数）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题首先要明确因数和倍数的核心概念：一是因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某数是因数或倍数；二是因数和倍数的研究范围是非0自然数。解题时我们逐个判断4个说法的对错，统计正确说法的数量即可选出答案。
【解析】
我们对四个说法逐一分析：
1. 说法①：因数和倍数是相互依存的，不能单独表述“24是倍数，4和6是因数”，正确表述应为“24是4和6的倍数，4和6是24的因数”，因此①错误。
2. 说法②：已知m、n为非0自然数，m÷n=4说明m能被n整除，符合因数和倍数的定义，因此n和4是m的因数，m是n和4的倍数，②正确。
3. 说法③：因数和倍数的研究范围是非0自然数，而自然数包含0，我们不研究0的因数，因此“1是所有自然数的因数”的表述错误，③错误。
4. 说法④：9是3的倍数，因此9乘任意非0自然数m的结果都能被3整除，即9m是3的倍数，④正确。
综上，正确的说法有②、④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
因数与倍数的概念，3的倍数特征
【点评】
本题重点考查因数倍数相关基础概念的辨析，易错点是容易忽略因数倍数的相互依存性以及其研究范围不包含0，做题时需仔细核对每个说法的前提条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确因数和倍数的核心概念：一是因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某数是因数或倍数；二是因数和倍数的研究范围是非0自然数。解题时我们逐个判断4个说法的对错，统计正确说法的数量即可选出答案。
【解析】
我们对四个说法逐一分析：
1. 说法①：因数和倍数是相互依存的，不能单独表述“24是倍数，4和6是因数”，正确表述应为“24是4和6的倍数，4和6是24的因数”，因此①错误。
2. 说法②：已知m、n为非0自然数，m÷n=4说明m能被n整除，符合因数和倍数的定义，因此n和4是m的因数，m是n和4的倍数，②正确。
3. 说法③：因数和倍数的研究范围是非0自然数，而自然数包含0，我们不研究0的因数，因此“1是所有自然数的因数”的表述错误，③错误。
4. 说法④：9是3的倍数，因此9乘任意非0自然数m的结果都能被3整除，即9m是3的倍数，④正确。
综上，正确的说法有②、④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
因数与倍数的概念，3的倍数特征
【点评】
本题重点考查因数倍数相关基础概念的辨析，易错点是容易忽略因数倍数的相互依存性以及其研究范围不包含0，做题时需仔细核对每个说法的前提条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
2.一个数的最大因数和最小倍数的和是32,则这个数的因数一共有
（
A.4
B.5
C.6
D.7
（
B
）个。A.4
B.5
C.6
D.7
答案
2.B
解析
【分析】
解题首先要回忆因数和倍数的基本性质：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。已知两者的和是32，我们可以先算出这个数的大小，再按顺序枚举这个数的所有因数，统计个数就能得到答案。
【解析】
1. 求这个数：
因为一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身，所以两者的和就是这个数的2倍。
这个数 = 32÷2 = 16
2. 找16的所有因数：
按从小到大的顺序成对找：
1×16=16，所以1、16是16的因数；
2×8=16，所以2、8是16的因数；
4×4=16，所以4是16的因数（重复的只算1次）。
因此16的因数有1、2、4、8、16，共5个。
【答案】
B
【知识点】
因数的特征；倍数的特征；找因数的方法
【点评】
本题核心考查因数与倍数的基础性质，解题的突破口是牢记“一个数的最大因数和最小倍数均为自身”，枚举因数时注意按顺序查找，避免遗漏或重复计数。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆因数和倍数的基本性质：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。已知两者的和是32，我们可以先算出这个数的大小，再按顺序枚举这个数的所有因数，统计个数就能得到答案。
【解析】
1. 求这个数：
因为一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身，所以两者的和就是这个数的2倍。
这个数 = 32÷2 = 16
2. 找16的所有因数：
按从小到大的顺序成对找：
1×16=16，所以1、16是16的因数；
2×8=16，所以2、8是16的因数；
4×4=16，所以4是16的因数（重复的只算1次）。
因此16的因数有1、2、4、8、16，共5个。
【答案】
B
【知识点】
因数的特征；倍数的特征；找因数的方法
【点评】
本题核心考查因数与倍数的基础性质，解题的突破口是牢记“一个数的最大因数和最小倍数均为自身”，枚举因数时注意按顺序查找，避免遗漏或重复计数。
【难度系数】
0.7
