8. 如图,一块正方形铁皮的边长为$ a(a＞6) $,如果一边截去6,另一边截去5,所剩长方形铁皮的面积(阴影部分)可以表示为:
①$(a-6)(a-5)$;②$a^2 -5a -6(a-5)$;③$a^2 -6a -5(a-6)$;
④$a^2 -5a -6a +30$,其中正确的是(填编号)。

①②③④

我们逐一分析各个表达式：
1. 由图形可得，阴影部分长方形的长为$(a-5)$，宽为$(a-6)$，根据长方形面积公式，阴影面积可表示为$(a-6)(a-5)$，故①正确；
2. 原正方形总面积为$a^2$，先减去右侧长为$a$、宽为5的长方形面积$5a$，再减去下方长为$(a-5)$、宽为6的长方形面积$6(a-5)$，剩余部分就是阴影面积，即$a^2 -5a -6(a-5)$，展开后结果和$(a-6)(a-5)$相等，故②正确；
3. 原正方形总面积为$a^2$，先减去下方长为$a$、宽为6的长方形面积$6a$，再减去右侧长为$(a-6)$、宽为5的长方形面积$5(a-6)$，剩余部分就是阴影面积，即$a^2 -6a -5(a-6)$，展开后结果和$(a-6)(a-5)$相等，故③正确；
4. 将①的代数式展开：$(a-6)(a-5)=a^2-5a-6a+30$，和表达式④完全一致，故④正确。

9. 如果关于 $ x $ 的多项式 $ 2x^2 - 3x + m $ 与 $ 3x - 2 $ 的乘积不含 $ x $ 的一次项,求 $ m $ 的值,并写出这两个多项式的积。

m的值为-2，两个多项式的积为$6x^3 -13x^2 +4$

1. 先展开两个多项式的乘积并合并同类项：
$\begin{aligned}(2x^2-3x+m)(3x-2)&=2x^2·3x + 2x^2·(-2) -3x·3x -3x·(-2) + m·3x + m·(-2)\\&=6x^3 -4x^2 -9x^2 +6x +3mx -2m\\&=6x^3 -13x^2 + (6+3m)x -2m\end{aligned}$
2. 由乘积不含x的一次项，可知一次项系数为0，列方程：
$6+3m=0$
解得$m=-2$
3. 将$m=-2$代入展开后的式子，得到最终的乘积。

10. 用长为12米的木条做成一个长方形的窗框(中间有一横条,如图),设窗框的横条长度为x米。
(1) 用代数式表示窗框的面积S。
(2) 当x的值分别取1,2,3时,哪种情况做成的窗框的面积最大?

(1) $S=\frac{12x-3x^2}{2}$（或$S=-\frac{3}{2}x^2+6x$，单位：平方米）；(2) 当x的值取2时，做成的窗框的面积最大。

(1) 观察图形可知，水平方向共有3段长度为x米的木条，总长度为3x米，剩余木条用于制作窗框的两条竖直边，因此单条竖直边的长度为$\frac{12-3x}{2}$米。根据长方形面积公式“面积=长×宽”，即可列出表示窗框面积S的代数式。
(2) 分别将x=1、x=2、x=3代入面积代数式，计算出对应S的数值，再比较三个数值的大小：
当x=1时，$S=1×\frac{12-3×1}{2}=4.5$ 平方米
当x=2时，$S=2×\frac{12-3×2}{2}=6$ 平方米
当x=3时，$S=3×\frac{12-3×3}{2}=4.5$ 平方米
对比可得6＞4.5，因此x取2时窗框面积最大。

设$2^a=3,2^b=6,2^c=12$。现给出实数$a,b,c$三者之间的四个关系式:①$a+c=2b$;②$a+b=2c-3$;③$b+c=2a+3$;④$b^2-ac=1$。判断这四个关系式是否正确,并说明理由。

①②③④四个关系式均正确。

我们根据同底数幂的乘法法则$2^m · 2^n=2^{m+n}$、同底数幂的除法法则$2^m÷2^n=2^{m-n}$、幂的乘方法则$(2^m)^n=2^{mn}$，若两个以2为底的幂相等，则对应指数相等，逐一验证四个关系式：
1. 验证①$a+c=2b$：
$2^{a+c}=2^a · 2^c=3×12=36$，$2^{2b}=(2^b)^2=6^2=36$，即$2^{a+c}=2^{2b}$，因此$a+c=2b$，①正确。
2. 验证②$a+b=2c-3$：
$2^{a+b}=2^a · 2^b=3×6=18$，$2^{2c-3}=(2^c)^2÷2^3=12^2÷8=144÷8=18$，即$2^{a+b}=2^{2c-3}$，因此$a+b=2c-3$，②正确。
3. 验证③$b+c=2a+3$：
$2^{b+c}=2^b · 2^c=6×12=72$，$2^{2a+3}=(2^a)^2×2^3=3^2×8=9×8=72$，即$2^{b+c}=2^{2a+3}$，因此$b+c=2a+3$，③正确。
4. 验证④$b^2-ac=1$：
由已知可得$2^b=6=2×3=2×2^a=2^{a+1}$，因此$b=a+1$；$2^c=12=4×3=2^2×2^a=2^{a+2}$，因此$c=a+2$。代入得：
$b^2-ac=(a+1)^2 - a(a+2)=a^2+2a+1 -a^2-2a=1$，因此$b^2-ac=1$，④正确。