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三、解决问题。
1. 被班上同学称为“数学家”的李明，面对爸爸新买回的鱼缸（如下图，无盖）又开始研究了：
(1)做这个鱼缸至少用了多少平方分米的玻璃？
(2)鱼缸里的鱼的平均体积是多少？
(3)如果给这个鱼缸的每条棱都装上彩灯，至少需要多长的彩灯线？
1. 被班上同学称为“数学家”的李明，面对爸爸新买回的鱼缸（如下图，无盖）又开始研究了：
(1)做这个鱼缸至少用了多少平方分米的玻璃？
(2)鱼缸里的鱼的平均体积是多少？
(3)如果给这个鱼缸的每条棱都装上彩灯，至少需要多长的彩灯线？
答案
1.(1)76 dm² (2)0.2 dm³ (3)48 dm
解析
【分析】
这道题分为三个小问，分别考查长方体的不同应用知识点，解题思路如下：
1. 第一问求无盖鱼缸的玻璃面积，本质是求无盖长方体的表面积，无盖长方体比完整长方体少1个顶面（长×宽的面），只需计算1个底面加4个侧面的面积和即可。
2. 第二问求鱼的平均体积，用排水法思路：12条鱼的总体积等于水面上升部分的水的体积，先算出水面上升的高度，再根据长方体体积公式算出上升部分水的体积，最后除以鱼的数量就能得到平均每条鱼的体积。
3. 第三问求彩灯线长度，就是求长方体的棱长总和，长方体有4条长、4条宽、4条高，用公式棱长总和=（长+宽+高）×4代入计算即可。
【解析】
(1) 无盖鱼缸的表面积公式为：$\mathrm{表面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}×2+\mathrm{宽}×\mathrm{高}×2$
代入长6dm、宽2dm、高4dm：
$\begin{split}&6×2 + 6×4×2 + 2×4×2\\=&12 + 48 + 16\\=&76(\mathrm{dm}^2)\end{split}$
(2) 先计算水面上升高度：$2.7 - 2.5 = 0.2(\mathrm{dm})$
12条鱼的总体积=上升部分水的体积，即$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{上升高度}$：
$6×2×0.2 = 2.4(\mathrm{dm}^3)$
平均每条鱼的体积：$2.4 ÷ 12 = 0.2(\mathrm{dm}^3)$
(3) 长方体棱长总和公式为：$\mathrm{棱长总和}=(\mathrm{长}+\mathrm{宽}+\mathrm{高})×4$
代入数据：
$\begin{split}&(6 + 2 + 4)×4\\=&12×4\\=&48(\mathrm{dm})\end{split}$
【答案】
(1)$76\ \mathrm{dm}^2$ (2)$0.2\ \mathrm{dm}^3$ (3)$48\ \mathrm{dm}$
【知识点】
长方体表面积计算、排水法求体积、长方体棱长和计算
【点评】
本题结合生活场景考查长方体的基础应用，解题时要注意无盖表面积需少算一个顶面，排水法的核心是不规则物体体积等于液面变化部分的体积，牢记相关公式即可正确解答。
【难度系数】
0.8
这道题分为三个小问，分别考查长方体的不同应用知识点，解题思路如下：
1. 第一问求无盖鱼缸的玻璃面积，本质是求无盖长方体的表面积，无盖长方体比完整长方体少1个顶面（长×宽的面），只需计算1个底面加4个侧面的面积和即可。
2. 第二问求鱼的平均体积，用排水法思路：12条鱼的总体积等于水面上升部分的水的体积，先算出水面上升的高度，再根据长方体体积公式算出上升部分水的体积，最后除以鱼的数量就能得到平均每条鱼的体积。
3. 第三问求彩灯线长度，就是求长方体的棱长总和，长方体有4条长、4条宽、4条高，用公式棱长总和=（长+宽+高）×4代入计算即可。
【解析】
(1) 无盖鱼缸的表面积公式为：$\mathrm{表面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}×2+\mathrm{宽}×\mathrm{高}×2$
代入长6dm、宽2dm、高4dm：
$\begin{split}&6×2 + 6×4×2 + 2×4×2\\=&12 + 48 + 16\\=&76(\mathrm{dm}^2)\end{split}$
(2) 先计算水面上升高度：$2.7 - 2.5 = 0.2(\mathrm{dm})$
12条鱼的总体积=上升部分水的体积，即$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{上升高度}$：
$6×2×0.2 = 2.4(\mathrm{dm}^3)$
平均每条鱼的体积：$2.4 ÷ 12 = 0.2(\mathrm{dm}^3)$
(3) 长方体棱长总和公式为：$\mathrm{棱长总和}=(\mathrm{长}+\mathrm{宽}+\mathrm{高})×4$
代入数据：
$\begin{split}&(6 + 2 + 4)×4\\=&12×4\\=&48(\mathrm{dm})\end{split}$
【答案】
(1)$76\ \mathrm{dm}^2$ (2)$0.2\ \mathrm{dm}^3$ (3)$48\ \mathrm{dm}$
【知识点】
长方体表面积计算、排水法求体积、长方体棱长和计算
【点评】
本题结合生活场景考查长方体的基础应用，解题时要注意无盖表面积需少算一个顶面，排水法的核心是不规则物体体积等于液面变化部分的体积，牢记相关公式即可正确解答。
【难度系数】
0.8
2. 做一个长方体的鱼缸(无盖),长8 dm,宽4 dm,高6 dm,至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米的玻璃4元钱,至少需要花多少元钱买玻璃？
答案
176 dm² 704元
解析
【分析】
解题时首先要抓住“无盖”这个关键条件，长方体鱼缸无盖意味着我们只需要计算5个面的总面积，不需要算顶面（长×宽的面）。解题步骤分两步：第一步先计算5个面的面积和，也就是需要的玻璃总面积；第二步再用玻璃总面积乘每平方分米玻璃的单价，就能得出总花费。计算面的面积时要明确：前后两个面面积都是长×高，左右两个面面积都是宽×高，底面面积是长×宽。
【解析】
第一步：计算需要的玻璃总面积
无盖长方体表面积 = 底面面积 + 2个正面面积 + 2个侧面面积
= 长×宽 + 2×长×高 + 2×宽×高
代入数值计算：
$8×4 + 2×8×6 + 2×4×6$
$= 32 + 96 + 48$
$= 176(\mathrm{dm}^2)$
第二步：计算买玻璃的总花费
总花费 = 玻璃总面积 × 每平方分米玻璃单价
代入数值计算：
$176×4 = 704$（元）
【答案】
176 dm² 704元
【知识点】
1. 长方体表面积应用
2. 价格问题计算
【点评】
本题属于长方体表面积的实际应用类题目，解题的核心是结合生活场景判断需要计算的面的数量，避免忽略“无盖”条件多算顶面面积，同时要熟练掌握基本的面积和总价计算方法。
【难度系数】
0.75
解题时首先要抓住“无盖”这个关键条件，长方体鱼缸无盖意味着我们只需要计算5个面的总面积，不需要算顶面（长×宽的面）。解题步骤分两步：第一步先计算5个面的面积和，也就是需要的玻璃总面积；第二步再用玻璃总面积乘每平方分米玻璃的单价，就能得出总花费。计算面的面积时要明确：前后两个面面积都是长×高，左右两个面面积都是宽×高，底面面积是长×宽。
【解析】
第一步：计算需要的玻璃总面积
无盖长方体表面积 = 底面面积 + 2个正面面积 + 2个侧面面积
= 长×宽 + 2×长×高 + 2×宽×高
代入数值计算：
$8×4 + 2×8×6 + 2×4×6$
$= 32 + 96 + 48$
$= 176(\mathrm{dm}^2)$
第二步：计算买玻璃的总花费
总花费 = 玻璃总面积 × 每平方分米玻璃单价
代入数值计算：
$176×4 = 704$（元）
【答案】
176 dm² 704元
【知识点】
1. 长方体表面积应用
2. 价格问题计算
【点评】
本题属于长方体表面积的实际应用类题目，解题的核心是结合生活场景判断需要计算的面的数量，避免忽略“无盖”条件多算顶面面积，同时要熟练掌握基本的面积和总价计算方法。
【难度系数】
0.75
做两个大小相同的正方体纸盒，一个有盖，一个无盖，那么有盖纸盒的表面积是无盖纸盒的表面积的几倍？
答案
$\frac{6}{5}$倍
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体的基本特征：正方体有6个完全相同的正方形面。因为两个纸盒大小相同，所以它们每个面的面积都相等。接下来分别确定两个纸盒的面数：有盖的正方体纸盒是完整的6个面，无盖的纸盒少了1个顶面，只有5个面。要求有盖的表面积是无盖的几倍，就是求6个面的总面积是5个面的总面积的几倍，因为单个面面积相同，直接用面数相除即可得到倍数关系。
【解析】
因为两个正方体纸盒大小相同，所以每个面的面积相等，我们将每个面的面积看作1份。
1. 计算有盖纸盒的表面积：有盖正方体共有6个面，表面积 = 6×1 = 6份
2. 计算无盖纸盒的表面积：无盖正方体缺少1个顶面，共有5个面，表面积 = 5×1 = 5份
3. 计算倍数：$6÷5=\frac{6}{5}$
【答案】
$\frac{6}{5}$倍
【知识点】
正方体的特征、正方体表面积计算、倍的应用
【点评】
这道题考查正方体表面积的实际应用，解题核心是准确区分有盖和无盖正方体的面数差异，结合两个正方体大小相同的条件，可直接通过面数的比值得到表面积的倍数关系，做题时要注意不要混淆两个纸盒的面数。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方体的基本特征：正方体有6个完全相同的正方形面。因为两个纸盒大小相同，所以它们每个面的面积都相等。接下来分别确定两个纸盒的面数：有盖的正方体纸盒是完整的6个面，无盖的纸盒少了1个顶面，只有5个面。要求有盖的表面积是无盖的几倍，就是求6个面的总面积是5个面的总面积的几倍，因为单个面面积相同，直接用面数相除即可得到倍数关系。
【解析】
因为两个正方体纸盒大小相同，所以每个面的面积相等，我们将每个面的面积看作1份。
1. 计算有盖纸盒的表面积：有盖正方体共有6个面，表面积 = 6×1 = 6份
2. 计算无盖纸盒的表面积：无盖正方体缺少1个顶面，共有5个面，表面积 = 5×1 = 5份
3. 计算倍数：$6÷5=\frac{6}{5}$
【答案】
$\frac{6}{5}$倍
【知识点】
正方体的特征、正方体表面积计算、倍的应用
【点评】
这道题考查正方体表面积的实际应用，解题核心是准确区分有盖和无盖正方体的面数差异，结合两个正方体大小相同的条件，可直接通过面数的比值得到表面积的倍数关系，做题时要注意不要混淆两个纸盒的面数。
【难度系数】
0.8
