1. 下列从左到右的变形是因式分解的是()。

A.$(x-3)(x+4)=x^2+x-12$
B.$x^2-10x+25=(x-5)^2$
C.$(x+7)(x-7)=x^2-49$
D.$4a^2-b^2+10a-5b=(2a+b)(2a-b)+5(2a-b)$

B

根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断：
1. 选项A：左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
2. 选项B：将多项式$x^2-10x+25$转化为整式$(x-5)$的平方，也就是两个整式的积的形式，符合因式分解的定义；
3. 选项C：左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
4. 选项D：变形后右侧是两个乘积项相加的形式，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解。
综上只有B符合要求。

2. 用提公因式法分解因式时,从多项式$9x^2y - 36xy^2 + 3xy$中提出的公因式是________。

3xy

确定多项式公因式的步骤如下：
1. 取各项系数的最大公约数：该多项式各项系数为9、-36、3，它们的最大公约数是3；
2. 取各项共有的相同字母，且相同字母取次数最低的幂：各项都含有字母x和y，x的最低次数为1，y的最低次数为1。
综上可得该多项式的公因式是3xy。

3. 下列因式分解正确的是()。

A.$x^4 - 8x^2 + 16 = (x - 4)^2$
B.$-x^2 + x - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}(2x - 1)^2$
C.$a(x - y) - b(y - x) = (x - y)(a - b)$
D.$a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a - b)(a + b)$

D

逐个验证选项：
1. 验证A：左边$x^4 -8x^2 +16=(x^2-4)^2=(x+2)^2(x-2)^2$，和右边$(x-4)^2$不相等，A错误。
2. 验证B：左边$-x^2 +x -\frac{1}{4}=-(x^2 -x +\frac{1}{4})=-(x-\frac{1}{2})^2$，右边$\frac{1}{4}(2x-1)^2=x^2 -x +\frac{1}{4}$，左右符号不符，B错误。
3. 验证C：$a(x-y)-b(y-x)=a(x-y)+b(x-y)=(x-y)(a+b)$，和右边$(x-y)(a-b)$不相等，C错误。
4. 验证D：$a^4 -b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a-b)(a+b)$，分解正确。

4. 已知代数式$3x^2 - 4x + 6$的值为9，则$x^2 - \frac{4}{3}x + 6$的值为()。

A.18
B.12
C.9
D.7

D

已知$3x^2 - 4x + 6 = 9$，移项可得$3x^2 - 4x = 9 - 6 = 3$，等式两边同时除以3，得到$x^2 - \frac{4}{3}x = 1$，将其代入所求代数式，可得$x^2 - \frac{4}{3}x + 6 = 1 + 6 = 7$。

5. 已知$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 0$，则$x^3 - 2y$的值为________。

27

先对已知等式左边因式分解，利用完全平方公式变形可得：$(x-3)^2 + y^2 = 0$。根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，两个非负数的和为0时，两个非负数各自为0，因此可得$x-3=0$，$y=0$，解得$x=3$，$y=0$。将$x=3$、$y=0$代入$x^3 - 2y$计算：$3^3 - 2×0 = 27$。

6. 分解因式：
(1) $-10x^{3}y^{2}z^{3}-35xy^{3}z+15x^{2}yz$；
(2) $6a^{3}-54a$；
(3) $2x^{3}-8x^{2}y+8xy^{2}$；
(4) $(3x+y)^{2}-(x-3y)^{2}$；
(5) $x^{4}-1$。

(1) $-5xyz(2x^2yz^2+7y^2-3x)$
(2) $6a(a+3)(a-3)$
(3) $2x(x-2y)^2$
(4) $4(2x-y)(x+2y)$
(5) $(x^2+1)(x+1)(x-1)$

本题考查因式分解，遵循先提取公因式，再利用公式法（平方差公式、完全平方公式）分解，最终分解到所有因式都不能再分解为止的规则：
(1) 先确定各项公因式为$-5xyz$，提取公因式后整理剩余部分即可；
(2) 先提取公因式$6a$，剩余部分符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，继续分解；
(3) 先提取公因式$2x$，剩余部分符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，继续分解；
(4) 将$3x+y$和$x-3y$看作整体，先用平方差公式展开，再合并同类项、提取公因式化简；
(5) 两次使用平方差公式逐步分解，直到所有因式都无法继续分解。

7. 给出三个多项式$X=2a^2+3ab+b^2,Y=3a^2+3ab,Z=a^2+ab$,请你任选两个进行加(或减)法运算,再将结果分解因式。

答案不唯一，任选符合要求的运算即可，例如选取$X-Z$运算，最终分解因式结果为$(a+b)^2$。

本题属于开放型题目，可任选两个多项式做加法或减法运算，先通过合并同类项化简整式，再结合提公因式法、乘法公式进行因式分解，以下给出3种典型运算示例：
示例1：选择运算$Y - X$
计算化简：$Y - X = (3a^2+3ab) - (2a^2+3ab+b^2) = 3a^2+3ab-2a^2-3ab-b^2 = a^2 - b^2$
因式分解：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
示例2：选择运算$X - Z$
计算化简：$X - Z = (2a^2+3ab+b^2) - (a^2+ab) = 2a^2+3ab+b^2 -a^2 -ab = a^2+2ab+b^2$
因式分解：$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$
示例3：选择运算$Y + Z$
计算化简：$Y + Z = (3a^2+3ab) + (a^2+ab) = 4a^2+4ab$
因式分解：$4a^2+4ab = 4a(a+b)$