1. 运算结果为$m^2-9n^2$的算式是()。

A.$(m-3n)(3n-m)$
B.$(-m-3n)(3n-m)$
C.$(-3n+m)(-m-3n)$
D.$(m-9n)(9n-m)$

B

利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$分别计算各选项：
A. 原式$=-(m-3n)^2=-m^2+6mn-9n^2$，不符合要求；
B. 原式$=(-m-3n)(-m+3n)=(-m)^2-(3n)^2=m^2-9n^2$，符合要求；
C. 原式$=(-3n+m)(-3n-m)=(-3n)^2-m^2=9n^2-m^2$，不符合要求；
D. 原式$=-(m-9n)^2=-m^2+18mn-81n^2$，不符合要求。

2. 下列等式中不成立的是()。

A.$(3x-y)^2=9x^2-6xy+y^2$
B.$(a+b-c)^2=(c-a-b)^2$
C.$(\dfrac{1}{2}m-n)^2=\dfrac{1}{4}m^2-mn+n^2$
D.$(x^2-y^2)^2=x^4-y^4$

D

根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$逐一验证：
1. 验证A选项：$(3x-y)^2=(3x)^2-2·3x· y+y^2=9x^2-6xy+y^2$，等式成立。
2. 验证B选项：$(c-a-b)^2=[-(a+b-c)]^2=(a+b-c)^2$，等式成立。
3. 验证C选项：$(\frac{1}{2}m-n)^2=(\frac{1}{2}m)^2-2·\frac{1}{2}m· n +n^2=\frac{1}{4}m^2-mn+n^2$，等式成立。
4. 验证D选项：$(x^2-y^2)^2=(x^2)^2-2· x^2· y^2+(y^2)^2=x^4-2x^2y^2+y^4≠ x^4-y^4$，等式不成立。

3. 已知$\frac{1}{4}x^2 - 5axy + \frac{25}{9}y^2$是一个完全平方式，则$a=$（）。

A.$\frac{1}{6}$
B.$\pm\frac{1}{6}$
C.$\pm\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

C

根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，先确定原式中两个平方项的底数：$\frac{1}{4}x^2=(\frac{1}{2}x)^2$，$\frac{25}{9}y^2=(\frac{5}{3}y)^2$。因此该完全平方式的中间项应为$\pm2·\frac{1}{2}x·\frac{5}{3}y=\pm\frac{5}{3}xy$，将其与原式中间项$-5axy$对比，可得$-5a=\pm\frac{5}{3}$，解得$a=\pm\frac{1}{3}$。

4. 若$ x + y = 2, xy = -2 $，则$ (1 - x)(1 - y) $的值是（）。

A.$-1$
B.$1$
C.$5$
D.$-3$

D

先将多项式展开化简：
$(1-x)(1-y)=1 - x - y + xy = 1 - (x+y) + xy$
把已知条件$x+y=2$，$xy=-2$代入化简后的式子：
原式$=1 - 2 + (-2) = -3$

5. 当 $ s = t + \frac{1}{2} $ 时, 代数式 $ s^2 - 2st + t^2 $ 的值为 $\underline{\hspace{5cm}}$。

$\frac{1}{4}$

首先利用完全平方差公式对代数式因式分解，可得：$s^2 - 2st + t^2=(s-t)^2$。
已知$s = t + \frac{1}{2}$，将等式移项可得$s - t = \frac{1}{2}$。
把$s-t=\frac{1}{2}$代入化简后的式子，计算得：$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。

6. 计算:
(1) $ a(a+3)^2 $;
(2) $ (x-2y)(x+2y)-(x+2y)^2 $。

(1) $a^3+6a^2+9a$；(2) $-4xy-8y^2$

(1) 先根据完全平方公式展开$(a+3)^2$，再按照单项式乘多项式的法则计算：
① 由完全平方公式：$(a+3)^2=a^2+6a+9$
② 计算单项式乘多项式：$a(a^2+6a+9)=a^3+6a^2+9a$
(2) 先分别用平方差公式、完全平方公式展开两个运算部分，再去括号合并同类项：
① 由平方差公式：$(x-2y)(x+2y)=x^2-(2y)^2=x^2-4y^2$
② 由完全平方公式：$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$
③ 代入原式化简：
原式$=x^2-4y^2-(x^2+4xy+4y^2)=x^2-4y^2-x^2-4xy-4y^2=-4xy-8y^2$

7. 简便方法计算:
(1) $98×100 - 99^2$;
(2) $99^2 + 198 + 1$;
(3) $(-\dfrac{4}{3})^{2023} · (-0.75)^{2024}$。

(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{10000}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{3}{4}}$

我们利用七年级所学的平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、积的乘方逆运算$a^n· b^n=(ab)^n$进行简便计算：
(1) 将98改写为$99-1$，100改写为$99+1$：
原式$=(99-1)×(99+1) - 99^2$
$=99^2 - 1 - 99^2$
$=-1$
(2) 观察可得$198=2×99×1$，符合完全平方公式形式：
原式$=99^2 + 2×99×1 + 1^2$
$=(99+1)^2$
$=100^2$
$=10000$
(3) 先把$-0.75$转化为$-\dfrac{3}{4}$，再把指数2024拆为$2023+1$，逆用积的乘方公式：
原式$=(-\dfrac{4}{3})^{2023} × (-\dfrac{3}{4})^{2023} × (-\dfrac{3}{4})$
$=[(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{3}{4})]^{2023} × (-\dfrac{3}{4})$
$=1^{2023} × (-\dfrac{3}{4})$
$=-\dfrac{3}{4}$

8. 如图,从边长为$(a+4)\mathrm{cm}$的正方形纸片中剪去一个边长为$(a+1)\mathrm{cm}$的正方形$(a＞0)$,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠且无缝隙),则矩形的面积为$(\quad)\mathrm{cm}^2$。

A.$2a^2+5a$
B.$6a+15$
C.$6a+9$
D.$3a+15$

B

矩形的面积等于原大正方形的面积减去剪去的小正方形的面积：
$\begin{aligned}S&=(a+4)^2-(a+1)^2\\&=(a^2+8a+16)-(a^2+2a+1)\\&=a^2+8a+16-a^2-2a-1\\&=6a+15\end{aligned}$