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1.把两个棱长是2 cm的正方体拼成一个长方体，与原来相比表面积减少了()$\mathrm{cm}^2$，长方体的表面积是()$\mathrm{cm}^2$。
答案
2×2×2 = 8(cm²)
2×2×6×2 - 8 = 40(cm²)
答：与原来相比表面积减少了8 cm²，长方体的表面积是40 cm²。
2×2×6×2 - 8 = 40(cm²)
答：与原来相比表面积减少了8 cm²，长方体的表面积是40 cm²。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确两个正方体拼成长方体时的表面积变化规律：两个正方体拼接时，各有一个面会完全重合，这两个重合的面不再属于新长方体的表面积，因此表面积减少的部分就是2个正方形面的面积。计算时可以先求减少的表面积，再用两个正方体的总表面积减去减少的面积得到长方体的表面积，这种方法计算更简便，不容易出错。
【解析】
1. 计算减少的表面积：
正方体单个面的面积 = 棱长×棱长，即$2×2=4(\mathrm{cm}^2)$
拼接后共减少2个重合的面，因此减少的表面积为$4×2=8(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算长方体的表面积：
单个正方体的表面积 = 棱长×棱长×6，即$2×2×6=24(\mathrm{cm}^2)$
两个正方体的总表面积为$24×2=48(\mathrm{cm}^2)$
长方体的表面积 = 两个正方体总表面积 - 减少的表面积，即$48-8=40(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
8；40
【知识点】
正方体表面积计算；立体图形拼接表面积变化；长方体表面积计算
【点评】
本题重点考察立体图形拼接时的表面积变化规律，解题的关键是准确判断拼接后减少的面的数量，掌握该规律即可快速求解，也可通过计算拼接后长方体的长宽高（长4cm、宽2cm、高2cm）代入长方体表面积公式验证结果，提升正确率。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确两个正方体拼成长方体时的表面积变化规律：两个正方体拼接时，各有一个面会完全重合，这两个重合的面不再属于新长方体的表面积，因此表面积减少的部分就是2个正方形面的面积。计算时可以先求减少的表面积，再用两个正方体的总表面积减去减少的面积得到长方体的表面积，这种方法计算更简便，不容易出错。
【解析】
1. 计算减少的表面积：
正方体单个面的面积 = 棱长×棱长，即$2×2=4(\mathrm{cm}^2)$
拼接后共减少2个重合的面，因此减少的表面积为$4×2=8(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算长方体的表面积：
单个正方体的表面积 = 棱长×棱长×6，即$2×2×6=24(\mathrm{cm}^2)$
两个正方体的总表面积为$24×2=48(\mathrm{cm}^2)$
长方体的表面积 = 两个正方体总表面积 - 减少的表面积，即$48-8=40(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
8；40
【知识点】
正方体表面积计算；立体图形拼接表面积变化；长方体表面积计算
【点评】
本题重点考察立体图形拼接时的表面积变化规律，解题的关键是准确判断拼接后减少的面的数量，掌握该规律即可快速求解，也可通过计算拼接后长方体的长宽高（长4cm、宽2cm、高2cm）代入长方体表面积公式验证结果，提升正确率。
【难度系数】
0.8
2.如图,点点搬了7个棱长为50 cm的正方体纸箱放在墙角。请你帮她数一数,露出()个面,露在外面的面积是()cm²。
答案
露出(15)个面，露在外面的面积是(37500)cm²。
答：露出15个面，露在外面的面积是37500平方厘米。
答：露出15个面，露在外面的面积是37500平方厘米。
解析
【分析】
纸箱放在墙角位置，有三个面靠墙，我们只需要按固定方向有序计数：分别从正面、上面、侧面三个方向数出能看到的面的数量，相加就能得到露出的总面数；再先计算单个正方形面的面积，用单个面的面积乘总面数，就能得到露在外面的总面积，数面时要注意避免重复或漏数。
【解析】
1. 计算露出的面的总数：
从正面观察，可看到6个面；
从上面观察，可看到5个面；
从右面观察，可看到4个面；
总面数：$6+5+4=15$（个）
2. 计算单个正方形面的面积：
已知正方体棱长为50cm，单个面的面积：$50×50=2500$（$\mathrm{cm^2}$）
3. 计算露在外面的总面积：
$2500×15=37500$（$\mathrm{cm^2}$）
【答案】
露出(15)个面，露在外面的面积是(37500)$\mathrm{cm^2}$。
【知识点】
1. 露在外面的面的计数
2. 正方形面积计算
【点评】
本题侧重考查对组合立体图形的观察能力，解题核心是按固定方向有序数面，做到不重复、不遗漏，再结合正方形面积公式即可求出结果。
【难度系数】
0.7
纸箱放在墙角位置，有三个面靠墙，我们只需要按固定方向有序计数：分别从正面、上面、侧面三个方向数出能看到的面的数量，相加就能得到露出的总面数；再先计算单个正方形面的面积，用单个面的面积乘总面数，就能得到露在外面的总面积，数面时要注意避免重复或漏数。
【解析】
1. 计算露出的面的总数：
从正面观察，可看到6个面；
从上面观察，可看到5个面；
从右面观察，可看到4个面；
总面数：$6+5+4=15$（个）
2. 计算单个正方形面的面积：
已知正方体棱长为50cm，单个面的面积：$50×50=2500$（$\mathrm{cm^2}$）
3. 计算露在外面的总面积：
$2500×15=37500$（$\mathrm{cm^2}$）
【答案】
露出(15)个面，露在外面的面积是(37500)$\mathrm{cm^2}$。
【知识点】
1. 露在外面的面的计数
2. 正方形面积计算
【点评】
本题侧重考查对组合立体图形的观察能力，解题核心是按固定方向有序数面，做到不重复、不遗漏，再结合正方形面积公式即可求出结果。
【难度系数】
0.7
3.如果正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的棱长总和扩大到原来的（）倍，表面积扩大到原来的（）倍。
答案
设原正方体的棱长为a。
原棱长总和：$12a$
扩大后棱长总和：$12× 3a = 36a$
$36a÷ 12a = 3$
原表面积：$6a^2$
扩大后表面积：$6× (3a)^2 = 54a^2$
$54a^2÷ 6a^2 = 9$
答：它的棱长总和扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的9倍。
原棱长总和：$12a$
扩大后棱长总和：$12× 3a = 36a$
$36a÷ 12a = 3$
原表面积：$6a^2$
扩大后表面积：$6× (3a)^2 = 54a^2$
$54a^2÷ 6a^2 = 9$
答：它的棱长总和扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的9倍。
解析
【分析】
要解决正方体棱长变化后棱长总和、表面积的变化倍数问题，我们可以采用假设法：先设原正方体的棱长为a，再结合正方体棱长总和、表面积的计算公式，分别求出棱长扩大前后的棱长总和、表面积，最后用扩大后的量除以原来的量，就能得到对应的扩大倍数。
【解析】
解：设原正方体的棱长为a。
1. 计算棱长总和的扩大倍数：
原正方体棱长总和 = 12×棱长 = 12a
棱长扩大到原来的3倍后，新棱长为3a，新棱长总和 = 12×3a = 36a
棱长总和扩大倍数：$36a ÷ 12a = 3$
2. 计算表面积的扩大倍数：
原正方体表面积 = 6×棱长×棱长 = $6a^2$
新表面积 = $6×(3a)^2 = 6×9a^2 = 54a^2$
表面积扩大倍数：$54a^2 ÷ 6a^2 = 9$
【答案】
3；9
【知识点】
正方体棱长总和计算，正方体表面积计算，倍数计算
【点评】
本题侧重考查正方体的基本公式应用，通过设值法可以清晰对比变化前后的数值差异，做题时也可以直接将原棱长设为1简化计算，要注意区分棱长总和随棱长同倍数变化，而表面积随棱长的平方倍变化的规律。
【难度系数】
0.7
要解决正方体棱长变化后棱长总和、表面积的变化倍数问题，我们可以采用假设法：先设原正方体的棱长为a，再结合正方体棱长总和、表面积的计算公式，分别求出棱长扩大前后的棱长总和、表面积，最后用扩大后的量除以原来的量，就能得到对应的扩大倍数。
【解析】
解：设原正方体的棱长为a。
1. 计算棱长总和的扩大倍数：
原正方体棱长总和 = 12×棱长 = 12a
棱长扩大到原来的3倍后，新棱长为3a，新棱长总和 = 12×3a = 36a
棱长总和扩大倍数：$36a ÷ 12a = 3$
2. 计算表面积的扩大倍数：
原正方体表面积 = 6×棱长×棱长 = $6a^2$
新表面积 = $6×(3a)^2 = 6×9a^2 = 54a^2$
表面积扩大倍数：$54a^2 ÷ 6a^2 = 9$
【答案】
3；9
【知识点】
正方体棱长总和计算，正方体表面积计算，倍数计算
【点评】
本题侧重考查正方体的基本公式应用，通过设值法可以清晰对比变化前后的数值差异，做题时也可以直接将原棱长设为1简化计算，要注意区分棱长总和随棱长同倍数变化，而表面积随棱长的平方倍变化的规律。
【难度系数】
0.7
4.看图填空。(单位:cm)
(1)左、右两个面的面积和是()$\mathrm{cm}^2$。
(2)上、下两个面的面积和是()$\mathrm{cm}^2$。
(3)前、后两个面的面积和是()$\mathrm{cm}^2$。
(4)这个长方体的表面积是()$\mathrm{cm}^2$。
(1)左、右两个面的面积和是()$\mathrm{cm}^2$。
(2)上、下两个面的面积和是()$\mathrm{cm}^2$。
(3)前、后两个面的面积和是()$\mathrm{cm}^2$。
(4)这个长方体的表面积是()$\mathrm{cm}^2$。
答案
(1)
$8×5×2=80$
(2)
$12×8×2=192$
(3)
$12×5×2=120$
(4)
$80+192+120=392$
答案依次为：80、192、120、392。
$8×5×2=80$
(2)
$12×8×2=192$
(3)
$12×5×2=120$
(4)
$80+192+120=392$
答案依次为：80、192、120、392。
解析
【分析】
解题前先明确这个长方体的长为12cm、宽为8cm、高为5cm。长方体相对的两个面面积完全相等，所以计算一组相对面的面积和时，先算出单个面的面积再乘2即可：
1. 左、右两个面是由宽和高组成的长方形，用宽×高算出单个面面积再乘2；
2. 上、下两个面是由长和宽组成的长方形，用长×宽算出单个面面积再乘2；
3. 前、后两个面是由长和高组成的长方形，用长×高算出单个面面积再乘2；
4. 长方体的表面积就是三组相对面的面积和相加的总和，把前三问的结果相加就能得到表面积。
【解析】
已知长方体长=12cm，宽=8cm，高=5cm：
(1) 左右面面积和：单个面面积为宽×高=8×5，两个面的和为$8×5×2=80(\mathrm{cm}^2)$；
(2) 上下面面积和：单个面面积为长×宽=12×8，两个面的和为$12×8×2=192(\mathrm{cm}^2)$；
(3) 前后面面积和：单个面面积为长×高=12×5，两个面的和为$12×5×2=120(\mathrm{cm}^2)$；
(4) 长方体表面积=左右面面积和+上下面面积和+前后面面积和，即$80+192+120=392(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)80；(2)192；(3)120；(4)392
【知识点】
1. 长方体面的特征
2. 长方形面积计算
3. 长方体表面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是找准不同对应面的两条边长，再结合长方形面积公式计算即可，掌握长方体面的特征是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题前先明确这个长方体的长为12cm、宽为8cm、高为5cm。长方体相对的两个面面积完全相等，所以计算一组相对面的面积和时，先算出单个面的面积再乘2即可：
1. 左、右两个面是由宽和高组成的长方形，用宽×高算出单个面面积再乘2；
2. 上、下两个面是由长和宽组成的长方形，用长×宽算出单个面面积再乘2；
3. 前、后两个面是由长和高组成的长方形，用长×高算出单个面面积再乘2；
4. 长方体的表面积就是三组相对面的面积和相加的总和，把前三问的结果相加就能得到表面积。
【解析】
已知长方体长=12cm，宽=8cm，高=5cm：
(1) 左右面面积和：单个面面积为宽×高=8×5，两个面的和为$8×5×2=80(\mathrm{cm}^2)$；
(2) 上下面面积和：单个面面积为长×宽=12×8，两个面的和为$12×8×2=192(\mathrm{cm}^2)$；
(3) 前后面面积和：单个面面积为长×高=12×5，两个面的和为$12×5×2=120(\mathrm{cm}^2)$；
(4) 长方体表面积=左右面面积和+上下面面积和+前后面面积和，即$80+192+120=392(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)80；(2)192；(3)120；(4)392
【知识点】
1. 长方体面的特征
2. 长方形面积计算
3. 长方体表面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是找准不同对应面的两条边长，再结合长方形面积公式计算即可，掌握长方体面的特征是解题的关键。
【难度系数】
0.85
5. 一个长2 dm、宽3 dm、高1 dm的长方体，它的占地面积最小是()$\mathrm{dm}^2$，最大是()$\mathrm{dm}^2$。
答案
1×2=2(dm²)
2×3=6(dm²)
答：它的占地面积最小是2 dm²，最大是6 dm²。
2×3=6(dm²)
答：它的占地面积最小是2 dm²，最大是6 dm²。
解析
【分析】
首先要明确“占地面积”的含义：它是长方体放在平面上时，和平面接触的那个面的面积。长方体有3组大小不同的面，我们只需要先算出这3组面的面积，再比较大小，就能找到最小和最大的占地面积。
【解析】
第一步：计算长方体3个不同面的面积
长×宽：$2×3=6(\mathrm{dm}^2)$
长×高：$2×1=2(\mathrm{dm}^2)$
宽×高：$3×1=3(\mathrm{dm}^2)$
第二步：比较面积大小
因为$2＜3＜6$，所以最小占地面积是$2\mathrm{dm}^2$，最大占地面积是$6\mathrm{dm}^2$。
【答案】
它的占地面积最小是$\boxed{2}$$\mathrm{dm}^2$，最大是$\boxed{6}$$\mathrm{dm}^2$。
【知识点】
长方体的特征、长方形面积计算
【点评】
本题核心是考查对占地面积概念的理解，解题关键是明确占地面积就是长方体接触支撑面的面的面积，算出不同面的面积后比较大小即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
首先要明确“占地面积”的含义：它是长方体放在平面上时，和平面接触的那个面的面积。长方体有3组大小不同的面，我们只需要先算出这3组面的面积，再比较大小，就能找到最小和最大的占地面积。
【解析】
第一步：计算长方体3个不同面的面积
长×宽：$2×3=6(\mathrm{dm}^2)$
长×高：$2×1=2(\mathrm{dm}^2)$
宽×高：$3×1=3(\mathrm{dm}^2)$
第二步：比较面积大小
因为$2＜3＜6$，所以最小占地面积是$2\mathrm{dm}^2$，最大占地面积是$6\mathrm{dm}^2$。
【答案】
它的占地面积最小是$\boxed{2}$$\mathrm{dm}^2$，最大是$\boxed{6}$$\mathrm{dm}^2$。
【知识点】
长方体的特征、长方形面积计算
【点评】
本题核心是考查对占地面积概念的理解，解题关键是明确占地面积就是长方体接触支撑面的面的面积，算出不同面的面积后比较大小即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
1.一名油漆工粉刷一个长方体的小箱子，需要用3罐油漆，现在他要粉刷一个长、宽、高都是原来4倍的大长方体箱子，需要用(
A.48
B.16
C.12
A
)罐油漆。A.48
B.16
C.12
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确粉刷箱子的油漆用量和长方体的表面积成正比，油漆用量随表面积的扩大而增加。解题思路分为三步：第一步回忆长方体表面积的计算公式；第二步推导长、宽、高都扩大到原来的4倍时，表面积扩大到原来的多少倍；第三步用原来的油漆用量乘表面积扩大的倍数，就能得到大箱子需要的油漆总量。
【解析】
长方体表面积公式为：$ S = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) $
当长、宽、高都变为原来的4倍时，新的表面积为：
$ S_{新} = 2×(4长×4宽 + 4长×4高 + 4宽×4高) $
$ = 2×16×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) $
$ =16×2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) = 16S $
即大箱子的表面积是原来小箱子的16倍，因此需要的油漆量也是原来的16倍。
原来需要3罐油漆，现在需要的油漆量为：$ 3×16=48 $（罐）
【答案】
A
【知识点】
长方体表面积计算；积的变化规律
【点评】
本题重点考查长方体表面积公式的灵活运用，解题的关键是掌握棱长扩大倍数和表面积扩大倍数的关系，注意不要和体积的扩大倍数混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确粉刷箱子的油漆用量和长方体的表面积成正比，油漆用量随表面积的扩大而增加。解题思路分为三步：第一步回忆长方体表面积的计算公式；第二步推导长、宽、高都扩大到原来的4倍时，表面积扩大到原来的多少倍；第三步用原来的油漆用量乘表面积扩大的倍数，就能得到大箱子需要的油漆总量。
【解析】
长方体表面积公式为：$ S = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) $
当长、宽、高都变为原来的4倍时，新的表面积为：
$ S_{新} = 2×(4长×4宽 + 4长×4高 + 4宽×4高) $
$ = 2×16×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) $
$ =16×2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) = 16S $
即大箱子的表面积是原来小箱子的16倍，因此需要的油漆量也是原来的16倍。
原来需要3罐油漆，现在需要的油漆量为：$ 3×16=48 $（罐）
【答案】
A
【知识点】
长方体表面积计算；积的变化规律
【点评】
本题重点考查长方体表面积公式的灵活运用，解题的关键是掌握棱长扩大倍数和表面积扩大倍数的关系，注意不要和体积的扩大倍数混淆。
【难度系数】
0.7
2. 用18个棱长为1 cm的小正方体拼成图①所示的长方体模型。从这个长方体模型中拿走一个小正方体，可以得到图②、图③、图④所示的立体模型，与图①的表面积比较，下面说法正确的是(
A.图②的表面积减少3 cm²
B.图③的表面积增加4 cm²
C.图④的表面积增加4 cm²
C
)。A.图②的表面积减少3 cm²
B.图③的表面积增加4 cm²
C.图④的表面积增加4 cm²
答案
C
解析
【分析】
解题时先明确棱长1cm的小正方体单个面的面积是1cm²。判断拿走小正方体后表面积的变化，不需要计算整个立体图形的表面积，只需要对比两点：①被拿走的小正方体原来露在外面的面的数量；②拿走后空缺位置新露出的面的数量。两者的数量差乘1cm²就是表面积的变化量，差为正则表面积增加，差为负则表面积减少。接下来分别分析三个图形的面数变化，再对应选项判断对错即可。
【解析】
首先计算单个小正方形面的面积：$1×1=1(\mathrm{cm}^2)$
1. 分析图②：被拿走的小正方体原来外露2个面，拿走后新露出4个面，表面积变化为$(4-2)×1=2(\mathrm{cm}^2)$，即表面积比原来增加2cm²，因此A选项错误。
2. 分析图③：被拿走的小正方体原来外露2个面，拿走后新露出4个面，表面积变化为$(4-2)×1=2(\mathrm{cm}^2)$，即表面积比原来增加2cm²，因此B选项错误。
3. 分析图④：被拿走的小正方体原来外露1个面，拿走后新露出5个面，表面积变化为$(5-1)×1=4(\mathrm{cm}^2)$，即表面积比原来增加4cm²，因此C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
正方体表面积、立体图形表面积变化、观察物体
【点评】
本题考查立体图形挖去小正方体后的表面积变化规律，解题时不用计算整体表面积，只需对比挖去前后外露面的数量差即可，要注意区分小正方体在顶点、棱上、面中间三类不同位置时的表面积变化差异。
【难度系数】
0.7
解题时先明确棱长1cm的小正方体单个面的面积是1cm²。判断拿走小正方体后表面积的变化，不需要计算整个立体图形的表面积，只需要对比两点：①被拿走的小正方体原来露在外面的面的数量；②拿走后空缺位置新露出的面的数量。两者的数量差乘1cm²就是表面积的变化量，差为正则表面积增加，差为负则表面积减少。接下来分别分析三个图形的面数变化，再对应选项判断对错即可。
【解析】
首先计算单个小正方形面的面积：$1×1=1(\mathrm{cm}^2)$
1. 分析图②：被拿走的小正方体原来外露2个面，拿走后新露出4个面，表面积变化为$(4-2)×1=2(\mathrm{cm}^2)$，即表面积比原来增加2cm²，因此A选项错误。
2. 分析图③：被拿走的小正方体原来外露2个面，拿走后新露出4个面，表面积变化为$(4-2)×1=2(\mathrm{cm}^2)$，即表面积比原来增加2cm²，因此B选项错误。
3. 分析图④：被拿走的小正方体原来外露1个面，拿走后新露出5个面，表面积变化为$(5-1)×1=4(\mathrm{cm}^2)$，即表面积比原来增加4cm²，因此C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
正方体表面积、立体图形表面积变化、观察物体
【点评】
本题考查立体图形挖去小正方体后的表面积变化规律，解题时不用计算整体表面积，只需对比挖去前后外露面的数量差即可，要注意区分小正方体在顶点、棱上、面中间三类不同位置时的表面积变化差异。
【难度系数】
0.7
