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3. 正方体的棱长扩大到原来的3倍,它的表面积扩大到原来的(
A.3倍
B.6倍
C.9倍
D.27倍
C
)。A.3倍
B.6倍
C.9倍
D.27倍
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先我们要回忆正方体表面积的计算规则：正方体的表面积是6个完全相同的正方形面的面积之和，公式为表面积=6×棱长×棱长。我们可以用两种适合的思路推导变化倍数：一是假设一个具体的棱长数值，分别计算棱长扩大前后的表面积，再求倍数关系，这种方法直观易懂；二是直接通过公式推导，看棱长变化后表面积的变化情况，注意不要和体积的变化规律混淆。
【解析】
我们用假设法计算，步骤如下：
1. 设原来正方体的棱长为1，根据表面积公式，原来的表面积为：$6×1×1=6$
2. 棱长扩大到原来的3倍后，新的棱长为$1×3=3$，此时的表面积为：$6×3×3=54$
3. 计算表面积扩大的倍数：$54÷6=9$，即表面积扩大到原来的9倍。
也可以通过公式推导验证：设原棱长为$a$，原表面积$S_原=6a^2$，扩大后棱长为$3a$，新表面积$S_新=6×(3a)^2=54a^2$，$S_新÷ S_原=9$，结果一致。
【答案】
C
【知识点】
正方体表面积计算，积的变化规律，正方形面积计算
【点评】
这道题是正方体棱长与表面积变化关系的典型题型，赋值法是解决这类问题的简便方法，不容易出错，要注意区分表面积和体积随棱长变化的不同规律，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先我们要回忆正方体表面积的计算规则：正方体的表面积是6个完全相同的正方形面的面积之和，公式为表面积=6×棱长×棱长。我们可以用两种适合的思路推导变化倍数：一是假设一个具体的棱长数值，分别计算棱长扩大前后的表面积，再求倍数关系，这种方法直观易懂；二是直接通过公式推导，看棱长变化后表面积的变化情况，注意不要和体积的变化规律混淆。
【解析】
我们用假设法计算，步骤如下：
1. 设原来正方体的棱长为1，根据表面积公式，原来的表面积为：$6×1×1=6$
2. 棱长扩大到原来的3倍后，新的棱长为$1×3=3$，此时的表面积为：$6×3×3=54$
3. 计算表面积扩大的倍数：$54÷6=9$，即表面积扩大到原来的9倍。
也可以通过公式推导验证：设原棱长为$a$，原表面积$S_原=6a^2$，扩大后棱长为$3a$，新表面积$S_新=6×(3a)^2=54a^2$，$S_新÷ S_原=9$，结果一致。
【答案】
C
【知识点】
正方体表面积计算，积的变化规律，正方形面积计算
【点评】
这道题是正方体棱长与表面积变化关系的典型题型，赋值法是解决这类问题的简便方法，不容易出错，要注意区分表面积和体积随棱长变化的不同规律，避免混淆。
【难度系数】
0.7
四、解决问题。
1.把4个长24 cm、宽9 cm、高6 cm的礼盒包装在一起，怎样包装比较节约？在解决这个问题时，小明和小华各自想了一种方案。请你计算一下，谁的方案比较节约？如果不计算出每种方案要用的包装纸的面积，怎样比较呢？
1.把4个长24 cm、宽9 cm、高6 cm的礼盒包装在一起，怎样包装比较节约？在解决这个问题时，小明和小华各自想了一种方案。请你计算一下，谁的方案比较节约？如果不计算出每种方案要用的包装纸的面积，怎样比较呢？
答案
1.小明:2016 cm² 小华:1872 cm² 小华的包装方案比较节约。
解析
【分析】
要判断哪种包装方案更节约，本质是比较两种拼法得到的大长方体的表面积大小，表面积越小越节约包装纸。首先确定两种拼法对应的大长方体的长宽高，再代入长方体表面积公式计算即可。如果不计算，要明确：4个礼盒原本的总表面积是固定的，每拼接两个礼盒就会减少2个重合面的面积，因此重合的面的总面积越大，最终需要的包装纸面积越小，只需对比两种方案重合的总面积就能判断。
【解析】
长方体表面积公式为：$\mathrm{表面积}=2×(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})$
1. 计算小明方案的包装纸面积：
小明将4个礼盒沿高的方向叠放，拼成的大长方体长24cm、宽9cm、高$6×4=24$cm，代入公式：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=2×(24×9 + 24×24 + 9×24)\\&=2×(216+576+216)\\&=2×1008\\&=2016\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
2. 计算小华方案的包装纸面积：
小华的方案是2个礼盒并排摆放，共叠2层，拼成的大长方体长24cm、宽$9×2=18$cm、高$6×2=12$cm，代入公式：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=2×(24×18 + 24×12 + 18×12)\\&=2×(432+288+216)\\&=2×936\\&=1872\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
3. 比较可得$2016＞1872$，所以小华的方案更节约。
4. 不计算的比较方法：对比两种方案重合面的总面积，重合面积越大，拼接后减少的表面积越多，所需包装纸就越少，小华的方案重合面总面更大，所以更节约。
【答案】
小明:2016 cm² 小华:1872 cm² 小华的包装方案比较节约。不计算可通过比较重合面总面积判断，重合面积越大越节约，小华方案重合总面积更大，所以更节约。
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼合，最优方案选择
【点评】
本题结合包装礼盒的生活场景，考查长方体表面积公式的灵活运用，需要理解立体图形拼合时表面积的变化规律，能有效提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断哪种包装方案更节约，本质是比较两种拼法得到的大长方体的表面积大小，表面积越小越节约包装纸。首先确定两种拼法对应的大长方体的长宽高，再代入长方体表面积公式计算即可。如果不计算，要明确：4个礼盒原本的总表面积是固定的，每拼接两个礼盒就会减少2个重合面的面积，因此重合的面的总面积越大，最终需要的包装纸面积越小，只需对比两种方案重合的总面积就能判断。
【解析】
长方体表面积公式为：$\mathrm{表面积}=2×(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})$
1. 计算小明方案的包装纸面积：
小明将4个礼盒沿高的方向叠放，拼成的大长方体长24cm、宽9cm、高$6×4=24$cm，代入公式：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=2×(24×9 + 24×24 + 9×24)\\&=2×(216+576+216)\\&=2×1008\\&=2016\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
2. 计算小华方案的包装纸面积：
小华的方案是2个礼盒并排摆放，共叠2层，拼成的大长方体长24cm、宽$9×2=18$cm、高$6×2=12$cm，代入公式：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=2×(24×18 + 24×12 + 18×12)\\&=2×(432+288+216)\\&=2×936\\&=1872\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
3. 比较可得$2016＞1872$，所以小华的方案更节约。
4. 不计算的比较方法：对比两种方案重合面的总面积，重合面积越大，拼接后减少的表面积越多，所需包装纸就越少，小华的方案重合面总面更大，所以更节约。
【答案】
小明:2016 cm² 小华:1872 cm² 小华的包装方案比较节约。不计算可通过比较重合面总面积判断，重合面积越大越节约，小华方案重合总面积更大，所以更节约。
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼合，最优方案选择
【点评】
本题结合包装礼盒的生活场景，考查长方体表面积公式的灵活运用，需要理解立体图形拼合时表面积的变化规律，能有效提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
2.街边长方体“暖蜂驿站”喷漆后投入使用，可供快递小哥休息歇脚。“暖蜂驿站”长3 m、宽2.5 m、高2.2 m，一面上有长方形玻璃窗，长1 m、宽0.6 m，“暖蜂驿站”喷漆的面积是多少平方米？（底面和玻璃窗均不喷）
答案
2. 31.1 m²
解析
【分析】
解题时首先明确喷漆的范围：暖蜂驿站是长方体，底面不喷漆，同时玻璃窗位置也不喷漆，因此我们先计算长方体除底面外的5个面的总面积，再减去玻璃窗的面积，就能得到最终的喷漆面积。第一步先分别算出顶面、两个长对应的侧面、两个宽对应的侧面的面积，求和得到5个面的总面积；第二步计算玻璃窗的面积，用总面积减去玻璃窗面积即可。
【解析】
1. 计算长方体除底面外5个面的总面积：
顶面面积：$3×2.5 = 7.5\ \mathrm{m}^2$
两个长侧面（长×高的面）面积和：$2×3×2.2 = 13.2\ \mathrm{m}^2$
两个宽侧面（宽×高的面）面积和：$2×2.5×2.2 = 11\ \mathrm{m}^2$
5个面总面积：$7.5 + 13.2 + 11 = 31.7\ \mathrm{m}^2$
2. 计算玻璃窗面积：$1×0.6 = 0.6\ \mathrm{m}^2$
3. 喷漆面积 = 5个面总面积 - 玻璃窗面积：$31.7 - 0.6 = 31.1\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$31.1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
长方体表面积计算；实际面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查长方体表面积的灵活运用，解题关键是根据题意准确筛选需要计算的面，避免多算底面或漏减玻璃窗面积。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确喷漆的范围：暖蜂驿站是长方体，底面不喷漆，同时玻璃窗位置也不喷漆，因此我们先计算长方体除底面外的5个面的总面积，再减去玻璃窗的面积，就能得到最终的喷漆面积。第一步先分别算出顶面、两个长对应的侧面、两个宽对应的侧面的面积，求和得到5个面的总面积；第二步计算玻璃窗的面积，用总面积减去玻璃窗面积即可。
【解析】
1. 计算长方体除底面外5个面的总面积：
顶面面积：$3×2.5 = 7.5\ \mathrm{m}^2$
两个长侧面（长×高的面）面积和：$2×3×2.2 = 13.2\ \mathrm{m}^2$
两个宽侧面（宽×高的面）面积和：$2×2.5×2.2 = 11\ \mathrm{m}^2$
5个面总面积：$7.5 + 13.2 + 11 = 31.7\ \mathrm{m}^2$
2. 计算玻璃窗面积：$1×0.6 = 0.6\ \mathrm{m}^2$
3. 喷漆面积 = 5个面总面积 - 玻璃窗面积：$31.7 - 0.6 = 31.1\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$31.1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
长方体表面积计算；实际面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查长方体表面积的灵活运用，解题关键是根据题意准确筛选需要计算的面，避免多算底面或漏减玻璃窗面积。
【难度系数】
0.7
如图,4个棱长都是15 cm的正方体放在墙角,露在外面的面积是多少?
答案
露在外面的面积为2025 cm²。
解析
【分析】
要计算露在外面的面积，首先需要数清楚露在外面的正方形面的总数量。因为组合体放在墙角，我们可以分别从正面、上面、右面三个方向有序数面，避免漏数或多数。数出总面数后，先算出单个正方形面的面积，再乘总面数就能得到露在外面的总面积。
【解析】
第一步：数露在外面的面的数量：
从正面看，能看到4个正方形面；从上面看，能看到3个正方形面；从右面看，能看到2个正方形面。
总面数：$4 + 3 + 2 = 9$（个）
第二步：计算单个正方形面的面积：
正方形面积=边长×边长，代入棱长15cm：
$15×15 = 225$（$\mathrm{cm^2}$）
第三步：计算露在外面的总面积：
$225×9 = 2025$（$\mathrm{cm^2}$）
【答案】
露在外面的面积为2025 cm²。
【知识点】
露在外面的面计数、正方形面积计算、组合体表面积计算
【点评】
本题重点考查有序观察计数的能力，按不同方向数面是解题的核心，只要掌握正方形面积公式，细心计数就能正确求解，计数时注意不要重复或遗漏面。
【难度系数】
0.7
要计算露在外面的面积，首先需要数清楚露在外面的正方形面的总数量。因为组合体放在墙角，我们可以分别从正面、上面、右面三个方向有序数面，避免漏数或多数。数出总面数后，先算出单个正方形面的面积，再乘总面数就能得到露在外面的总面积。
【解析】
第一步：数露在外面的面的数量：
从正面看，能看到4个正方形面；从上面看，能看到3个正方形面；从右面看，能看到2个正方形面。
总面数：$4 + 3 + 2 = 9$（个）
第二步：计算单个正方形面的面积：
正方形面积=边长×边长，代入棱长15cm：
$15×15 = 225$（$\mathrm{cm^2}$）
第三步：计算露在外面的总面积：
$225×9 = 2025$（$\mathrm{cm^2}$）
【答案】
露在外面的面积为2025 cm²。
【知识点】
露在外面的面计数、正方形面积计算、组合体表面积计算
【点评】
本题重点考查有序观察计数的能力，按不同方向数面是解题的核心，只要掌握正方形面积公式，细心计数就能正确求解，计数时注意不要重复或遗漏面。
【难度系数】
0.7
