登录
9. 记$ x=(1+2)(1+2^{2})(1+2^{4})(1+2^{8})···(1+2^{256}) $，则$ x+1 $是（）。
A.一个奇数
B.一个质数
C.一个整数的平方
D.一个整数的立方
A.一个奇数
B.一个质数
C.一个整数的平方
D.一个整数的立方
答案
C
解析
利用七年级所学平方差公式化简计算：
1. 因为2-1=1，给x的表达式乘(2-1)不改变原式值：
x=(2-1)(1+2)(1+2²)(1+2⁴)…(1+2²⁵⁶)
2. 逐步套用平方差公式(a-b)(a+b)=a²-b²化简：
=(2²-1)(1+2²)(1+2⁴)…(1+2²⁵⁶)
=(2⁴-1)(1+2⁴)…(1+2²⁵⁶)
……
最终化简得x=2⁵¹² - 1
3. 因此x+1=2⁵¹²=(2²⁵⁶)²，是整数2²⁵⁶的平方。
逐一判断选项：x+1是偶数，不是奇数也不是质数，512不是3的倍数，不是整数的立方，仅C符合要求。
1. 因为2-1=1，给x的表达式乘(2-1)不改变原式值：
x=(2-1)(1+2)(1+2²)(1+2⁴)…(1+2²⁵⁶)
2. 逐步套用平方差公式(a-b)(a+b)=a²-b²化简：
=(2²-1)(1+2²)(1+2⁴)…(1+2²⁵⁶)
=(2⁴-1)(1+2⁴)…(1+2²⁵⁶)
……
最终化简得x=2⁵¹² - 1
3. 因此x+1=2⁵¹²=(2²⁵⁶)²，是整数2²⁵⁶的平方。
逐一判断选项：x+1是偶数，不是奇数也不是质数，512不是3的倍数，不是整数的立方，仅C符合要求。
10. (1) 已知 $x=\sqrt{3}+1$ , 求 $x^2-2x-3$ 的值。
(2) 已知 $a^2+b^2=15$ , $a-b=3$ , 求下列各式的值:
① $ab$；
② $(a+b)^2-5ab$。
(2) 已知 $a^2+b^2=15$ , $a-b=3$ , 求下列各式的值:
① $ab$；
② $(a+b)^2-5ab$。
答案
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) ① $\boldsymbol{3}$；② $\boldsymbol{6}$
解析
(1) 先对已知条件变形，由$x=\sqrt{3}+1$可得$x-1=\sqrt{3}$，将等式两边同时平方：
$(x-1)^2=(\sqrt{3})^2$，展开得$x^2-2x+1=3$，整理得$x^2-2x=2$。
将$x^2-2x=2$代入待求式$x^2-2x-3$，计算得原式$=2-3=-1$。
(2) ① 对$a-b=3$两边同时平方，根据完全平方公式展开得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=9$，
已知$a^2+b^2=15$，将其代入上式得：$15-2ab=9$，
移项计算得$2ab=6$，因此$ab=3$。
② 根据完全平方公式展开待求式：
$(a+b)^2-5ab=a^2+2ab+b^2-5ab=a^2+b^2-3ab$，
将$a^2+b^2=15$、$ab=3$代入上式，得原式$=15-3×3=6$。
$(x-1)^2=(\sqrt{3})^2$，展开得$x^2-2x+1=3$，整理得$x^2-2x=2$。
将$x^2-2x=2$代入待求式$x^2-2x-3$，计算得原式$=2-3=-1$。
(2) ① 对$a-b=3$两边同时平方，根据完全平方公式展开得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=9$，
已知$a^2+b^2=15$，将其代入上式得：$15-2ab=9$，
移项计算得$2ab=6$，因此$ab=3$。
② 根据完全平方公式展开待求式：
$(a+b)^2-5ab=a^2+2ab+b^2-5ab=a^2+b^2-3ab$，
将$a^2+b^2=15$、$ab=3$代入上式，得原式$=15-3×3=6$。
11. 利用我们学过的知识,可以导出下面这个形式优美的等式:$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$。该等式从左到右的变形,不仅保持了结构的对称性,还体现了数学的和谐、简洁美。
（1）请你验证这个等式的正确性。
（2）若$a=2020,b=2022,c=2024$,你能很快求出$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值吗？
（1）请你验证这个等式的正确性。
（2）若$a=2020,b=2022,c=2024$,你能很快求出$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值吗？
答案
（1）等式验证成立；（2）12
解析
（1）验证等式正确性，对等式右侧的式子展开化简：
右边 = $\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
根据完全平方公式展开各项：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(b-c)^2=b^2-2bc+c^2$，$(c-a)^2=c^2-2ac+a^2$
代入后合并同类项：
右边 = $\frac{1}{2}[a^2-2ab+b^2 + b^2-2bc+c^2 + c^2-2ac+a^2]$
= $\frac{1}{2}[2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac]$
约分后得：$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$，和等式左边完全相等，因此该等式成立。
（2）将$a=2020,b=2022,c=2024$代入变形后的等式右侧计算：
先求差值：$a-b=2020-2022=-2$，$b-c=2022-2024=-2$，$c-a=2024-2020=4$
代入得：
原式 = $\frac{1}{2}[(-2)^2 + (-2)^2 + 4^2] = \frac{1}{2}×(4+4+16) = 12$
右边 = $\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
根据完全平方公式展开各项：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(b-c)^2=b^2-2bc+c^2$，$(c-a)^2=c^2-2ac+a^2$
代入后合并同类项：
右边 = $\frac{1}{2}[a^2-2ab+b^2 + b^2-2bc+c^2 + c^2-2ac+a^2]$
= $\frac{1}{2}[2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac]$
约分后得：$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$，和等式左边完全相等，因此该等式成立。
（2）将$a=2020,b=2022,c=2024$代入变形后的等式右侧计算：
先求差值：$a-b=2020-2022=-2$，$b-c=2022-2024=-2$，$c-a=2024-2020=4$
代入得：
原式 = $\frac{1}{2}[(-2)^2 + (-2)^2 + 4^2] = \frac{1}{2}×(4+4+16) = 12$
李刚同学在计算$12^2$和$89^2$时，探究“两位数的平方”有无简捷的计算方法，他经过探索并用计算器验证，再用数学知识解释，得出“两位数的平方”可用“竖式计算法”进行计算，如右下图。
计算$12^2$时，第一行的“01”和“04”分别是十位数和个位数的平方，各占两个位置，其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”，再把它们并排排列；第二行的“04”为十位数与个位数积的2倍，占两个位置，其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”，再把它们按竖式相加就得到了$12^2=144$。
计算$89^2$时，其中第一行的“64”和“81”分别是十位数和个位数的平方，各占两个位置，再把它们并排排列；第二行的“144”为十位数和个位数积的2倍，再把它们按竖式相加就得到了$89^2=7921$。
（1）请用上述方法计算$75^2$和$68^2$（写出“竖式计算”过程）；
（2）请你用数学知识解释这种“两位数平方的竖式计算法”的合理性。
计算$12^2$时，第一行的“01”和“04”分别是十位数和个位数的平方，各占两个位置，其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”，再把它们并排排列；第二行的“04”为十位数与个位数积的2倍，占两个位置，其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”，再把它们按竖式相加就得到了$12^2=144$。
计算$89^2$时，其中第一行的“64”和“81”分别是十位数和个位数的平方，各占两个位置，再把它们并排排列；第二行的“144”为十位数和个位数积的2倍，再把它们按竖式相加就得到了$89^2=7921$。
（1）请用上述方法计算$75^2$和$68^2$（写出“竖式计算”过程）；
（2）请你用数学知识解释这种“两位数平方的竖式计算法”的合理性。
答案
（1）$75^2=5625$，$68^2=4624$，竖式计算过程见解析；
（2）该方法的合理性可通过完全平方公式$(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2$解释，符合整式乘法运算规则。
（2）该方法的合理性可通过完全平方公式$(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2$解释，符合整式乘法运算规则。
解析
（1）按照题目给出的两位数平方竖式计算规则计算：
① 计算$75^2$：
十位数7的平方为49，个位数5的平方为25，并排排列得到第一行4925；十位数与个位数乘积的2倍为$2×7×5=70$，将其末位对齐第一行的十位数字作为第二行，竖式相加过程如下：
$\begin{aligned}75^2&=5625\\&\quad4925\\&\underline{+\quad70}\\&\quad5625\end{aligned}$
② 计算$68^2$：
十位数6的平方为36，个位数8的平方为64，并排排列得到第一行3664；十位数与个位数乘积的2倍为$2×6×8=96$，将其末位对齐第一行的十位数字作为第二行，竖式相加过程如下：
$\begin{aligned}68^2&=4624\\&\quad3664\\&\underline{+\quad96}\\&\quad4624\end{aligned}$
（2）设任意两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则这个两位数可表示为$10a+b$，根据七年级所学的完全平方公式：
$(10a+b)^2=100a^2 + 20ab + b^2$
其中$100a^2 + b^2$就是将$a^2$、$b^2$各占两位并排排列得到的数，$20ab$等价于将$2ab$整体左移一位（末位补0），对应竖式中第二行的数错位相加的操作，因此该竖式计算法完全符合完全平方公式的运算规则，是合理的。
① 计算$75^2$：
十位数7的平方为49，个位数5的平方为25，并排排列得到第一行4925；十位数与个位数乘积的2倍为$2×7×5=70$，将其末位对齐第一行的十位数字作为第二行，竖式相加过程如下：
$\begin{aligned}75^2&=5625\\&\quad4925\\&\underline{+\quad70}\\&\quad5625\end{aligned}$
② 计算$68^2$：
十位数6的平方为36，个位数8的平方为64，并排排列得到第一行3664；十位数与个位数乘积的2倍为$2×6×8=96$，将其末位对齐第一行的十位数字作为第二行，竖式相加过程如下：
$\begin{aligned}68^2&=4624\\&\quad3664\\&\underline{+\quad96}\\&\quad4624\end{aligned}$
（2）设任意两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则这个两位数可表示为$10a+b$，根据七年级所学的完全平方公式：
$(10a+b)^2=100a^2 + 20ab + b^2$
其中$100a^2 + b^2$就是将$a^2$、$b^2$各占两位并排排列得到的数，$20ab$等价于将$2ab$整体左移一位（末位补0），对应竖式中第二行的数错位相加的操作，因此该竖式计算法完全符合完全平方公式的运算规则，是合理的。
