11.(1)写出下列各单项式的系数和次数：
| 单项式 | $30a$ | $-x^3$ | $y$ | $ab^2c^3$ | $\frac{-3xy^3}{4}$ | $π r^2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | | | | | | |
| 次数 | | | | | | |
(2)写出下列各多项式的项和次数：
| 多项式 | $-5x^2+6x-1$ | $x^2y^2-2x^3-1$ | $\frac{π - xy^2}{3}$ | $2^5 - x^2y - xy^3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 项 | | | | |
| 次数 | | | | |

11.解:(1)
| 单项式 | $30a$ | $-x^3$ | $y$ | $ab^2c^3$ | $\frac{-3xy^3}{4}$ | $π r^2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | 30 | -1 | 1 | 1 | $-\frac{3}{4}$ | $π$ |
| 次数 | 1 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
(2)
| 多项式 | $-5x^2+6x-1$ | $x^2y^2-2x^3-1$ | $\frac{π - xy^2}{3}$ | $2^5 - x^2y - xy^3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 项 | $-5x^2,6x,-1$ | $x^2y^2,-2x^3,-1$ | $\frac{π}{3},-\frac{1}{3}xy^2$ | $2^5,-x^2y,-xy^3$ |
| 次数 | 2 | 4 | 3 | 4 |

【分析】
(1)解决单项式的系数、次数问题，先牢记两个定义：①系数是单项式中的数字因数，单独的字母系数默认为1（字母前带负号则系数为-1），π是固定常数，属于系数部分；②次数是单项式中所有字母的指数之和，字母指数为1时通常省略书写，计算时需计入。
(2)解决多项式的项、次数问题，明确两个规则：①多项式的项是组成多项式的每个单项式，每个项要包含前面的符号，单独的常数也是多项式的项；②多项式的次数是多项式内次数最高的项的次数，只需找到最高次项的次数即可，无需累加所有项的次数。
【解析】
(1)逐个分析各单项式：
①$30a$：数字因数为30，仅含字母$a$，指数为1，故系数30，次数1；
②$-x^3$：数字因数为-1，仅含字母$x$，指数为3，故系数-1，次数3；
③$y$：数字因数为1，仅含字母$y$，指数为1，故系数1，次数1；
④$ab^2c^3$：数字因数为1，含字母$a、b、c$，指数和为$1+2+3=6$，故系数1，次数6；
⑤$\frac{-3xy^3}{4}$：数字因数为$-\frac{3}{4}$，含字母$x、y$，指数和为$1+3=4$，故系数$-\frac{3}{4}$，次数4；
⑥$π r^2$：$π$是常数，数字因数为$π$，仅含字母$r$，指数为2，故系数$π$，次数2。
(2)逐个分析各多项式：
①$-5x^2+6x-1$：由单项式$-5x^2、6x、-1$组成，最高次项为$-5x^2$，次数为2，故项为$-5x^2,6x,-1$，次数为2；
②$x^2y^2-2x^3-1$：由单项式$x^2y^2、-2x^3、-1$组成，最高次项为$x^2y^2$，次数为$2+2=4$，故项为$x^2y^2,-2x^3,-1$，次数为4；
③$\frac{π - xy^2}{3}$可变形为$\frac{π}{3}-\frac{1}{3}xy^2$，由单项式$\frac{π}{3}、-\frac{1}{3}xy^2$组成，最高次项为$-\frac{1}{3}xy^2$，次数为$1+2=3$，故项为$\frac{π}{3},-\frac{1}{3}xy^2$，次数为3；
④$2^5 - x^2y - xy^3$：由单项式$2^5、-x^2y、-xy^3$组成，最高次项为$-xy^3$，次数为$1+3=4$，故项为$2^5,-x^2y,-xy^3$，次数为4。
【答案】
(1)
| 单项式 | $30a$ | $-x^3$ | $y$ | $ab^2c^3$ | $\frac{-3xy^3}{4}$ | $π r^2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | 30 | -1 | 1 | 1 | $-\frac{3}{4}$ | $π$ |
| 次数 | 1 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
(2)
| 多项式 | $-5x^2+6x-1$ | $x^2y^2-2x^3-1$ | $\frac{π - xy^2}{3}$ | $2^5 - x^2y - xy^3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 项 | $-5x^2,6x,-1$ | $x^2y^2,-2x^3,-1$ | $\frac{π}{3},-\frac{1}{3}xy^2$ | $2^5,-x^2y,-xy^3$ |
| 次数 | 2 | 4 | 3 | 4 |
【知识点】
单项式的相关概念，多项式的相关概念
【点评】
本题是整式的基础概念考查题，解题核心是准确理解单项式系数、次数及多项式项、次数的定义，需注意避开符号遗漏、将π当作字母、漏算省略的指数1等常见易错点。
【难度系数】
0.8

12. 已知关于 $ x $ 的整式$(|k| - 3)x^3 + (k - 3)x^2 - kx$。
(1)若此整式是单项式，求 $ k $ 的值；
(2)若此整式是二次多项式，求 $ k $ 的值。

12.解:(1)因为关于$x$的整式是单项式，
所以$|k|-3=0$且$k-3=0$,解得$k=3$,所以$k$的值是3.
(2)因为关于$x$的整式是二次多项式,所以$|k|-3=0$且$k-3≠0$,解得$k=-3$,
所以$k$的值是$-3$.

【分析】
（1）要使该整式为单项式，需满足整式中仅含一项，即除一项外其余项的系数均为0。观察整式结构，三次项、二次项系数需同时为0，仅剩余一次项即可满足单项式的要求，据此列条件求解k即可。
（2）要使该整式为二次多项式，需满足最高次项的次数为2，且多项式至少含两项。因此首先需让三次项系数为0消去三次项，再保证二次项系数不为0，使最高次为二次，据此列条件求解k即可。
【解析】
(1) 因为关于$x$的整式是单项式，所以三次项和二次项的系数都为0，可得：
$\begin{cases}|k| - 3 = 0 \\ k - 3 = 0\end{cases}$
解$|k| - 3 = 0$得$k = \pm 3$，解$k - 3 = 0$得$k = 3$，取公共解得$k = 3$。
(2) 因为关于$x$的整式是二次多项式，所以三次项系数为0，且二次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}|k| - 3 = 0 \\ k - 3 ≠ 0\end{cases}$
解$|k| - 3 = 0$得$k = \pm 3$，结合$k - 3 ≠ 0$排除$k = 3$，得$k = -3$。
【答案】
(1) $k=3$；(2) $k=-3$
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 多项式的次数
3. 绝对值运算
【点评】
本题考查整式相关概念的应用，解题的核心是紧扣单项式、二次多项式的定义，推导得出对应项系数需要满足的条件，解题时要注意不要忽略“多项式对应次数项系数不为0”的隐含限制，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.8

13.小明在抄写单项式时,把有的字母中的指数漏掉了,抄成了$-\dfrac{4}{5}xyz$,他只知道这个单项式是四次单项式,你能帮他写出这个单项式吗?这样的单项式有几个?不妨都写出来.

13.解:这个单项式可能是$-\dfrac{4}{5}x^2yz$或$-\dfrac{4}{5}xy^2z$或$-\dfrac{4}{5}xyz^2$.

【分析】
解题的核心依据是单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数。首先计算抄写的$-\dfrac{4}{5}xyz$中所有字母的指数和：x、y、z的指数均为1，和为3，已知原单项式是四次单项式，说明指数和还差1。由于字母的指数为正整数，因此只需将这多出来的1次分配给x、y、z中的任意一个字母即可，分三种情况讨论就能得到所有符合要求的单项式。
【解析】
解：根据单项式次数的定义，单项式的次数是所有字母的指数之和。
已知该单项式为四次单项式，包含x、y、z三个字母，抄写时三个字母的指数均按1计算，此时指数和为$1+1+1=3$，距离四次还差1。
将差的1次分配给其中一个字母，共3种情况：
① 给x的指数加1，得到单项式：$-\dfrac{4}{5}x^2yz$；
② 给y的指数加1，得到单项式：$-\dfrac{4}{5}xy^2z$；
③ 给z的指数加1，得到单项式：$-\dfrac{4}{5}xyz^2$。
综上，符合要求的单项式共有3个。
【答案】
这样的单项式有3个，分别是$-\dfrac{4}{5}x^2yz$、$-\dfrac{4}{5}xy^2z$、$-\dfrac{4}{5}xyz^2$。
【知识点】
单项式的次数；单项式的定义
【点评】
本题考查对单项式相关概念的理解与应用，解题时需要紧扣单项式次数的定义，通过分类讨论确定指数的分配方式，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8

14. 定义：$f(a,b)$是关于$a,b$的多项式，如果$f(a,b)=f(b,a)$，那么$f(a,b)$叫作“对称多项式”。例如，如果$f(a,b)=a^2+a+b+b^2$，那么$f(b,a)=b^2+b+a+a^2$，显然$f(a,b)=f(b,a)$，所以$f(a,b)$是“对称多项式”。
(1)试说明：$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”。
(2)请写出一个“对称多项式”，$f(a,b)=$。（不多于四项）
(3)如果$f_1(a,b)$和$f_2(a,b)$均为“对称多项式”，那么$f_1(a,b)+f_2(a,b)$一定是“对称多项式”吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举例说明。

14.(1)解:因为 $f(a,b)=a^2-2ab+b^2$,所以 $f(b,a)=b^2-2ba+a^2$,
显然 $f(a,b)=f(b,a)$,所以 $f(a,b)=a^2-2ab+b^2$ 是“对称多项式”.
(2)$a+b$(答案不唯一)
(3)解:不一定. 当 $f_1(a,b)=a+b,f_2(a,b)=-a-b$ 时,$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$,此时 $f_1(a,b)+f_2(a,b)$ 是单项式,不是多项式.

【分析】
(1) 判断是否为“对称多项式”需紧扣定义：先将多项式中a、b的位置互换得到f(b,a)，再对比f(a,b)与f(b,a)是否相等，相等则符合要求。
(2) 写对称多项式的核心是交换a、b的位置后式子不变，只要满足该条件且项数不超过四项即可，可优先写结构简单的多项式。
(3) 判断两个对称多项式的和是否一定是对称多项式，需注意对称多项式的前提是多项式，若二者相加的结果不是多项式（如单项式0），则不符合要求，可通过举反例的方式证明结论不一定成立。
【解析】
(1) 解：因为 $f(a,b)=a^2-2ab+b^2$，所以 $f(b,a)=b^2-2ba+a^2$，显然 $f(a,b)=f(b,a)$，所以 $f(a,b)=a^2-2ab+b^2$ 是“对称多项式”。
(2) 可写$f(a,b)=a+b$，交换a、b得$f(b,a)=b+a=a+b$，满足$f(a,b)=f(b,a)$，且项数符合要求（答案不唯一）。
(3) 解：不一定。 当 $f_1(a,b)=a+b,f_2(a,b)=-a-b$ 时，$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$，此时 $f_1(a,b)+f_2(a,b)$ 是单项式，不是多项式，因此不是对称多项式。
【答案】
(1) $f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”，理由见解析；
(2) $a+b$（答案不唯一）；
(3) 不一定，反例见解析。
【知识点】
新定义理解、整式的加减、多项式的概念
【点评】
本题以“对称多项式”的新定义为载体，考查对多项式概念的掌握和整式加减的应用，解题时需准确把握定义的要求，第三问需要注意特殊情况，避免惯性思维出错，兼顾基础和思维灵活性的考查。
【难度系数】
0.65