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1. 用适当的方法解下列方程：
(1)$2(x+1)^{2}=72$；
(2)$4y^{2}-8y+1=0$；
(3)$2x^{2}-\sqrt{3}x-2=0$；
(4)$2(x-3)^{2}=x^{2}-9$；
(5)$9(x-1)^{2}=(2x+3)^{2}$.
(1)$2(x+1)^{2}=72$；
(2)$4y^{2}-8y+1=0$；
(3)$2x^{2}-\sqrt{3}x-2=0$；
(4)$2(x-3)^{2}=x^{2}-9$；
(5)$9(x-1)^{2}=(2x+3)^{2}$.
答案
(1)$x_1=5,x_2=-7$.
(2)$y_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$.
(3)$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{19}}{4},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}$.
(4)$x_1=3,x_2=9$.
(5)$x_1=0,x_2=6$.
(2)$y_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$.
(3)$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{19}}{4},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}$.
(4)$x_1=3,x_2=9$.
(5)$x_1=0,x_2=6$.
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程的结构特点选择合适的方法：(1)适合直接开平方法；(2)可选用配方法或公式法；(3)系数不适合因式分解，用公式法；(4)移项后可因式分解；(5)适合直接开平方法或平方差因式分解。解题时需注意步骤的规范性，确保计算准确。
【解析】
(1) 对$2(x+1)^2=72$，两边同除以2得：$(x+1)^2=36$，开平方得：$x+1=\pm6$，解得$x_1=5$，$x_2=-7$；
(2) 对$4y^2-8y+1=0$，配方得：$y^2-2y=-\frac{1}{4}$，$y^2-2y+1=1-\frac{1}{4}$，即$(y-1)^2=\frac{3}{4}$，开平方得：$y-1=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$y_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，$y_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$；
(3) 对$2x^2-\sqrt{3}x-2=0$，用公式法：$a=2$，$b=-\sqrt{3}$，$c=-2$，判别式$\Delta=(-\sqrt{3})^2-4×2×(-2)=3+16=19$，则$x=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{19}}{2×2}$，解得$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{19}}{4}$，$x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}$；
(4) 对$2(x-3)^2=x^2-9$，移项得：$2(x-3)^2-(x^2-9)=0$，因式分解得：$2(x-3)^2-(x-3)(x+3)=0$，提公因式$(x-3)$得：$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$，化简得$(x-3)(x-9)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=9$；
(5) 对$9(x-1)^2=(2x+3)^2$，开平方得：$3(x-1)=\pm(2x+3)$，分两种情况：
① $3(x-1)=2x+3$，解得$x=6$；
② $3(x-1)=-(2x+3)$，解得$x=0$；
故$x_1=0$，$x_2=6$。
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=-7$；(2)$y_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$；(3)$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{19}}{4},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}$；(4)$x_1=3,x_2=9$；(5)$x_1=0,x_2=6$
【知识点】
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）
【点评】
本题为一元二次方程的基础解法题，涵盖四种常用解法，需根据方程特征选方法，解题时要注意移项、因式分解的符号处理，避免计算错误，是巩固一元二次方程解法的典型题目。
【难度系数】
0.6
解一元二次方程需根据方程的结构特点选择合适的方法：(1)适合直接开平方法；(2)可选用配方法或公式法；(3)系数不适合因式分解，用公式法；(4)移项后可因式分解；(5)适合直接开平方法或平方差因式分解。解题时需注意步骤的规范性，确保计算准确。
【解析】
(1) 对$2(x+1)^2=72$，两边同除以2得：$(x+1)^2=36$，开平方得：$x+1=\pm6$，解得$x_1=5$，$x_2=-7$；
(2) 对$4y^2-8y+1=0$，配方得：$y^2-2y=-\frac{1}{4}$，$y^2-2y+1=1-\frac{1}{4}$，即$(y-1)^2=\frac{3}{4}$，开平方得：$y-1=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$y_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，$y_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$；
(3) 对$2x^2-\sqrt{3}x-2=0$，用公式法：$a=2$，$b=-\sqrt{3}$，$c=-2$，判别式$\Delta=(-\sqrt{3})^2-4×2×(-2)=3+16=19$，则$x=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{19}}{2×2}$，解得$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{19}}{4}$，$x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}$；
(4) 对$2(x-3)^2=x^2-9$，移项得：$2(x-3)^2-(x^2-9)=0$，因式分解得：$2(x-3)^2-(x-3)(x+3)=0$，提公因式$(x-3)$得：$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$，化简得$(x-3)(x-9)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=9$；
(5) 对$9(x-1)^2=(2x+3)^2$，开平方得：$3(x-1)=\pm(2x+3)$，分两种情况：
① $3(x-1)=2x+3$，解得$x=6$；
② $3(x-1)=-(2x+3)$，解得$x=0$；
故$x_1=0$，$x_2=6$。
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=-7$；(2)$y_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$；(3)$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{19}}{4},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}$；(4)$x_1=3,x_2=9$；(5)$x_1=0,x_2=6$
【知识点】
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）
【点评】
本题为一元二次方程的基础解法题，涵盖四种常用解法，需根据方程特征选方法，解题时要注意移项、因式分解的符号处理，避免计算错误，是巩固一元二次方程解法的典型题目。
【难度系数】
0.6
2. 阅读下列材料: 为解方程 $x^{4}-x^{2}-6=0$, 可将方程变形为 $(x^{2})^{2}-x^{2}-6=0$, 然后设 $x^{2}=y$, 则 $(x^{2})^{2}=y^{2}$, 原方程化为 $y^{2}-y-6=0$ ①, 解①得 $y_{1}=-2,y_{2}=3$. 当 $y_{1}=-2$ 时, $x^{2}=-2$ 无意义,舍去; 当 $y_{2}=3$ 时, $x^{2}=3$, 解得 $x=\pm\sqrt{3},\therefore$ 原方程的解为 $x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3}$.
上面这种方法称为“换元法”, 把其中某些部分看成一个整体, 并用新字母代替(即换元), 则能使复杂的问题转化成简单的问题.
利用以上学习到的方法解下列方程:
(1) $81x^{2}-9x-1=0$;
(2) $(x^{2}-2x)^{2}-5x^{2}+10x+6=0$;
(3) $3x^{2}+15x+2\sqrt{x^{2}+5x+1}=2$.
上面这种方法称为“换元法”, 把其中某些部分看成一个整体, 并用新字母代替(即换元), 则能使复杂的问题转化成简单的问题.
利用以上学习到的方法解下列方程:
(1) $81x^{2}-9x-1=0$;
(2) $(x^{2}-2x)^{2}-5x^{2}+10x+6=0$;
(3) $3x^{2}+15x+2\sqrt{x^{2}+5x+1}=2$.
答案
(1)设 $y = 9x$,得 $y^2 - y - 1 = 0$,解得 $y = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$,$\therefore x_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{18}$,$x_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{18}$.
(2)设 $y=x^2-2x$,得 $y^2-5y+6=0$,解得 $y_1=2,y_2=3$. 当 $y_1=2$ 时,$x^2-2x=2$, 解得 $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$; 当 $y_2=3$ 时,$x^2-2x=3$,解得 $x_3=3,x_4=-1$,$\therefore$ 原方程的解为 $x_1=1+\sqrt{3}$,$x_2=1-\sqrt{3},x_3=3,x_4=-1$.
(3)设 $\sqrt{x^2+5x+1}=y$,则方程可变成 $3y^2+2y-5=0$,$\therefore (3y+5)(y-1)=0$,$y_1=-\frac{5}{3},y_2=1$. 当 $y_1=-\frac{5}{3}$ 时, $\sqrt{x^2+5x+1}=-\frac{5}{3}$,无解. 当 $y_2=1$ 时, $\sqrt{x^2+5x+1}=1$,$\therefore x^2+5x=0$,$\therefore x_1=0,x_2=-5$. 经检验 $x_1=0,x_2=-5$ 是原方程的解.
(2)设 $y=x^2-2x$,得 $y^2-5y+6=0$,解得 $y_1=2,y_2=3$. 当 $y_1=2$ 时,$x^2-2x=2$, 解得 $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$; 当 $y_2=3$ 时,$x^2-2x=3$,解得 $x_3=3,x_4=-1$,$\therefore$ 原方程的解为 $x_1=1+\sqrt{3}$,$x_2=1-\sqrt{3},x_3=3,x_4=-1$.
(3)设 $\sqrt{x^2+5x+1}=y$,则方程可变成 $3y^2+2y-5=0$,$\therefore (3y+5)(y-1)=0$,$y_1=-\frac{5}{3},y_2=1$. 当 $y_1=-\frac{5}{3}$ 时, $\sqrt{x^2+5x+1}=-\frac{5}{3}$,无解. 当 $y_2=1$ 时, $\sqrt{x^2+5x+1}=1$,$\therefore x^2+5x=0$,$\therefore x_1=0,x_2=-5$. 经检验 $x_1=0,x_2=-5$ 是原方程的解.
解析
【分析】
本题运用换元法解复杂方程，核心是将方程中重复出现的整体部分用新变量替换，把高次方程、含根号的方程转化为熟悉的一元二次方程求解；解出新变量后需回代求原未知数，同时要注意新变量的取值范围（如根号下非负、平方数非负），最后检验解是否符合原方程。
【解析】
(1) 观察方程$81x^2 -9x -1=0$，其中$81x^2=(9x)^2$，设$y=9x$，则原方程化为$y^2 - y -1=0$。用求根公式解得：$y=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。回代$y=9x$，得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2×9}$，即$x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{18}$，$x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{18}$。
(2) 方程$(x^2-2x)^2 -5x^2 +10x +6=0$中，$-5x^2+10x=-5(x^2-2x)$，设$y=x^2-2x$，则原方程化为$y^2 -5y +6=0$。因式分解得$(y-2)(y-3)=0$，解得$y_1=2$，$y_2=3$。
当$y=2$时，$x^2-2x=2$，即$x^2-2x-2=0$，解得$x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt{3}$；
当$y=3$时，$x^2-2x=3$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$，$x=-1$；
综上，原方程的解为$x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$，$x_3=3$，$x_4=-1$。
(3) 方程$3x^2+15x +2\sqrt{x^2+5x+1}=2$中，设$y=\sqrt{x^2+5x+1}$，则$x^2+5x=y^2-1$，代入原方程得：$3(y^2-1)+2y=2$，整理得$3y^2+2y-5=0$。因式分解得$(3y+5)(y-1)=0$，解得$y_1=-\frac{5}{3}$，$y_2=1$。
因为根号的结果非负，所以$y=-\frac{5}{3}$舍去；当$y=1$时，$\sqrt{x^2+5x+1}=1$，两边平方得$x^2+5x+1=1$，即$x^2+5x=0$，解得$x=0$或$x=-5$。经检验，$x=0$和$x=-5$均满足原方程，是原方程的解。
【答案】
(1) $x_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{18}$，$x_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{18}$；
(2) $x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$，$x_3=3$，$x_4=-1$；
(3) $x_1=0$，$x_2=-5$。
【知识点】
换元法解高次方程、换元法解无理方程、一元二次方程的解法
【点评】
本题通过三个不同类型的方程，重点考查换元法的应用，将复杂方程转化为一元二次方程，体现了转化的数学思想；解题时需注意新变量的取值范围（如根号的非负性），避免产生增根，最后要检验解的合理性，是初中数学中解方程的重要方法。
【难度系数】
0.6
本题运用换元法解复杂方程，核心是将方程中重复出现的整体部分用新变量替换，把高次方程、含根号的方程转化为熟悉的一元二次方程求解；解出新变量后需回代求原未知数，同时要注意新变量的取值范围（如根号下非负、平方数非负），最后检验解是否符合原方程。
【解析】
(1) 观察方程$81x^2 -9x -1=0$，其中$81x^2=(9x)^2$，设$y=9x$，则原方程化为$y^2 - y -1=0$。用求根公式解得：$y=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。回代$y=9x$，得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2×9}$，即$x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{18}$，$x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{18}$。
(2) 方程$(x^2-2x)^2 -5x^2 +10x +6=0$中，$-5x^2+10x=-5(x^2-2x)$，设$y=x^2-2x$，则原方程化为$y^2 -5y +6=0$。因式分解得$(y-2)(y-3)=0$，解得$y_1=2$，$y_2=3$。
当$y=2$时，$x^2-2x=2$，即$x^2-2x-2=0$，解得$x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt{3}$；
当$y=3$时，$x^2-2x=3$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$，$x=-1$；
综上，原方程的解为$x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$，$x_3=3$，$x_4=-1$。
(3) 方程$3x^2+15x +2\sqrt{x^2+5x+1}=2$中，设$y=\sqrt{x^2+5x+1}$，则$x^2+5x=y^2-1$，代入原方程得：$3(y^2-1)+2y=2$，整理得$3y^2+2y-5=0$。因式分解得$(3y+5)(y-1)=0$，解得$y_1=-\frac{5}{3}$，$y_2=1$。
因为根号的结果非负，所以$y=-\frac{5}{3}$舍去；当$y=1$时，$\sqrt{x^2+5x+1}=1$，两边平方得$x^2+5x+1=1$，即$x^2+5x=0$，解得$x=0$或$x=-5$。经检验，$x=0$和$x=-5$均满足原方程，是原方程的解。
【答案】
(1) $x_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{18}$，$x_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{18}$；
(2) $x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$，$x_3=3$，$x_4=-1$；
(3) $x_1=0$，$x_2=-5$。
【知识点】
换元法解高次方程、换元法解无理方程、一元二次方程的解法
【点评】
本题通过三个不同类型的方程，重点考查换元法的应用，将复杂方程转化为一元二次方程，体现了转化的数学思想；解题时需注意新变量的取值范围（如根号的非负性），避免产生增根，最后要检验解的合理性，是初中数学中解方程的重要方法。
【难度系数】
0.6
3. 若四个连续正整数的积为360,则这四个数中的最小数为多少？
答案
设最小数为 $x$,则 $x(x+1)(x+2)(x+3)=360$,即 $(x^2+3x)·(x^2+3x+2)=360$,设 $x^2+3x=y$,则 $y^2+2y-360=0$,$\therefore y_1=18$,$y_2=-20$.$\because x$ 为正整数,$\therefore y=x^2+3x=18$,$\therefore x_1=3,x_2=-6＜0$(舍去),$\therefore$ 这四个正整数为 3,4,5,6,最小数为 3.
解析
【分析】要解决四个连续正整数的积为360求最小数的问题，首先设最小正整数为$x$，表示出其余三个连续数，列出乘积方程；观察方程结构，通过分组变形发现可转化为关于$x^2+3x$的式子，采用换元法将高次方程降为二次方程，解出换元后的未知数后，再根据$x$为正整数的条件舍去不合理解，最终得到答案。
【解析】设这四个连续正整数中的最小数为$x$（$x$为正整数），则其余三个数分别为$x+1$、$x+2$、$x+3$，根据题意得：
$x(x+1)(x+2)(x+3)=360$
将式子分组整理：
$[x(x+3)]·[(x+1)(x+2)] = 360$
展开得：
$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) = 360$
设$x^2 + 3x = y$，则原方程转化为：
$y(y + 2) = 360$
整理为一元二次方程标准形式：
$y^2 + 2y - 360 = 0$
解方程，判别式$\Delta = 2^2 - 4×1×(-360) = 1444 = 38^2$，得：
$y = \frac{-2 ± 38}{2}$
解得$y_1 = 18$，$y_2 = -20$
因为$x$为正整数，所以$x^2 + 3x = y$必为正整数，舍去$y_2=-20$，取$y=18$，即：
$x^2 + 3x = 18$
整理得：
$x^2 + 3x - 18 = 0$
解方程，判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(-18) = 81 = 9^2$，得：
$x = \frac{-3 ± 9}{2}$
解得$x_1=3$，$x_2=-6$（舍去，不符合正整数要求）
因此这四个连续正整数为3、4、5、6，最小数为3。
【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用、换元法解一元二次方程
【点评】本题通过换元法将四次方程降次为二次方程，简化了计算，是解决连续数乘积问题的常用技巧，需注意根据未知数的取值范围舍去不合理解。
【难度系数】0.5
【解析】设这四个连续正整数中的最小数为$x$（$x$为正整数），则其余三个数分别为$x+1$、$x+2$、$x+3$，根据题意得：
$x(x+1)(x+2)(x+3)=360$
将式子分组整理：
$[x(x+3)]·[(x+1)(x+2)] = 360$
展开得：
$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) = 360$
设$x^2 + 3x = y$，则原方程转化为：
$y(y + 2) = 360$
整理为一元二次方程标准形式：
$y^2 + 2y - 360 = 0$
解方程，判别式$\Delta = 2^2 - 4×1×(-360) = 1444 = 38^2$，得：
$y = \frac{-2 ± 38}{2}$
解得$y_1 = 18$，$y_2 = -20$
因为$x$为正整数，所以$x^2 + 3x = y$必为正整数，舍去$y_2=-20$，取$y=18$，即：
$x^2 + 3x = 18$
整理得：
$x^2 + 3x - 18 = 0$
解方程，判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(-18) = 81 = 9^2$，得：
$x = \frac{-3 ± 9}{2}$
解得$x_1=3$，$x_2=-6$（舍去，不符合正整数要求）
因此这四个连续正整数为3、4、5、6，最小数为3。
【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用、换元法解一元二次方程
【点评】本题通过换元法将四次方程降次为二次方程，简化了计算，是解决连续数乘积问题的常用技巧，需注意根据未知数的取值范围舍去不合理解。
【难度系数】0.5
