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1. 下列运算正确的是()。
A.$x^{3}· y^{3}=x^{6}$
B.$(m^{2})^{3}=m^{5}$
C.$2x^{-2}=\dfrac{1}{2x^{2}}$
D.$(-a)^{6}÷ (-a)^{3}=-a^{3}$
A.$x^{3}· y^{3}=x^{6}$
B.$(m^{2})^{3}=m^{5}$
C.$2x^{-2}=\dfrac{1}{2x^{2}}$
D.$(-a)^{6}÷ (-a)^{3}=-a^{3}$
答案
D
解析
我们逐个验证选项：
1. 选项A：根据单项式乘法法则，$x^3·y^3=x^3y^3≠x^6$，运算错误。
2. 选项B：根据幂的乘方法则，$(m^2)^3=m^{2×3}=m^6≠m^5$，运算错误。
3. 选项C：根据负整数指数幂的定义，$2x^{-2}=\frac{2}{x^2}≠\frac{1}{2x^2}$，运算错误。
4. 选项D：根据同底数幂的除法法则，$(-a)^6÷(-a)^3=(-a)^{6-3}=(-a)^3=-a^3$，运算正确。
1. 选项A：根据单项式乘法法则，$x^3·y^3=x^3y^3≠x^6$，运算错误。
2. 选项B：根据幂的乘方法则，$(m^2)^3=m^{2×3}=m^6≠m^5$，运算错误。
3. 选项C：根据负整数指数幂的定义，$2x^{-2}=\frac{2}{x^2}≠\frac{1}{2x^2}$，运算错误。
4. 选项D：根据同底数幂的除法法则，$(-a)^6÷(-a)^3=(-a)^{6-3}=(-a)^3=-a^3$，运算正确。
2. 下列计算正确的是()。
A.$(-2)^{3}(-2)^{5}=-2^{8}$
B.$-5^{3}(-5)^{4}=-5^{7}$
C.$(-3)^{4}(-3^{2})^{3}=-3^{10}$
D.$(-3^{2})(-3^{3})^{2}=-3^{7}$
A.$(-2)^{3}(-2)^{5}=-2^{8}$
B.$-5^{3}(-5)^{4}=-5^{7}$
C.$(-3)^{4}(-3^{2})^{3}=-3^{10}$
D.$(-3^{2})(-3^{3})^{2}=-3^{7}$
答案
BC
解析
根据七年级所学同底数幂相乘法则$a^m · a^n = a^{m+n}$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$逐一验证：
1. 选项A：$(-2)^3 · (-2)^5 = (-2)^{3+5}=(-2)^8=2^8 ≠ -2^8$，计算错误。
2. 选项B：$-5^3 · (-5)^4 = (-5)^3 · (-5)^4 = (-5)^{3+4}=(-5)^7=-5^7$，计算正确。
3. 选项C：$(-3)^4 · (-3^2)^3 = 3^4 · (-1)^3 · (3^2)^3 = 3^4 · (-3^6) = -3^{4+6}=-3^{10}$，计算正确。
4. 选项D：$(-3^2) · (-3^3)^2 = -3^2 · 3^6 = -3^{2+6}=-3^8 ≠ -3^7$，计算错误。
1. 选项A：$(-2)^3 · (-2)^5 = (-2)^{3+5}=(-2)^8=2^8 ≠ -2^8$，计算错误。
2. 选项B：$-5^3 · (-5)^4 = (-5)^3 · (-5)^4 = (-5)^{3+4}=(-5)^7=-5^7$，计算正确。
3. 选项C：$(-3)^4 · (-3^2)^3 = 3^4 · (-1)^3 · (3^2)^3 = 3^4 · (-3^6) = -3^{4+6}=-3^{10}$，计算正确。
4. 选项D：$(-3^2) · (-3^3)^2 = -3^2 · 3^6 = -3^{2+6}=-3^8 ≠ -3^7$，计算错误。
3. 纳米是一个长度单位，1纳米等于1米的十亿分之一。已知某花粉的直径约为35000纳米，用科学记数法表示此种花粉的直径是米。
答案
$3.5×10^{-5}$
解析
首先根据题意推导单位换算关系：1纳米是1米的十亿分之一，即1纳米 = $\frac{1}{10^9}$米 = $1×10^{-9}$米。
接着计算35000纳米对应的米数：
35000纳米 = $35000×10^{-9}$米，将35000改写为科学记数法形式为$3.5×10^4$，代入后计算得：
$3.5×10^4 × 10^{-9} = 3.5×10^{-5}$米。
接着计算35000纳米对应的米数：
35000纳米 = $35000×10^{-9}$米，将35000改写为科学记数法形式为$3.5×10^4$，代入后计算得：
$3.5×10^4 × 10^{-9} = 3.5×10^{-5}$米。
4. 如果$ a=2^{-2},b=-2^{2},c=2^{0},d=-2^{-2} $，则$ a,b,c,d $的大小关系是。
答案
$c＞a＞d＞b$
解析
我们先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算出a、b、c、d的具体数值，再比较大小：
1. 计算a的值：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$a=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=0.25$
2. 计算b的值：$b=-2^2=-4$
3. 计算c的值：根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，可得$c=2^0=1$
4. 计算d的值：$d=-2^{-2}=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}=-0.25$
将四个数排序可得：$1＞0.25＞-0.25＞-4$，即$c＞a＞d＞b$
1. 计算a的值：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$a=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=0.25$
2. 计算b的值：$b=-2^2=-4$
3. 计算c的值：根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，可得$c=2^0=1$
4. 计算d的值：$d=-2^{-2}=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}=-0.25$
将四个数排序可得：$1＞0.25＞-0.25＞-4$，即$c＞a＞d＞b$
5. 计算：$a^2+3a^2=\_\_\_\_\_\_$；$-(-2a^2)^4=\_\_\_\_\_\_$；
$3x^3·(-\dfrac{1}{9}x^2)=\_\_\_\_\_\_$；$(-6x^6)÷(-2x^2)=\_\_\_\_\_\_$。
$3x^3·(-\dfrac{1}{9}x^2)=\_\_\_\_\_\_$；$(-6x^6)÷(-2x^2)=\_\_\_\_\_\_$。
答案
$4a^2$；$-16a^8$；$-\dfrac{1}{3}x^5$；$3x^4$
解析
我们根据整式的相关运算法则逐一计算：
1. 合并同类项：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此$a^2+3a^2=(1+3)a^2=4a^2$；
2. 积的乘方运算：先计算乘方，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$-(-2a^2)^4=-[(-2)^4· (a^2)^4]=-16a^8$；
3. 单项式乘单项式运算：系数相乘，同底数幂相乘，底数不变指数相加，因此$3x^3·(-\dfrac{1}{9}x^2)=3×(-\dfrac{1}{9})· x^{3+2}=-\dfrac{1}{3}x^5$；
4. 单项式除以单项式运算：系数相除，同底数幂相除，底数不变指数相减，因此$(-6x^6)÷(-2x^2)=(-6)÷(-2)· x^{6-2}=3x^4$。
1. 合并同类项：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此$a^2+3a^2=(1+3)a^2=4a^2$；
2. 积的乘方运算：先计算乘方，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$-(-2a^2)^4=-[(-2)^4· (a^2)^4]=-16a^8$；
3. 单项式乘单项式运算：系数相乘，同底数幂相乘，底数不变指数相加，因此$3x^3·(-\dfrac{1}{9}x^2)=3×(-\dfrac{1}{9})· x^{3+2}=-\dfrac{1}{3}x^5$；
4. 单项式除以单项式运算：系数相除，同底数幂相除，底数不变指数相减，因此$(-6x^6)÷(-2x^2)=(-6)÷(-2)· x^{6-2}=3x^4$。
6. 若$a＞0$，且$a^x=2,a^y=3$，则$a^{x-y}$的值为()。
A.$-1$
B.$1$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{2}$
A.$-1$
B.$1$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{2}$
答案
C
解析
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^{x-y}=a^x ÷ a^y$。将$a^x=2$，$a^y=3$代入式子，计算得$a^{x-y}=2÷3=\dfrac{2}{3}$。
7. 计算：
(1) $(2x^3y)^2 · (-2xy) + (-2x^3y)^3 ÷ (2x^2)$；
(2) $(2x-1)(x+3)$；
(3) $(6m^2n - 6m^2n^2 - 3m^2) ÷ (-3m^2)$；
(4) $(x+1)(x^2 - 2x + 3)$；
(5) $(a^2 + 3)(a - 2) - a(a^2 - 2a - 2)$。
(1) $(2x^3y)^2 · (-2xy) + (-2x^3y)^3 ÷ (2x^2)$；
(2) $(2x-1)(x+3)$；
(3) $(6m^2n - 6m^2n^2 - 3m^2) ÷ (-3m^2)$；
(4) $(x+1)(x^2 - 2x + 3)$；
(5) $(a^2 + 3)(a - 2) - a(a^2 - 2a - 2)$。
答案
(1) $-12x^7y^3$；(2) $2x^2+5x-3$；(3) $2n^2-2n+1$；(4) $x^3-x^2+x+3$；(5) $5a-6$
解析
(1) 先根据积的乘方法则计算乘方，再按单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则运算，最后合并同类项：
原式=$4x^6y^2·(-2xy) + (-8x^9y^3)÷(2x^2)$
=$-8x^7y^3 -4x^7y^3$
=$-12x^7y^3$
(2) 根据多项式乘多项式的分配律展开，再合并同类项：
原式=$2x·x + 2x·3 -1·x -1·3$
=$2x^2+6x -x -3$
=$2x^2+5x-3$
(3) 根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加：
原式=$6m^2n÷(-3m^2) -6m^2n^2÷(-3m^2) -3m^2÷(-3m^2)$
=$-2n + 2n^2 +1$
=$2n^2-2n+1$
(4) 用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，展开后合并同类项：
原式=$x·(x^2-2x+3) +1·(x^2-2x+3)$
=$x^3-2x^2+3x +x^2-2x+3$
=$x^3 -x^2 +x +3$
(5) 先分别展开两个乘积项，再去括号、合并同类项：
原式=$a^3-2a^2+3a-6 - (a^3-2a^2-2a)$
=$a^3-2a^2+3a-6 -a^3+2a^2+2a$
=$5a-6$
原式=$4x^6y^2·(-2xy) + (-8x^9y^3)÷(2x^2)$
=$-8x^7y^3 -4x^7y^3$
=$-12x^7y^3$
(2) 根据多项式乘多项式的分配律展开，再合并同类项：
原式=$2x·x + 2x·3 -1·x -1·3$
=$2x^2+6x -x -3$
=$2x^2+5x-3$
(3) 根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加：
原式=$6m^2n÷(-3m^2) -6m^2n^2÷(-3m^2) -3m^2÷(-3m^2)$
=$-2n + 2n^2 +1$
=$2n^2-2n+1$
(4) 用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，展开后合并同类项：
原式=$x·(x^2-2x+3) +1·(x^2-2x+3)$
=$x^3-2x^2+3x +x^2-2x+3$
=$x^3 -x^2 +x +3$
(5) 先分别展开两个乘积项，再去括号、合并同类项：
原式=$a^3-2a^2+3a-6 - (a^3-2a^2-2a)$
=$a^3-2a^2+3a-6 -a^3+2a^2+2a$
=$5a-6$
