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12. (2024·泰安中考)如图所示是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续摆下去,第
12
个“小屋子”中图形“○”的个数是图形“●”个数的3倍.答案
12. 12 解析:由所给图形可知,第 1 个“小屋子”中图形“○”的个数为 1,“●”的个数为 $4=1×2+2$;第 2 个“小屋子”中图形“○”的个数为 $3=1+2$,“●”的个数为 $6=2×2+2$;第 3 个“小屋子”中图形“○”的个数为 $6=1+2+3$,“●”的个数为 $8=3×2+2······\therefore$ 第 $n$ 个“小屋子”中图形“○”的个数为 $1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$,“●”的个数为 $2n+2$.由题知$\dfrac{n(n+1)}{2}=3(2n+2)$,解得 $n_1=-1$,$n_2=12$,又 $n$ 为正整数,则 $n=12$,即第 12 个“小屋子”中图形“○”的个数是图形“●”个数的 3 倍.
解析
【分析】要解决该问题，需先观察图形，分别总结出第n个“小屋子”中“○”和“●”的数量变化规律，再根据“○的个数是●个数的3倍”的条件列出方程，求解得到符合要求的n值。首先逐个分析前几个图形中两种图形的数量，推导通用表达式，再解方程，注意n为正整数，舍去不合理解。
【解析】
1. 推导“○”的数量规律：
第1个“小屋子”中“○”的个数为1；
第2个“小屋子”中“○”的个数为$1+2=3$；
第3个“小屋子”中“○”的个数为$1+2+3=6$；
……
由此可得，第n个“小屋子”中“○”的个数为：$\frac{n(n+1)}{2}$。
2. 推导“●”的数量规律：
第1个“小屋子”中“●”的个数为$4=2×1+2$；
第2个“小屋子”中“●”的个数为$6=2×2+2$；
第3个“小屋子”中“●”的个数为$8=2×3+2$；
……
由此可得，第n个“小屋子”中“●”的个数为：$2n+2$。
3. 列方程求解：
根据题意，“○”的个数是“●”个数的3倍，因此：
$\frac{n(n+1)}{2}=3(2n+2)$
整理方程：
$n(n+1)=6(2n+2)$
$n^2 +n =12n +12$
$n^2 -11n -12=0$
因式分解得$(n-12)(n+1)=0$，解得$n_1=12$，$n_2=-1$。
因为n为正整数，舍去$n=-1$，故$n=12$。
【答案】12
【知识点】找规律，一元二次方程的应用
【点评】本题是图形规律与方程结合的中考题型，核心是准确观察图形总结数量规律，再根据等量关系建立方程，需注意解的实际意义（n为正整数），难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 推导“○”的数量规律：
第1个“小屋子”中“○”的个数为1；
第2个“小屋子”中“○”的个数为$1+2=3$；
第3个“小屋子”中“○”的个数为$1+2+3=6$；
……
由此可得，第n个“小屋子”中“○”的个数为：$\frac{n(n+1)}{2}$。
2. 推导“●”的数量规律：
第1个“小屋子”中“●”的个数为$4=2×1+2$；
第2个“小屋子”中“●”的个数为$6=2×2+2$；
第3个“小屋子”中“●”的个数为$8=2×3+2$；
……
由此可得，第n个“小屋子”中“●”的个数为：$2n+2$。
3. 列方程求解：
根据题意，“○”的个数是“●”个数的3倍，因此：
$\frac{n(n+1)}{2}=3(2n+2)$
整理方程：
$n(n+1)=6(2n+2)$
$n^2 +n =12n +12$
$n^2 -11n -12=0$
因式分解得$(n-12)(n+1)=0$，解得$n_1=12$，$n_2=-1$。
因为n为正整数，舍去$n=-1$，故$n=12$。
【答案】12
【知识点】找规律，一元二次方程的应用
【点评】本题是图形规律与方程结合的中考题型，核心是准确观察图形总结数量规律，再根据等量关系建立方程，需注意解的实际意义（n为正整数），难度适中。
【难度系数】0.5
13. 新趋势 过程性学习 (2025·南阳期中)利用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新方程.
例如:形如 $x+\sqrt{x-1}=3$ 这种根号内含有未知数的方程,我们称之为无理方程.
解法如下:
移项,得$\sqrt{x-1}=3-x$.
两边同时平方,得 $x-1=9-6x+x^2$,即 $x^2-7x+$$10=0$,解这个一元二次方程,得 $x_1=2,x_2=5$.
【任务】
(1)小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解;小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程,还应考虑$\sqrt{x-1}$的双重非负性.请写出你所认为的材料中无理方程正确的解.
(2)解下列方程: ① $x^3-4x=0$; ② $1-$$\sqrt{3x^2+1}=3x$.
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例如:形如 $x+\sqrt{x-1}=3$ 这种根号内含有未知数的方程,我们称之为无理方程.
解法如下:
移项,得$\sqrt{x-1}=3-x$.
两边同时平方,得 $x-1=9-6x+x^2$,即 $x^2-7x+$$10=0$,解这个一元二次方程,得 $x_1=2,x_2=5$.
【任务】
(1)小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解;小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程,还应考虑$\sqrt{x-1}$的双重非负性.请写出你所认为的材料中无理方程正确的解.
(2)解下列方程: ① $x^3-4x=0$; ② $1-$$\sqrt{3x^2+1}=3x$.
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答案
13. (1)对于 $\sqrt{x-1}$ 而言,有 $\sqrt{x-1}\ge0$ 且 $x-1\ge0$,即 $x\ge1$.又$\because \sqrt{x-1}=3-x$,$\therefore 3-x\ge0$,$\therefore x\le3$,$\therefore 1\le x\le3$,只有$x_1=2$ 符合条件,$x_2=5$ 不符合条件,故这个方程的解为$x=2$.
(2)①$x^3-4x=0$,$x(x^2-4)=0$,$x(x+2)(x-2)=0$,$\therefore x=0$ 或$x+2=0$ 或 $x-2=0$,$\therefore x_1=0$,$x_2=-2$,$x_3=2$.
②$1-\sqrt{3x^2+1}=3x$,移项,得 $1-3x=\sqrt{3x^2+1}$,两边平方,得$(1-3x)^2=3x^2+1$,整理后,得 $x^2-x=0$,解这个一元二次方程,得 $x_1=0$,$x_2=1$,将 $x=0$ 代入 $1-\sqrt{3x^2+1}=3x$,可得左边$=1-\sqrt{0+1}=0$,左边=右边,方程成立,符合题意;将 $x=1$ 代入 $1-\sqrt{3x^2+1}=3x$,可得左边$=1-\sqrt{3+1}=-1$,右边$=3$,左边$\ne$右边,不符合题意,舍去.综上,$x=0$.
(2)①$x^3-4x=0$,$x(x^2-4)=0$,$x(x+2)(x-2)=0$,$\therefore x=0$ 或$x+2=0$ 或 $x-2=0$,$\therefore x_1=0$,$x_2=-2$,$x_3=2$.
②$1-\sqrt{3x^2+1}=3x$,移项,得 $1-3x=\sqrt{3x^2+1}$,两边平方,得$(1-3x)^2=3x^2+1$,整理后,得 $x^2-x=0$,解这个一元二次方程,得 $x_1=0$,$x_2=1$,将 $x=0$ 代入 $1-\sqrt{3x^2+1}=3x$,可得左边$=1-\sqrt{0+1}=0$,左边=右边,方程成立,符合题意;将 $x=1$ 代入 $1-\sqrt{3x^2+1}=3x$,可得左边$=1-\sqrt{3+1}=-1$,右边$=3$,左边$\ne$右边,不符合题意,舍去.综上,$x=0$.
解析
【分析】本题考查利用转化思想解方程，对于无理方程，需将其转化为整式方程求解，但要牢记根号的双重非负性（被开方数≥0，根号结果≥0），因此解出整式方程的根后必须验根，排除增根；对于高次方程，可通过因式分解转化为低次方程求解，若涉及根号同样需验根。
【解析】
(1) 对于无理方程$\sqrt{x-1}$，根据双重非负性，需满足：被开方数$x-1≥0$，即$x≥1$；同时$\sqrt{x-1}=3-x$，根号结果非负，故$3-x≥0$，即$x≤3$。因此$x$的取值范围是$1≤ x≤3$。之前解出的根$x_1=2$和$x_2=5$中，$x=5$不满足$1≤ x≤3$，舍去，故原方程的解为$x=2$。
(2) ① 对$x^3-4x=0$，先因式分解：提取公因式$x$得$x(x^2-4)=0$，再利用平方差公式分解得$x(x+2)(x-2)=0$，则$x=0$或$x+2=0$或$x-2=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，$x_3=2$。
② 对$1-\sqrt{3x^2+1}=3x$，移项得$1-3x=\sqrt{3x^2+1}$，两边平方得$(1-3x)^2=3x^2+1$，展开整理得$x^2-x=0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。验根：将$x=0$代入原方程，左边$=1-\sqrt{0+1}=0$，右边$=0$，等式成立；将$x=1$代入原方程，左边$=1-\sqrt{3+1}=-1$，右边$=3$，等式不成立，舍去。故方程的解为$x=0$。
【答案】
(1) $x=2$；
(2) ① $x_1=0$，$x_2=-2$，$x_3=2$；② $x=0$
【知识点】无理方程的解法、因式分解法解高次方程、验根
【点评】本题通过转化思想将无理方程、高次方程转化为整式方程求解，核心是无理方程解的验根（利用根号的非负性排除增根），既考查方程解法，又培养严谨解题习惯，符合过程性学习要求。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 对于无理方程$\sqrt{x-1}$，根据双重非负性，需满足：被开方数$x-1≥0$，即$x≥1$；同时$\sqrt{x-1}=3-x$，根号结果非负，故$3-x≥0$，即$x≤3$。因此$x$的取值范围是$1≤ x≤3$。之前解出的根$x_1=2$和$x_2=5$中，$x=5$不满足$1≤ x≤3$，舍去，故原方程的解为$x=2$。
(2) ① 对$x^3-4x=0$，先因式分解：提取公因式$x$得$x(x^2-4)=0$，再利用平方差公式分解得$x(x+2)(x-2)=0$，则$x=0$或$x+2=0$或$x-2=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，$x_3=2$。
② 对$1-\sqrt{3x^2+1}=3x$，移项得$1-3x=\sqrt{3x^2+1}$，两边平方得$(1-3x)^2=3x^2+1$，展开整理得$x^2-x=0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。验根：将$x=0$代入原方程，左边$=1-\sqrt{0+1}=0$，右边$=0$，等式成立；将$x=1$代入原方程，左边$=1-\sqrt{3+1}=-1$，右边$=3$，等式不成立，舍去。故方程的解为$x=0$。
【答案】
(1) $x=2$；
(2) ① $x_1=0$，$x_2=-2$，$x_3=2$；② $x=0$
【知识点】无理方程的解法、因式分解法解高次方程、验根
【点评】本题通过转化思想将无理方程、高次方程转化为整式方程求解，核心是无理方程解的验根（利用根号的非负性排除增根），既考查方程解法，又培养严谨解题习惯，符合过程性学习要求。
【难度系数】0.6
14. (2025·滨州中考) 两个非零实数 $m,n$ 满足 $m^2+\sqrt{3}n=5,n^2+$ $\sqrt{3}m=5$, 且 $m≠ n$, 则 $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m}=$
$-\dfrac{7}{2}$
.答案
14. $-\dfrac{7}{2}$ 解析:由题意可知,$m^2+\sqrt{3}n=5$,$n^2+\sqrt{3}m=5$,将两式相减得 $m^2+\sqrt{3}n-(n^2+\sqrt{3}m)=m^2+\sqrt{3}n-n^2-\sqrt{3}m=(m-n)(m+n)-\sqrt{3}(m-n)=(m-n)(m+n-\sqrt{3})=0$.$\because m\ne n$,$\therefore m-n\ne0$,$\therefore m+n-\sqrt{3}=0$,$\therefore m+n=\sqrt{3}$,将两式相加得 $m^2+\sqrt{3}n+(n^2+\sqrt{3}m)=m^2+n^2+\sqrt{3}(m+n)=10$,$\therefore m^2+n^2+\sqrt{3}×\sqrt{3}=10$,$\therefore m^2+n^2=7$,$\therefore (m+n)^2=m^2+2mn+n^2$,$\therefore (\sqrt{3})^2=7+2mn$,解得 $mn=-2$,$\therefore \dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m}=\dfrac{m^2+n^2}{mn}=-\dfrac{7}{2}$.
解析
【分析】首先观察已知的两个等式，它们的右边均为5，因此可通过两式相减构造含m、n的因式，结合m≠n的条件推导m+n的值；再通过两式相加，代入已得的m+n值求出m²+n²；最后利用完全平方公式求出mn，将目标式通分后代入m²+n²与mn的值即可计算结果。
【解析】
已知两个等式：
① $ m^2 + \sqrt{3}n =5 $
② $ n^2 + \sqrt{3}m =5 $
步骤1：求$ m+n $的值
将① - ②，得：
$ m^2 + \sqrt{3}n - (n^2 + \sqrt{3}m) = 0 $
整理得：$ m^2 -n^2 - \sqrt{3}(m -n) =0 $
因式分解：$ (m-n)(m+n) - \sqrt{3}(m-n) =0 $
提取公因式$ (m-n) $：$ (m-n)(m+n - \sqrt{3}) =0 $
因为$ m≠n $，所以$ m-n≠0 $，因此$ m+n - \sqrt{3}=0 $，即$ m+n=\sqrt{3} $。
步骤2：求$ m^2 +n^2 $的值
将① + ②，得：
$ m^2 + \sqrt{3}n +n^2 + \sqrt{3}m =10 $
整理得：$ m^2 +n^2 + \sqrt{3}(m+n)=10 $
代入$ m+n=\sqrt{3} $，得：
$ m^2 +n^2 + \sqrt{3}×\sqrt{3}=10 $
即$ m^2 +n^2 +3=10 $，解得$ m^2 +n^2=7 $。
步骤3：求$ mn $的值
根据完全平方公式$ (m+n)^2 =m^2 +2mn +n^2 $，代入$ m+n=\sqrt{3} $、$ m^2 +n^2=7 $：
$ (\sqrt{3})^2 =7 +2mn $
即$ 3=7+2mn $，解得$ mn=-2 $。
步骤4：计算目标式
对$ \frac{m}{n} + \frac{n}{m} $通分：
$ \frac{m}{n} + \frac{n}{m} = \frac{m^2 +n^2}{mn} $
代入$ m^2 +n^2=7 $、$ mn=-2 $，得：
$ \frac{7}{-2}= -\frac{7}{2} $。
【答案】$-\dfrac{7}{2}$
【知识点】因式分解、完全平方公式、代数式求值
【点评】本题通过对已知等式的加减变形，结合因式分解和整体代入思想，避免直接求解m、n的复杂过程，简化计算，关键在于灵活运用等式变形构造所需的整体量。
【难度系数】0.4
【解析】
已知两个等式：
① $ m^2 + \sqrt{3}n =5 $
② $ n^2 + \sqrt{3}m =5 $
步骤1：求$ m+n $的值
将① - ②，得：
$ m^2 + \sqrt{3}n - (n^2 + \sqrt{3}m) = 0 $
整理得：$ m^2 -n^2 - \sqrt{3}(m -n) =0 $
因式分解：$ (m-n)(m+n) - \sqrt{3}(m-n) =0 $
提取公因式$ (m-n) $：$ (m-n)(m+n - \sqrt{3}) =0 $
因为$ m≠n $，所以$ m-n≠0 $，因此$ m+n - \sqrt{3}=0 $，即$ m+n=\sqrt{3} $。
步骤2：求$ m^2 +n^2 $的值
将① + ②，得：
$ m^2 + \sqrt{3}n +n^2 + \sqrt{3}m =10 $
整理得：$ m^2 +n^2 + \sqrt{3}(m+n)=10 $
代入$ m+n=\sqrt{3} $，得：
$ m^2 +n^2 + \sqrt{3}×\sqrt{3}=10 $
即$ m^2 +n^2 +3=10 $，解得$ m^2 +n^2=7 $。
步骤3：求$ mn $的值
根据完全平方公式$ (m+n)^2 =m^2 +2mn +n^2 $，代入$ m+n=\sqrt{3} $、$ m^2 +n^2=7 $：
$ (\sqrt{3})^2 =7 +2mn $
即$ 3=7+2mn $，解得$ mn=-2 $。
步骤4：计算目标式
对$ \frac{m}{n} + \frac{n}{m} $通分：
$ \frac{m}{n} + \frac{n}{m} = \frac{m^2 +n^2}{mn} $
代入$ m^2 +n^2=7 $、$ mn=-2 $，得：
$ \frac{7}{-2}= -\frac{7}{2} $。
【答案】$-\dfrac{7}{2}$
【知识点】因式分解、完全平方公式、代数式求值
【点评】本题通过对已知等式的加减变形，结合因式分解和整体代入思想，避免直接求解m、n的复杂过程，简化计算，关键在于灵活运用等式变形构造所需的整体量。
【难度系数】0.4
15. 利用多项式的乘法法则,可以得到$(x+a)(x+$$b)=x^{2}+(a+b)x+ab$,反过来,则有$x^{2}+(a+$$b)x+ab=(x+a)(x+b)$.小丽受到启发,运用该方法解出了方程$x^{2}+5x+6=0$的解,小丽的解法如下:
$\because (x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6$,且$x^{2}+5x+6=0$,
$\therefore (x+2)(x+3)=0,\therefore x+2=0$或$x+3=0$,
$\therefore x=-2$或$x=-3$,
$\therefore$ 原方程的解为$x_{1}=-2,x_{2}=-3$.
应用上面小丽的方法解决下列问题:
(1)解关于 $x$ 的方程:$x+\dfrac{ab}{x}=a+b$($a,b$ 是常数,且都不为零)；
(2)若关于 $x$ 的方程$x-\dfrac{2k^{2}+5k+3}{x-4}=k+6$的两个解分别为$x_{1},x_{2}$(其中 $k＞0,x_{1}＞x_{2}$),请求$\dfrac{x_{1}-7}{x_{2}-3}$的值；
(3)已知$2x^{2}+8mx-7x+8m^{2}+6-14m=0$,$m$ 为常数,求 $x$ 的值.
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$\because (x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6$,且$x^{2}+5x+6=0$,
$\therefore (x+2)(x+3)=0,\therefore x+2=0$或$x+3=0$,
$\therefore x=-2$或$x=-3$,
$\therefore$ 原方程的解为$x_{1}=-2,x_{2}=-3$.
应用上面小丽的方法解决下列问题:
(1)解关于 $x$ 的方程:$x+\dfrac{ab}{x}=a+b$($a,b$ 是常数,且都不为零)；
(2)若关于 $x$ 的方程$x-\dfrac{2k^{2}+5k+3}{x-4}=k+6$的两个解分别为$x_{1},x_{2}$(其中 $k＞0,x_{1}＞x_{2}$),请求$\dfrac{x_{1}-7}{x_{2}-3}$的值；
(3)已知$2x^{2}+8mx-7x+8m^{2}+6-14m=0$,$m$ 为常数,求 $x$ 的值.
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答案
15. (1)$x+\dfrac{ab}{x}=a+b$,方程两边同乘 $x$,得 $x^2+ab=(a+b)x$,$\therefore x^2-(a+b)x+ab=0$.$\because (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$,$\therefore (x-a)(x-b)=0$,$\therefore x-a=0$ 或 $x-b=0$,$\therefore x=a$ 或 $x=b$,检验:$\because a,b$ 是常数,且都不为零,$\therefore$ 当 $x=a$ 或 $x=b$ 时,$x\ne0$,$\therefore$ 原方程的解为 $x_1=a$,$x_2=b$.
(2)$x-\dfrac{2k^2+5k+3}{x-4}=k+6$,方程两边同乘$(x-4)$,得 $x(x-4)-(2k^2+5k+3)=(k+6)(x-4)$,$\therefore x^2-(10+k)x-(2k^2+k-21)=0$,$\because [x-(3-k)]·[x-(2k+7)]=x^2-(10+k)x-(2k^2+k-21)$,$\therefore [x-(3-k)]·[x-(2k+7)]=0$,$\therefore x-(3-k)=0$ 或 $x-(2k+7)=0$,$\therefore x=3-k$ 或 $x=2k+7$,检验:当$x=3-k$ 或 $x=2k+7$ 时,$x-4\ne0$,$\because k＞0$,$\therefore 2k+7＞3-k$,$\therefore$ 原方程的解为 $x_1=2k+7$,$x_2=3-k$,$\therefore \dfrac{x_1-7}{x_2-3}=\dfrac{2k+7-7}{3-k-3}=\dfrac{2k}{-k}=-2$.
(3)$2x^2+8mx-7x+8m^2+6-14m=2(x^2+4mx+4m^2)-7x-14m+6=2(x+2m)^2-7(x+2m)+6=[2(x+2m)-3](x+2m-2)=(2x+4m-3)(x+2m-2)=0$,则 $2x+4m-3=0$ 或$x+2m-2=0$,得 $x=\dfrac{3}{2}-2m$ 或 $x=2-2m$.
(2)$x-\dfrac{2k^2+5k+3}{x-4}=k+6$,方程两边同乘$(x-4)$,得 $x(x-4)-(2k^2+5k+3)=(k+6)(x-4)$,$\therefore x^2-(10+k)x-(2k^2+k-21)=0$,$\because [x-(3-k)]·[x-(2k+7)]=x^2-(10+k)x-(2k^2+k-21)$,$\therefore [x-(3-k)]·[x-(2k+7)]=0$,$\therefore x-(3-k)=0$ 或 $x-(2k+7)=0$,$\therefore x=3-k$ 或 $x=2k+7$,检验:当$x=3-k$ 或 $x=2k+7$ 时,$x-4\ne0$,$\because k＞0$,$\therefore 2k+7＞3-k$,$\therefore$ 原方程的解为 $x_1=2k+7$,$x_2=3-k$,$\therefore \dfrac{x_1-7}{x_2-3}=\dfrac{2k+7-7}{3-k-3}=\dfrac{2k}{-k}=-2$.
(3)$2x^2+8mx-7x+8m^2+6-14m=2(x^2+4mx+4m^2)-7x-14m+6=2(x+2m)^2-7(x+2m)+6=[2(x+2m)-3](x+2m-2)=(2x+4m-3)(x+2m-2)=0$,则 $2x+4m-3=0$ 或$x+2m-2=0$,得 $x=\dfrac{3}{2}-2m$ 或 $x=2-2m$.
解析
【分析】
本题核心是利用多项式乘法的逆运算（十字相乘法：$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$）分解二次式，将高次方程转化为低次方程求解；分式方程需先去分母转化为整式方程，求解后要检验分母不为零；第三问通过分组、整体换元简化分解过程，体现转化思想。
【解析】
(1) 解分式方程 $x+\dfrac{ab}{x}=a+b$（$a,b≠0$）
方程两边同乘$x$去分母，得：
$x^2 + ab = (a+b)x$
整理为标准一元二次方程：
$x^2 - (a+b)x + ab = 0$
利用十字相乘法分解因式：
$\because (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab$
$\therefore (x-a)(x-b) = 0$
则 $x-a=0$ 或 $x-b=0$，解得 $x=a$ 或 $x=b$。
检验：$\because a,b$ 为非零常数，$\therefore x=a≠0$，$x=b≠0$，均满足原方程分母不为零，故原方程的解为 $x_1=a$，$x_2=b$。
(2) 解分式方程 $x-\dfrac{2k^2+5k+3}{x-4}=k+6$（$k＞0$）
方程两边同乘$(x-4)$去分母，得：
$x(x-4) - (2k^2+5k+3) = (k+6)(x-4)$
展开整理整式方程：
$x^2 - (10+k)x - (2k^2 +k -21) =0$
十字相乘法分解因式：
$\because [x-(3-k)]·[x-(2k+7)] = x^2 - (10+k)x - (2k^2 +k -21)$
$\therefore [x-(3-k)]·[x-(2k+7)] =0$
解得 $x=3-k$ 或 $x=2k+7$。
检验：$\because k＞0$，$\therefore x-4=3-k-4=-k-1≠0$，$x-4=2k+7-4=2k+3＞0$，均不为0，解有效。
又$k＞0$时$2k+7＞3-k$，故$x_1=2k+7$，$x_2=3-k$。
代入计算：
$\dfrac{x_1-7}{x_2-3} = \dfrac{2k+7-7}{3-k-3} = \dfrac{2k}{-k} = -2$。
(3) 解一元二次方程 $2x^2+8mx-7x+8m^2+6-14m=0$
分组变形，利用完全平方公式：
$2(x^2+4mx+4m^2) -7(x+2m) +6 =0$
令$t=x+2m$，方程转化为：
$2t^2 -7t +6 =0$
十字相乘法分解：
$(2t-3)(t-2)=0$
代回$t=x+2m$：
$[2(x+2m)-3]·(x+2m-2)=0$
展开得：
$(2x+4m-3)(x+2m-2)=0$
解得 $x=\dfrac{3}{2}-2m$ 或 $x=2-2m$。
【答案】
(1) $x_1=a$，$x_2=b$；
(2) $\dfrac{x_1-7}{x_2-3}=-2$；
(3) $x=\dfrac{3}{2}-2m$ 或 $x=2-2m$。
【知识点】
因式分解（十字相乘法）、分式方程解法、一元二次方程解法
【点评】
本题通过十字相乘法简化方程求解，体现转化思想，第三问用整体换元降低分解难度，需注意分式方程求解后的检验步骤，避免增根。
【难度系数】
0.5
本题核心是利用多项式乘法的逆运算（十字相乘法：$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$）分解二次式，将高次方程转化为低次方程求解；分式方程需先去分母转化为整式方程，求解后要检验分母不为零；第三问通过分组、整体换元简化分解过程，体现转化思想。
【解析】
(1) 解分式方程 $x+\dfrac{ab}{x}=a+b$（$a,b≠0$）
方程两边同乘$x$去分母，得：
$x^2 + ab = (a+b)x$
整理为标准一元二次方程：
$x^2 - (a+b)x + ab = 0$
利用十字相乘法分解因式：
$\because (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab$
$\therefore (x-a)(x-b) = 0$
则 $x-a=0$ 或 $x-b=0$，解得 $x=a$ 或 $x=b$。
检验：$\because a,b$ 为非零常数，$\therefore x=a≠0$，$x=b≠0$，均满足原方程分母不为零，故原方程的解为 $x_1=a$，$x_2=b$。
(2) 解分式方程 $x-\dfrac{2k^2+5k+3}{x-4}=k+6$（$k＞0$）
方程两边同乘$(x-4)$去分母，得：
$x(x-4) - (2k^2+5k+3) = (k+6)(x-4)$
展开整理整式方程：
$x^2 - (10+k)x - (2k^2 +k -21) =0$
十字相乘法分解因式：
$\because [x-(3-k)]·[x-(2k+7)] = x^2 - (10+k)x - (2k^2 +k -21)$
$\therefore [x-(3-k)]·[x-(2k+7)] =0$
解得 $x=3-k$ 或 $x=2k+7$。
检验：$\because k＞0$，$\therefore x-4=3-k-4=-k-1≠0$，$x-4=2k+7-4=2k+3＞0$，均不为0，解有效。
又$k＞0$时$2k+7＞3-k$，故$x_1=2k+7$，$x_2=3-k$。
代入计算：
$\dfrac{x_1-7}{x_2-3} = \dfrac{2k+7-7}{3-k-3} = \dfrac{2k}{-k} = -2$。
(3) 解一元二次方程 $2x^2+8mx-7x+8m^2+6-14m=0$
分组变形，利用完全平方公式：
$2(x^2+4mx+4m^2) -7(x+2m) +6 =0$
令$t=x+2m$，方程转化为：
$2t^2 -7t +6 =0$
十字相乘法分解：
$(2t-3)(t-2)=0$
代回$t=x+2m$：
$[2(x+2m)-3]·(x+2m-2)=0$
展开得：
$(2x+4m-3)(x+2m-2)=0$
解得 $x=\dfrac{3}{2}-2m$ 或 $x=2-2m$。
【答案】
(1) $x_1=a$，$x_2=b$；
(2) $\dfrac{x_1-7}{x_2-3}=-2$；
(3) $x=\dfrac{3}{2}-2m$ 或 $x=2-2m$。
【知识点】
因式分解（十字相乘法）、分式方程解法、一元二次方程解法
【点评】
本题通过十字相乘法简化方程求解，体现转化思想，第三问用整体换元降低分解难度，需注意分式方程求解后的检验步骤，避免增根。
【难度系数】
0.5
