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3.既是2的倍数，又是5的倍数的最大三位数是(
A.990
B.995
C.998
D.999
A
)。A.990
B.995
C.998
D.999
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆2和5的倍数分别对应的特征，再找出同时满足两个条件的数的共同特征，最后结合“最大三位数”的要求选出正确答案，也可以通过特征逐一排除不符合要求的选项。
第一步：明确2的倍数个位是0、2、4、6、8，5的倍数个位是0或5，所以同时是2和5的倍数的数，个位必须是0；
第二步：要找最大的三位数，高位的数字要尽可能大，百位和十位都取最大的一位数9，即可得到目标数，也可以直接观察选项，只有个位为0的选项符合要求。
【解析】
首先回忆数的倍数特征：
1. 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，因此个位为5的995、个位为9的999不符合2的倍数要求，排除B、D选项；
2. 个位上是0或5的数是5的倍数，因此个位为8的998不符合5的倍数要求，排除C选项；
3. 剩余选项A的990，个位是0，同时满足2和5的倍数要求，且是符合条件的最大三位数，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1. 2的倍数特征
2. 5的倍数特征
【点评】
本题核心是考查2和5的倍数特征的应用，解题的突破口是先确定同时为2和5的倍数的数个位一定为0，结合题干要求即可快速得到答案，属于对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆2和5的倍数分别对应的特征，再找出同时满足两个条件的数的共同特征，最后结合“最大三位数”的要求选出正确答案，也可以通过特征逐一排除不符合要求的选项。
第一步：明确2的倍数个位是0、2、4、6、8，5的倍数个位是0或5，所以同时是2和5的倍数的数，个位必须是0；
第二步：要找最大的三位数，高位的数字要尽可能大，百位和十位都取最大的一位数9，即可得到目标数，也可以直接观察选项，只有个位为0的选项符合要求。
【解析】
首先回忆数的倍数特征：
1. 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，因此个位为5的995、个位为9的999不符合2的倍数要求，排除B、D选项；
2. 个位上是0或5的数是5的倍数，因此个位为8的998不符合5的倍数要求，排除C选项；
3. 剩余选项A的990，个位是0，同时满足2和5的倍数要求，且是符合条件的最大三位数，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1. 2的倍数特征
2. 5的倍数特征
【点评】
本题核心是考查2和5的倍数特征的应用，解题的突破口是先确定同时为2和5的倍数的数个位一定为0，结合题干要求即可快速得到答案，属于对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.9
4. A是一个自然数，$\overline{43AA2A}$是一个六位数，这个六位数一定是(
A.2的倍数
B.3的倍数
C.4的倍数
D.5的倍数
B
)。A.2的倍数
B.3的倍数
C.4的倍数
D.5的倍数
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先回忆2、3、4、5的倍数的判断特征，采用逐个排除法分析选项：首先2、5的倍数都看个位，本题个位是不确定的自然数A，可先排除A、D选项；再看4的倍数需要判断末两位是否为4的倍数，末两位含不确定的A，也可排除；最后验证3的倍数，计算所有数位的数字和，判断和是否一定是3的倍数即可得出答案。
【解析】
我们先明确各选项对应数的倍数特征，逐一分析：
1. 分析A选项（2的倍数）：2的倍数个位需是0、2、4、6、8，本题六位数个位是A，A是0~9的任意自然数，可能是奇数，因此不一定是2的倍数，排除A。
2. 分析D选项（5的倍数）：5的倍数个位需是0或5，A取值不确定，因此不一定是5的倍数，排除D。
3. 分析C选项（4的倍数）：4的倍数要求末两位组成的数是4的倍数，本题末两位是$\overline{2A}$，即20+A，例如当A=1时，末两位是21，21不是4的倍数，因此不一定是4的倍数，排除C。
4. 分析B选项（3的倍数）：3的倍数要求所有数位上的数字之和是3的倍数，计算该六位数的数字和：$4+3+A+A+2+A=9+3A=3×(3+A)$，不管A取0~9的哪个自然数，$3×(3+A)$都是3的倍数，因此这个六位数一定是3的倍数。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
3的倍数特征，2的倍数特征，5的倍数特征
【点评】
本题重点考查常见整数的倍数特征的应用，解题的核心是熟练掌握不同数的倍数判断规则，通过排除法结合计算验证即可快速得出结论，需要注意数位上的字母取值为0~9的自然数。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆2、3、4、5的倍数的判断特征，采用逐个排除法分析选项：首先2、5的倍数都看个位，本题个位是不确定的自然数A，可先排除A、D选项；再看4的倍数需要判断末两位是否为4的倍数，末两位含不确定的A，也可排除；最后验证3的倍数，计算所有数位的数字和，判断和是否一定是3的倍数即可得出答案。
【解析】
我们先明确各选项对应数的倍数特征，逐一分析：
1. 分析A选项（2的倍数）：2的倍数个位需是0、2、4、6、8，本题六位数个位是A，A是0~9的任意自然数，可能是奇数，因此不一定是2的倍数，排除A。
2. 分析D选项（5的倍数）：5的倍数个位需是0或5，A取值不确定，因此不一定是5的倍数，排除D。
3. 分析C选项（4的倍数）：4的倍数要求末两位组成的数是4的倍数，本题末两位是$\overline{2A}$，即20+A，例如当A=1时，末两位是21，21不是4的倍数，因此不一定是4的倍数，排除C。
4. 分析B选项（3的倍数）：3的倍数要求所有数位上的数字之和是3的倍数，计算该六位数的数字和：$4+3+A+A+2+A=9+3A=3×(3+A)$，不管A取0~9的哪个自然数，$3×(3+A)$都是3的倍数，因此这个六位数一定是3的倍数。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
3的倍数特征，2的倍数特征，5的倍数特征
【点评】
本题重点考查常见整数的倍数特征的应用，解题的核心是熟练掌握不同数的倍数判断规则，通过排除法结合计算验证即可快速得出结论，需要注意数位上的字母取值为0~9的自然数。
【难度系数】
0.7
三、“如果$A ÷ B = 5$，那么B是A的因数，A是B的倍数。”你认为这种说法是对的还是错的？
我认为这句话是(
我认为这句话是(
错的
)，(填“对的”或“错的”)这是因为如果A、B不是(非零自然
)数，那么就不能说B是A的因数，A是B的倍数。答案
错的 非零自然
解析
【分析】
要判断这句话的正误，首先要明确因数和倍数的研究前提。我们所学的因数和倍数概念，是限定在非零自然数范围内讨论的。如果A、B不是非零自然数，比如为小数、分数时，即便满足A÷B=5，也不存在因数和倍数的关系。解题时先回忆因数倍数的适用范围，再判断说法对错、补全空缺即可。
【解析】
解：根据因数和倍数的定义，我们研究因数和倍数时，所说的数均为非零自然数（不包含0、小数、分数等）。
举反例：若A=1，B=0.2，此时1÷0.2=5，满足A÷B=5的条件，但0.2不是非零自然数，因此不能说0.2是1的因数，1是0.2的倍数。
题目中的说法没有限定A、B为非零自然数，因此说法错误，只有A、B为非零自然数时，才能说B是A的因数，A是B的倍数。
【答案】
错的；非零自然
【知识点】
1.因数与倍数概念
2.因数倍数研究范围
【点评】
本题属于基础易错题，核心考察因数和倍数的适用范围，解题时要注意不要忽略“非零自然数”这一前提条件，避免仅凭除法算式就直接判定因数倍数关系。
【难度系数】
0.6
要判断这句话的正误，首先要明确因数和倍数的研究前提。我们所学的因数和倍数概念，是限定在非零自然数范围内讨论的。如果A、B不是非零自然数，比如为小数、分数时，即便满足A÷B=5，也不存在因数和倍数的关系。解题时先回忆因数倍数的适用范围，再判断说法对错、补全空缺即可。
【解析】
解：根据因数和倍数的定义，我们研究因数和倍数时，所说的数均为非零自然数（不包含0、小数、分数等）。
举反例：若A=1，B=0.2，此时1÷0.2=5，满足A÷B=5的条件，但0.2不是非零自然数，因此不能说0.2是1的因数，1是0.2的倍数。
题目中的说法没有限定A、B为非零自然数，因此说法错误，只有A、B为非零自然数时，才能说B是A的因数，A是B的倍数。
【答案】
错的；非零自然
【知识点】
1.因数与倍数概念
2.因数倍数研究范围
【点评】
本题属于基础易错题，核心考察因数和倍数的适用范围，解题时要注意不要忽略“非零自然数”这一前提条件，避免仅凭除法算式就直接判定因数倍数关系。
【难度系数】
0.6
四、42名运动员平均分成几组参加跑步比赛，要求每组的人数不少于3人，且不多于10人，有几种分法？
答案
3种
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：运动员平均分组时，每组人数×组数=总人数42，因此每组人数一定是42的因数。解题思路为：第一步先找出42的所有因数，第二步根据“每组人数不少于3人、不多于10人”的要求筛选出符合条件的因数，符合条件的因数的个数就是分法的种数。
【解析】
1. 先找出42的所有因数，按一对一对的方法列举：
$1×42=42$，$2×21=42$，$3×14=42$，$6×7=42$
因此42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42
2. 筛选符合要求的因数：
题目要求每组人数不少于3人且不多于10人，在42的因数中满足该条件的有3、6、7，共3个，对应3种分法：
①每组3人，分14组；②每组6人，分7组；③每组7人，分6组。
【答案】
3种
【知识点】
找一个数的因数，因数的实际应用
【点评】
本题结合分组场景考察因数的相关知识，解题核心是将平均分的分组问题转化为找对应范围内因数的问题，需要注意准确列举因数，避免漏找或错找。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确：运动员平均分组时，每组人数×组数=总人数42，因此每组人数一定是42的因数。解题思路为：第一步先找出42的所有因数，第二步根据“每组人数不少于3人、不多于10人”的要求筛选出符合条件的因数，符合条件的因数的个数就是分法的种数。
【解析】
1. 先找出42的所有因数，按一对一对的方法列举：
$1×42=42$，$2×21=42$，$3×14=42$，$6×7=42$
因此42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42
2. 筛选符合要求的因数：
题目要求每组人数不少于3人且不多于10人，在42的因数中满足该条件的有3、6、7，共3个，对应3种分法：
①每组3人，分14组；②每组6人，分7组；③每组7人，分6组。
【答案】
3种
【知识点】
找一个数的因数，因数的实际应用
【点评】
本题结合分组场景考察因数的相关知识，解题核心是将平均分的分组问题转化为找对应范围内因数的问题，需要注意准确列举因数，避免漏找或错找。
【难度系数】
0.7
五、袋子里有65个小球，3个3个地拿，能正好拿完吗？5个5个地拿，能正好拿完吗？
答案
3个3个地拿,不能正好拿完;5个5个地拿,能正好拿完。
解析
【分析】
要判断几种拿法能不能正好拿完，本质是看总球数65是不是每次拿的个数的倍数：如果是对应数的倍数，就能正好拿完，反之则不能。解题时我们可以分别用3、5的倍数特征来验证65是否符合要求：3的倍数特征是数的各位数字之和是3的倍数；5的倍数特征是数的个位是0或5，依次验证即可得到结论。
【解析】
1. 判断3个3个地拿的情况：
计算65各位上的数字和：$6+5=11$，11不是3的倍数，因此65不是3的倍数，所以3个3个地拿不能正好拿完。
2. 判断5个5个地拿的情况：
65的个位数字是5，符合5的倍数的特征，因此65是5的倍数，所以5个5个地拿能正好拿完。
【答案】
3个3个地拿,不能正好拿完;5个5个地拿,能正好拿完。
【知识点】
3的倍数特征、5的倍数特征、倍数的应用
【点评】
这道题将倍数知识点和生活实际结合，重点考查对3、5的倍数特征的记忆与应用，属于基础题型，掌握特殊数的倍数特征即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要判断几种拿法能不能正好拿完，本质是看总球数65是不是每次拿的个数的倍数：如果是对应数的倍数，就能正好拿完，反之则不能。解题时我们可以分别用3、5的倍数特征来验证65是否符合要求：3的倍数特征是数的各位数字之和是3的倍数；5的倍数特征是数的个位是0或5，依次验证即可得到结论。
【解析】
1. 判断3个3个地拿的情况：
计算65各位上的数字和：$6+5=11$，11不是3的倍数，因此65不是3的倍数，所以3个3个地拿不能正好拿完。
2. 判断5个5个地拿的情况：
65的个位数字是5，符合5的倍数的特征，因此65是5的倍数，所以5个5个地拿能正好拿完。
【答案】
3个3个地拿,不能正好拿完;5个5个地拿,能正好拿完。
【知识点】
3的倍数特征、5的倍数特征、倍数的应用
【点评】
这道题将倍数知识点和生活实际结合，重点考查对3、5的倍数特征的记忆与应用，属于基础题型，掌握特殊数的倍数特征即可快速求解。
【难度系数】
0.85
