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1. (2026·毕节期中)下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是 （
A.$(x-2)(x+5)=2$
B.$(x-2)^2=x-2$
C.$x^2+5x-2=0$
D.$12(2-x)^2=3$
B
）A.$(x-2)(x+5)=2$
B.$(x-2)^2=x-2$
C.$x^2+5x-2=0$
D.$12(2-x)^2=3$
答案
1. B 解析:$(x-2)(x+5)=2$不适合用因式分解法;$(x-2)^2=x-2$最适合用因式分解法;$x^2+5x-2=0$不适合用因式分解法;$12(2-x)^2=3$最适合用直接开平方法.故选 B.
解析
【分析】首先明确因式分解法解一元二次方程的核心要求：将方程整理为“左边是两个一次因式的乘积，右边为0”的形式，可利用“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”求解。接下来逐一分析选项：A选项整理后无法简单因式分解；B选项移项后可提取公因式分解为两个一次因式乘积，适合因式分解法；C选项无法用整数因式分解；D选项适合直接开平方法，因此选B。
【解析】判断最适合用因式分解法解的一元二次方程，需看方程能否整理为“一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积”的形式：
选项A：展开左边得$(x-2)(x+5)=x^2+3x-10$，移项后方程为$x^2+3x-12=0$，无法直接因式分解，不适合；
选项B：移项得$(x-2)^2 - (x-2)=0$，提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(x-2 -1)=0$，即$(x-2)(x-3)=0$，可因式分解，适合；
选项C：$x^2+5x-2=0$，判别式$\Delta=25+8=33$，无法用整数因式分解，不适合；
选项D：整理得$(2-x)^2=\frac{1}{4}$，适合直接开平方法，不适合因式分解法。
综上，选B。
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解法
【点评】本题考查一元二次方程解法的选择，需掌握不同解法的适用条件，属于基础题型，侧重对基础知识的应用。
【难度系数】0.7
【解析】判断最适合用因式分解法解的一元二次方程，需看方程能否整理为“一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积”的形式：
选项A：展开左边得$(x-2)(x+5)=x^2+3x-10$，移项后方程为$x^2+3x-12=0$，无法直接因式分解，不适合；
选项B：移项得$(x-2)^2 - (x-2)=0$，提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(x-2 -1)=0$，即$(x-2)(x-3)=0$，可因式分解，适合；
选项C：$x^2+5x-2=0$，判别式$\Delta=25+8=33$，无法用整数因式分解，不适合；
选项D：整理得$(2-x)^2=\frac{1}{4}$，适合直接开平方法，不适合因式分解法。
综上，选B。
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解法
【点评】本题考查一元二次方程解法的选择，需掌握不同解法的适用条件，属于基础题型，侧重对基础知识的应用。
【难度系数】0.7
2. 方程 $2x^{2}=-\dfrac{2}{3}x$ 的解为（
A.0
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$0,\dfrac{3}{2}$
D.$0,-\dfrac{1}{3}$
D
）A.0
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$0,\dfrac{3}{2}$
D.$0,-\dfrac{1}{3}$
答案
2. D 解析:$2x^{2}=-\dfrac{2}{3}x$,得 $2x^{2}+\dfrac{2}{3}x=0$,得 $x (2x+\dfrac{2}{3}) = 0$,则$x=0$ 或 $x=-\dfrac{1}{3}$.故选 D.
解析
【分析】
解一元二次方程时，先将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再通过提公因式法对左边多项式因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解后对应选项选出正确答案。
【解析】
解：原方程为 $2x^2 = -\dfrac{2}{3}x$，
移项得：$2x^2 + \dfrac{2}{3}x = 0$，
提取公因式 $x$ 得：$x(2x + \dfrac{2}{3}) = 0$，
根据“乘积为0的两个因式至少一个为0”，可得：
$x = 0$ 或 $2x + \dfrac{2}{3} = 0$，
解 $2x + \dfrac{2}{3} = 0$ 得：$x = -\dfrac{1}{3}$，
因此方程的解为 $0$ 和 $-\dfrac{1}{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解解法，属于基础题，解题关键是掌握移项、提公因式的操作，将二次方程转化为一次方程求解，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时，先将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再通过提公因式法对左边多项式因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解后对应选项选出正确答案。
【解析】
解：原方程为 $2x^2 = -\dfrac{2}{3}x$，
移项得：$2x^2 + \dfrac{2}{3}x = 0$，
提取公因式 $x$ 得：$x(2x + \dfrac{2}{3}) = 0$，
根据“乘积为0的两个因式至少一个为0”，可得：
$x = 0$ 或 $2x + \dfrac{2}{3} = 0$，
解 $2x + \dfrac{2}{3} = 0$ 得：$x = -\dfrac{1}{3}$，
因此方程的解为 $0$ 和 $-\dfrac{1}{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解解法，属于基础题，解题关键是掌握移项、提公因式的操作，将二次方程转化为一次方程求解，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
3. 若$x^{2}-2px+q=0$的两根分别是$-3$与$5$,则多项式$2x^{2}-4px+2q$可以分解为（
A.$(x+3)(x-5)$
B.$(x-3)(x+5)$
C.$2(x+3)(x-5)$
D.$2(x-3)(x+5)$
C
）A.$(x+3)(x-5)$
B.$(x-3)(x+5)$
C.$2(x+3)(x-5)$
D.$2(x-3)(x+5)$
答案
3. C 解析:$\because x^{2}-2px+q=0$ 的两根分别是$-3$ 与 $5$,$\therefore x^{2}-2px+q=(x+3)(x-5),\therefore 2x^{2}-4px+2q=2(x^{2}-2px+q)=2(x+3)·(x-5)$,故选 C.
解析
【分析】
要解决该问题，需利用一元二次方程的根与因式分解的关系：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1$、$x_2$，则二次式可分解为$a(x-x_1)(x-x_2)$。先根据已知方程的两根分解对应二次式，再观察所求多项式，通过提取公因式转化为与已知二次式相关的形式，代入分解结果即可得到答案。
【解析】
1. 由一元二次方程的根与因式分解的关系，方程$x^2-2px+q=0$的两根为$-3$和$5$，因此：
$x^2-2px+q=(x+3)(x-5)$
2. 对多项式$2x^2-4px+2q$提取公因式$2$，可得：
$2x^2-4px+2q=2(x^2-2px+q)$
3. 将步骤1的分解结果代入上式，得到：
$2(x^2-2px+q)=2(x+3)(x-5)$
对应选项，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程因式分解、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查一元二次方程根的因式分解应用及多项式的因式分解，核心是找到所求多项式与已知方程左边二次式的联系，通过提公因式转化后代入分解结果，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，需利用一元二次方程的根与因式分解的关系：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1$、$x_2$，则二次式可分解为$a(x-x_1)(x-x_2)$。先根据已知方程的两根分解对应二次式，再观察所求多项式，通过提取公因式转化为与已知二次式相关的形式，代入分解结果即可得到答案。
【解析】
1. 由一元二次方程的根与因式分解的关系，方程$x^2-2px+q=0$的两根为$-3$和$5$，因此：
$x^2-2px+q=(x+3)(x-5)$
2. 对多项式$2x^2-4px+2q$提取公因式$2$，可得：
$2x^2-4px+2q=2(x^2-2px+q)$
3. 将步骤1的分解结果代入上式，得到：
$2(x^2-2px+q)=2(x+3)(x-5)$
对应选项，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程因式分解、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查一元二次方程根的因式分解应用及多项式的因式分解，核心是找到所求多项式与已知方程左边二次式的联系，通过提公因式转化后代入分解结果，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. (2025·石家庄月考)若 $a(a-3)$ 与 $2(3-a)$ 互为相反数, 则 $a=$
2或3
.答案
4. 2或3 解析:由题意可得 $a(a-3)+2(3-a)=0$,即$(a-3)·(a-2)=0$,解得 $a=2$ 或 3.
解析
【分析】首先明确互为相反数的两个数之和为0，据此列出关于a的方程；再对所列方程进行变形，通过提取公因式的方法因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而求解得到a的值。
【解析】根据“互为相反数的两数和为0”，可得方程：
$a(a - 3) + 2(3 - a) = 0$
将式子变形，注意到$3 - a = -(a - 3)$，代入得：
$a(a - 3) - 2(a - 3) = 0$
提取公因式$(a - 3)$，得：
$(a - 3)(a - 2) = 0$
则$a - 3 = 0$或$a - 2 = 0$，解得$a = 3$或$a = 2$。
【答案】2或3
【知识点】相反数的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】本题考查相反数的性质及因式分解解一元二次方程，属于基础题型，解题关键是利用相反数的性质列方程，并正确对式子因式分解，适合基础考查。
【难度系数】0.7
【解析】根据“互为相反数的两数和为0”，可得方程：
$a(a - 3) + 2(3 - a) = 0$
将式子变形，注意到$3 - a = -(a - 3)$，代入得：
$a(a - 3) - 2(a - 3) = 0$
提取公因式$(a - 3)$，得：
$(a - 3)(a - 2) = 0$
则$a - 3 = 0$或$a - 2 = 0$，解得$a = 3$或$a = 2$。
【答案】2或3
【知识点】相反数的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】本题考查相反数的性质及因式分解解一元二次方程，属于基础题型，解题关键是利用相反数的性质列方程，并正确对式子因式分解，适合基础考查。
【难度系数】0.7
5. 用因式分解法解方程 $9=x^{2}-2x+1$.
(1) 移项得 $9-(x^{2}-2x+1)=0$；
(2) 方程左边化为两个平方的差,右边为零,得
(3) 将方程左边分解成两个一次因式之积,得
(4) 解方程得 $x_{1}=$
(1) 移项得 $9-(x^{2}-2x+1)=0$；
(2) 方程左边化为两个平方的差,右边为零,得
$3^2-(x-1)^2=0$
；(3) 将方程左边分解成两个一次因式之积,得
$(3-x+1)(3+x-1)=0$
；(4) 解方程得 $x_{1}=$
4
,$x_{2}=$ -2
.答案
5. (2)$3^2-(x-1)^2=0$ (3)$(3-x+1)(3+x-1)=0$ (4)4 -2
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路为：先通过移项将方程整理为左边是多项式、右边为0的形式，再将左边变形为平方差结构，利用平方差公式分解因式，最后转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1)移项得 $9-(x^{2}-2x+1)=0$；
(2)因为 $x^2-2x+1=(x-1)^2$，$9=3^2$，所以方程左边化为平方差形式：$3^2-(x-1)^2=0$；
(3)根据平方差公式 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，将左边分解因式得：$(3-(x-1))(3+(x-1))=0$，化简为 $(3-x+1)(3+x-1)=0$；
(4)分别解两个一次方程：$3-x+1=0$ 得 $x=4$，$3+x-1=0$ 得 $x=-2$，即 $x_1=4$，$x_2=-2$。
【答案】
(2)$3^2-(x-1)^2=0$；(3)$(3-x+1)(3+x-1)=0$；(4)$4$，$-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是用因式分解法解一元二次方程的基础题，核心是利用完全平方公式和平方差公式对多项式变形分解，步骤明确，注重基础公式的应用，适合巩固一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.7
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路为：先通过移项将方程整理为左边是多项式、右边为0的形式，再将左边变形为平方差结构，利用平方差公式分解因式，最后转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1)移项得 $9-(x^{2}-2x+1)=0$；
(2)因为 $x^2-2x+1=(x-1)^2$，$9=3^2$，所以方程左边化为平方差形式：$3^2-(x-1)^2=0$；
(3)根据平方差公式 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，将左边分解因式得：$(3-(x-1))(3+(x-1))=0$，化简为 $(3-x+1)(3+x-1)=0$；
(4)分别解两个一次方程：$3-x+1=0$ 得 $x=4$，$3+x-1=0$ 得 $x=-2$，即 $x_1=4$，$x_2=-2$。
【答案】
(2)$3^2-(x-1)^2=0$；(3)$(3-x+1)(3+x-1)=0$；(4)$4$，$-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是用因式分解法解一元二次方程的基础题，核心是利用完全平方公式和平方差公式对多项式变形分解，步骤明确，注重基础公式的应用，适合巩固一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.7
6. (荆门中考) 已知 $x=2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2+(k^2-2)x+2k+4=0$ 的一个根, 则 $k$ 的值为
-3
.答案
6. -3 解析:$\because x=2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2+(k^2-2)x+2k+4=0$ 的一个根,$\therefore 4k+2k^2-4+2k+4=0$,$\therefore k^2+3k=0$.$\therefore k_1=0$,$k_2=-3$.$\because k\ne0$,$\therefore k=-3$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义，将已知根$x=2$代入方程得到关于$k$的方程；再结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对解出的$k$值进行取舍，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$x=2$是一元二次方程$kx^2+(k^2-2)x+2k+4=0$的根，
∴将$x=2$代入方程得：$k·2^2 + (k^2-2)·2 + 2k + 4 = 0$，
计算化简：$4k + 2k^2 - 4 + 2k + 4 = 0$，
合并同类项得：$2k^2 + 6k = 0$，两边同除以2得：$k^2 + 3k = 0$，
因式分解得：$k(k+3)=0$，
解得：$k_1=0$，$k_2=-3$。
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数$k≠0$，
∴$k=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及一元二次方程的定义，解题关键是利用根的定义代入求解，同时需注意隐含条件：一元二次方程的二次项系数不能为0，避免错解，属于基础易错题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义，将已知根$x=2$代入方程得到关于$k$的方程；再结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对解出的$k$值进行取舍，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$x=2$是一元二次方程$kx^2+(k^2-2)x+2k+4=0$的根，
∴将$x=2$代入方程得：$k·2^2 + (k^2-2)·2 + 2k + 4 = 0$，
计算化简：$4k + 2k^2 - 4 + 2k + 4 = 0$，
合并同类项得：$2k^2 + 6k = 0$，两边同除以2得：$k^2 + 3k = 0$，
因式分解得：$k(k+3)=0$，
解得：$k_1=0$，$k_2=-3$。
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数$k≠0$，
∴$k=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及一元二次方程的定义，解题关键是利用根的定义代入求解，同时需注意隐含条件：一元二次方程的二次项系数不能为0，避免错解，属于基础易错题型。
【难度系数】
0.5
7. 教材变式 用因式分解法解方程.
(1)$4y(y - 1) + 1 = 0$;
(2)$x^{2} - 9 = 3 - x$;
(3)$2y^{2} + 4y = y + 2$;
(4)$(x - 4)^{2} - (5 - 2x)^{2} = 0$;
(5)$4(2x - 1)^{2} = 9(x + 4)^{2}$;
(6)$(x^{2} - 1)^{2} - 6(x^{2} - 1) + 9 = 0$.
(1)$4y(y - 1) + 1 = 0$;
(2)$x^{2} - 9 = 3 - x$;
(3)$2y^{2} + 4y = y + 2$;
(4)$(x - 4)^{2} - (5 - 2x)^{2} = 0$;
(5)$4(2x - 1)^{2} = 9(x + 4)^{2}$;
(6)$(x^{2} - 1)^{2} - 6(x^{2} - 1) + 9 = 0$.
答案
7. (1)$y_1=y_2=\dfrac{1}{2}$.
(2)$x_1=3$,$x_2=-4$.
(3)$y_1=\dfrac{1}{2}$,$y_2=-2$.
(4)$x_1=1$,$x_2=3$.
(5)原方程可变形为$[2(2x-1)]^2-[3(x+4)]^2=0$,$[2(2x-1)+3(x+4)]×[2(2x-1)-3(x+4)]=0$,$\therefore 2(2x-1)+3(x+4)=0$ 或 $2(2x-1)-3(x+4)=0$,$\therefore x_1=-\dfrac{10}{7}$,$x_2=14$.
(6)原方程可变形为$(x^2-1-3)^2=0$,即$(x^2-4)^2=0$,$\therefore x^2-4=0$,$\therefore x_1=2$,$x_2=-2$.
(2)$x_1=3$,$x_2=-4$.
(3)$y_1=\dfrac{1}{2}$,$y_2=-2$.
(4)$x_1=1$,$x_2=3$.
(5)原方程可变形为$[2(2x-1)]^2-[3(x+4)]^2=0$,$[2(2x-1)+3(x+4)]×[2(2x-1)-3(x+4)]=0$,$\therefore 2(2x-1)+3(x+4)=0$ 或 $2(2x-1)-3(x+4)=0$,$\therefore x_1=-\dfrac{10}{7}$,$x_2=14$.
(6)原方程可变形为$(x^2-1-3)^2=0$,即$(x^2-4)^2=0$,$\therefore x^2-4=0$,$\therefore x_1=2$,$x_2=-2$.
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为几个因式乘积等于0的形式，再利用“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，转化为一元一次方程求解。解题时需根据每个方程的特点，结合完全平方公式、平方差公式或提公因式等方法进行因式分解，进而求出方程的解。
【解析】
(1) 原方程整理：$4y(y-1)+1=0$，展开得$4y^2-4y+1=0$，由完全平方公式变形为$(2y-1)^2=0$，则$2y-1=0$，解得$y_1=y_2=\frac{1}{2}$；
(2) 移项得$x^2-9+x-3=0$，整理为$x^2+x-12=0$，因式分解得$(x-3)(x+4)=0$，则$x-3=0$或$x+4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-4$；
(3) 移项得$2y^2+4y-y-2=0$，合并同类项得$2y^2+3y-2=0$，因式分解得$(2y-1)(y+2)=0$，则$2y-1=0$或$y+2=0$，解得$y_1=\frac{1}{2}$，$y_2=-2$；
(4) 利用平方差公式，原方程变形为$[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0$，化简得$(-x+1)(3x-9)=0$，即$-(x-1)·3(x-3)=0$，则$x-1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$；
(5) 原方程变形为$[2(2x-1)]^2-[3(x+4)]^2=0$，由平方差公式得$[2(2x-1)+3(x+4)][2(2x-1)-3(x+4)]=0$，计算得$(7x+10)(x-14)=0$，则$7x+10=0$或$x-14=0$，解得$x_1=-\frac{10}{7}$，$x_2=14$；
(6) 原方程由完全平方公式变形为$[(x^2-1)-3]^2=0$，即$(x^2-4)^2=0$，则$x^2-4=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$；
【答案】
7. (1)$y_1=y_2=\dfrac{1}{2}$；(2)$x_1=3$,$x_2=-4$；(3)$y_1=\dfrac{1}{2}$,$y_2=-2$；(4)$x_1=1$,$x_2=3$；(5)原方程可变形为$[2(2x-1)]^2-[3(x+4)]^2=0$,$[2(2x-1)+3(x+4)]×[2(2x-1)-3(x+4)]=0$,$\therefore 2(2x-1)+3(x+4)=0$ 或 $2(2x-1)-3(x+4)=0$,$\therefore x_1=-\dfrac{10}{7}$,$x_2=14$；(6)原方程可变形为$(x^2-1-3)^2=0$,即$(x^2-4)^2=0$,$\therefore x^2-4=0$,$\therefore x_1=2$,$x_2=-2$；
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、完全平方公式；
【点评】
本题为教材变式题，重点考察因式分解法解一元二次方程，涉及完全平方公式、平方差公式的灵活运用，需要学生掌握因式分解的基本方法，能根据方程特点选择合适的分解方式，是巩固一元二次方程解法的典型题目；
【难度系数】
0.6
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为几个因式乘积等于0的形式，再利用“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，转化为一元一次方程求解。解题时需根据每个方程的特点，结合完全平方公式、平方差公式或提公因式等方法进行因式分解，进而求出方程的解。
【解析】
(1) 原方程整理：$4y(y-1)+1=0$，展开得$4y^2-4y+1=0$，由完全平方公式变形为$(2y-1)^2=0$，则$2y-1=0$，解得$y_1=y_2=\frac{1}{2}$；
(2) 移项得$x^2-9+x-3=0$，整理为$x^2+x-12=0$，因式分解得$(x-3)(x+4)=0$，则$x-3=0$或$x+4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-4$；
(3) 移项得$2y^2+4y-y-2=0$，合并同类项得$2y^2+3y-2=0$，因式分解得$(2y-1)(y+2)=0$，则$2y-1=0$或$y+2=0$，解得$y_1=\frac{1}{2}$，$y_2=-2$；
(4) 利用平方差公式，原方程变形为$[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0$，化简得$(-x+1)(3x-9)=0$，即$-(x-1)·3(x-3)=0$，则$x-1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$；
(5) 原方程变形为$[2(2x-1)]^2-[3(x+4)]^2=0$，由平方差公式得$[2(2x-1)+3(x+4)][2(2x-1)-3(x+4)]=0$，计算得$(7x+10)(x-14)=0$，则$7x+10=0$或$x-14=0$，解得$x_1=-\frac{10}{7}$，$x_2=14$；
(6) 原方程由完全平方公式变形为$[(x^2-1)-3]^2=0$，即$(x^2-4)^2=0$，则$x^2-4=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$；
【答案】
7. (1)$y_1=y_2=\dfrac{1}{2}$；(2)$x_1=3$,$x_2=-4$；(3)$y_1=\dfrac{1}{2}$,$y_2=-2$；(4)$x_1=1$,$x_2=3$；(5)原方程可变形为$[2(2x-1)]^2-[3(x+4)]^2=0$,$[2(2x-1)+3(x+4)]×[2(2x-1)-3(x+4)]=0$,$\therefore 2(2x-1)+3(x+4)=0$ 或 $2(2x-1)-3(x+4)=0$,$\therefore x_1=-\dfrac{10}{7}$,$x_2=14$；(6)原方程可变形为$(x^2-1-3)^2=0$,即$(x^2-4)^2=0$,$\therefore x^2-4=0$,$\therefore x_1=2$,$x_2=-2$；
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、完全平方公式；
【点评】
本题为教材变式题，重点考察因式分解法解一元二次方程，涉及完全平方公式、平方差公式的灵活运用，需要学生掌握因式分解的基本方法，能根据方程特点选择合适的分解方式，是巩固一元二次方程解法的典型题目；
【难度系数】
0.6
8. 若某三角形两边的长分别等于方程 $x^{2}-9x+$$4(9-x)=0$ 的两个实数根,则这个三角形的第三边的长可能是（
A.5
B.10
C.13
D.14
B
）A.5
B.10
C.13
D.14
答案
8. B 解析:方程 $x^2-9x+4(9-x)=0$ 可化简为 $x(x-9)-4(x-9)=0$,即$(x-4)(x-9)=0$,解得 $x_1=4$,$x_2=9$,$\therefore$ 这个三角形第三边的长 $a$ 的取值范围是 $5＜a＜13$,这个三角形的第三边的长可能是 10,故选 B.
解析
【分析】
要解决本题，需先通过因式分解法求解一元二次方程得到三角形的两条边长，再依据三角形三边关系确定第三边的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案。
【解析】
1. 解方程：对原方程$x^2 -9x +4(9-x)=0$因式分解，
整理得：$x(x-9)-4(x-9)=0$，
提取公因式$(x-9)$得：$(x-4)(x-9)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=4$，$x_2=9$，即三角形的两条边长为4和9。
2. 确定第三边范围：设第三边长为$a$，根据三角形三边关系（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边），
得$9-4 ＜ a ＜9+4$，即$5 ＜ a ＜13$。
3. 选答案：对比选项，只有10在$5 ＜ a ＜13$范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法、三角形三边关系
【点评】
本题结合一元二次方程求解与三角形三边关系，解题步骤清晰，核心是先求方程根再用三边关系，属于基础题型，需注意第三边范围的边界不包含端点。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先通过因式分解法求解一元二次方程得到三角形的两条边长，再依据三角形三边关系确定第三边的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案。
【解析】
1. 解方程：对原方程$x^2 -9x +4(9-x)=0$因式分解，
整理得：$x(x-9)-4(x-9)=0$，
提取公因式$(x-9)$得：$(x-4)(x-9)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=4$，$x_2=9$，即三角形的两条边长为4和9。
2. 确定第三边范围：设第三边长为$a$，根据三角形三边关系（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边），
得$9-4 ＜ a ＜9+4$，即$5 ＜ a ＜13$。
3. 选答案：对比选项，只有10在$5 ＜ a ＜13$范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法、三角形三边关系
【点评】
本题结合一元二次方程求解与三角形三边关系，解题步骤清晰，核心是先求方程根再用三边关系，属于基础题型，需注意第三边范围的边界不包含端点。
【难度系数】
0.6
9. (2026·吕梁期中)定义:如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为“友好方程”.如果关于$x$的一元二次方程$x^{2}=mx$与$x^{2}+2x-m^{2}+1=0$为“友好方程”,则$m$可取的值有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9. C 解析:化简方程 $x^2=mx$ 得 $x(x-m)=0$,解得 $x=0$ 或 $x=m$,化简方程 $x^2+2x-m^2+1=0$ 得$(x+1)^2=m^2$,解得 $x=m-1$ 或 $x=-m-1$,$\because$ 这两个方程为“友好方程”,①当 $0=m-1$ 时,$m=1$,此时 $m\ne-m-1$,满足题意;②当 $0=-m-1$ 时,$m=-1$,此时 $m\ne m-1$,满足题意;③当 $m=m-1$ 时,$m$ 无解;
④当 $m=-m-1$ 时,$m=-\dfrac{1}{2}$,此时 $0\ne m-1$,满足题意.综上所述,$m$ 可取的值有 $1,-1,-\dfrac{1}{2}$,共 3 个,故选 C.
④当 $m=-m-1$ 时,$m=-\dfrac{1}{2}$,此时 $0\ne m-1$,满足题意.综上所述,$m$ 可取的值有 $1,-1,-\dfrac{1}{2}$,共 3 个,故选 C.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需分别求出两个一元二次方程的根，再根据“友好方程”的定义（两个方程有且只有一个相同的实数根），分情况讨论两个方程根的重合情况，排除两个根都相同的情况，进而确定符合条件的m的取值，最后统计取值个数得出答案。
【解析】
1. 求解第一个方程：对$x^2 = mx$移项得$x^2 - mx = 0$，因式分解为$x(x - m) = 0$，解得根为$x_1 = 0$，$x_2 = m$。
2. 求解第二个方程：对$x^2 + 2x - m^2 + 1 = 0$配方得$(x + 1)^2 = m^2$，开方得$x + 1 = ±m$，解得根为$x_3 = m - 1$，$x_4 = -m - 1$。
3. 根据“友好方程”定义，两个方程有且只有一个相同实根，分4种情况讨论：
情况1：$0 = m - 1$，解得$m = 1$。此时第一个方程根为$0,1$，第二个方程根为$0,-2$，仅$0$相同，符合题意。
情况2：$0 = -m - 1$，解得$m = -1$。此时第一个方程根为$0,-1$，第二个方程根为$-2,0$，仅$0$相同，符合题意。
情况3：$m = m - 1$，化简得$0 = -1$，无解，排除。
情况4：$m = -m - 1$，解得$m = -\frac{1}{2}$。此时第一个方程根为$0,-\frac{1}{2}$，第二个方程根为$-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}$，仅$-\frac{1}{2}$相同，符合题意。
综上，$m$可取的值为$1,-1,-\frac{1}{2}$，共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的根，新定义问题
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“友好方程”的定义，通过分类讨论两个方程根的重合情况求解，需注意排除两个方程根完全相同的情况，避免漏解，考查一元二次方程解法与分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先需分别求出两个一元二次方程的根，再根据“友好方程”的定义（两个方程有且只有一个相同的实数根），分情况讨论两个方程根的重合情况，排除两个根都相同的情况，进而确定符合条件的m的取值，最后统计取值个数得出答案。
【解析】
1. 求解第一个方程：对$x^2 = mx$移项得$x^2 - mx = 0$，因式分解为$x(x - m) = 0$，解得根为$x_1 = 0$，$x_2 = m$。
2. 求解第二个方程：对$x^2 + 2x - m^2 + 1 = 0$配方得$(x + 1)^2 = m^2$，开方得$x + 1 = ±m$，解得根为$x_3 = m - 1$，$x_4 = -m - 1$。
3. 根据“友好方程”定义，两个方程有且只有一个相同实根，分4种情况讨论：
情况1：$0 = m - 1$，解得$m = 1$。此时第一个方程根为$0,1$，第二个方程根为$0,-2$，仅$0$相同，符合题意。
情况2：$0 = -m - 1$，解得$m = -1$。此时第一个方程根为$0,-1$，第二个方程根为$-2,0$，仅$0$相同，符合题意。
情况3：$m = m - 1$，化简得$0 = -1$，无解，排除。
情况4：$m = -m - 1$，解得$m = -\frac{1}{2}$。此时第一个方程根为$0,-\frac{1}{2}$，第二个方程根为$-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}$，仅$-\frac{1}{2}$相同，符合题意。
综上，$m$可取的值为$1,-1,-\frac{1}{2}$，共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的根，新定义问题
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“友好方程”的定义，通过分类讨论两个方程根的重合情况求解，需注意排除两个方程根完全相同的情况，避免漏解，考查一元二次方程解法与分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.5
10. 新趋势 开放性试题 写出一个一元二次方程，使它的二次项系数不为1，且两根分别为-2和3：
$2x^2-2x-12=0$(答案不唯一)
.答案
10. $2x^2-2x-12=0$(答案不唯一) 解析:若一元二次方程的两根分别为-2和3,则方程可以为 $a(x+2)(x-3)=0$,$\because$ 二次项系数不为 1,$\therefore a\ne1$,$a$ 可取 2,此时方程为 $2x^2-2x-12=0$.
解析
【分析】
要构造两根为-2和3且二次项系数不为1的一元二次方程，可利用“若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$a(x - x_1)(x - x_2)=0$（$a≠0$，$a$为二次项系数）”的知识点。本题中两根$x_1=-2$，$x_2=3$，代入后得到含参数$a$的方程形式，再根据“二次项系数不为1”的要求，取$a≠1$的数即可得到符合条件的方程。
【解析】
解：根据一元二次方程根与因式的关系，设所求方程为$a(x + 2)(x - 3)=0$（$a≠0$）。
展开式子：
$\begin{aligned}a(x + 2)(x - 3)&=a(x^2 - 3x + 2x - 6)\\&=a(x^2 - x - 6)\\&=ax^2 - ax - 6a\end{aligned}$
因为要求二次项系数不为1，所以取$a=2$，代入得：$2x^2 - 2x - 12=0$（$a$取其他非1的数也可，答案不唯一）。
【答案】
$2x^2 - 2x - 12=0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的根与因式关系、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题为开放性试题，考查一元二次方程根与对应因式的关系，解题思路明确，属于基础题型，只要掌握相关知识点即可完成解答。
【难度系数】
0.7
要构造两根为-2和3且二次项系数不为1的一元二次方程，可利用“若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$a(x - x_1)(x - x_2)=0$（$a≠0$，$a$为二次项系数）”的知识点。本题中两根$x_1=-2$，$x_2=3$，代入后得到含参数$a$的方程形式，再根据“二次项系数不为1”的要求，取$a≠1$的数即可得到符合条件的方程。
【解析】
解：根据一元二次方程根与因式的关系，设所求方程为$a(x + 2)(x - 3)=0$（$a≠0$）。
展开式子：
$\begin{aligned}a(x + 2)(x - 3)&=a(x^2 - 3x + 2x - 6)\\&=a(x^2 - x - 6)\\&=ax^2 - ax - 6a\end{aligned}$
因为要求二次项系数不为1，所以取$a=2$，代入得：$2x^2 - 2x - 12=0$（$a$取其他非1的数也可，答案不唯一）。
【答案】
$2x^2 - 2x - 12=0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的根与因式关系、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题为开放性试题，考查一元二次方程根与对应因式的关系，解题思路明确，属于基础题型，只要掌握相关知识点即可完成解答。
【难度系数】
0.7
11. 定义新运算“$\bigoplus$”如下：当 $a ≥ b$ 时，$a \bigoplus b = 4a^{2}-b^{2}$；当 $a ＜ b$ 时，$a \bigoplus b = 4b^{2}-a^{2}$. 若 $(2x-1) \bigoplus (x+2)=0$，则 $x=$
$-\dfrac{3}{4}$
.答案
11. $-\dfrac{3}{4}$ 解析:①当 $2x-1\ge x+2$,即 $x\ge3$ 时,此时$(2x-1)\bigoplus(x+2)=4(2x-1)^2-(x+2)^2=[2(2x-1)+(x+2)][2(2x-1)-(x+2)]=0$,解得 $x_1=0$,$x_2=\dfrac{4}{3}$.由于 $x\ge3$,所以两个根都舍去.②当 $2x-1＜x+2$,即 $x＜3$ 时,此时$(2x-1)\bigoplus(x+2)=4(x+2)^2-(2x-1)^2=[2(x+2)+(2x-1)][2(x+2)-(2x-1)]=0$,解得 $x=-\dfrac{3}{4}$.由于 $x＜3$,所以符合题意.故答案为$-\dfrac{3}{4}$.
解析
【分析】
本题是定义新运算的题目，需先明确新运算“⊕”的规则：当$a ≥ b$时，$a \bigoplus b = 4a^{2}-b^{2}$；当$a ＜ b$时，$a \bigoplus b = 4b^{2}-a^{2}$。解题时需先判断$2x-1$与$x+2$的大小关系，分两种情况讨论，将对应表达式代入方程，解一元二次方程后，检验所得根是否满足当前情况的不等式条件，最终确定符合题意的$x$值。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$2x-1 ≥ x+2$时，解不等式得：$x ≥ 3$。
此时根据新运算规则，$(2x-1)\bigoplus(x+2)=4(2x-1)^2-(x+2)^2$，令其等于0，即：
$4(2x-1)^2-(x+2)^2=0$
利用平方差公式因式分解：
$[2(2x-1)+(x+2)][2(2x-1)-(x+2)]=0$
化简得：$5x(3x-4)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=\dfrac{4}{3}$。
由于$x ≥ 3$，两个根均不满足该条件，故舍去。
② 当$2x-1 ＜ x+2$时，解不等式得：$x ＜ 3$。
此时根据新运算规则，$(2x-1)\bigoplus(x+2)=4(x+2)^2-(2x-1)^2$，令其等于0，即：
$4(x+2)^2-(2x-1)^2=0$
利用平方差公式因式分解：
$[2(x+2)+(2x-1)][2(x+2)-(2x-1)]=0$
化简得：$5(4x+3)=0$
解得：$x=-\dfrac{3}{4}$。
由于$-\dfrac{3}{4} ＜ 3$，满足该条件，故保留。
综上，$x=-\dfrac{3}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
定义新运算、一元二次方程的解法、不等式的应用
【点评】
本题考查定义新运算的理解与应用，核心是运用分类讨论思想判断两数大小，结合因式分解法解一元二次方程，并检验解的合理性，避免漏解或错解，是对基础运算与逻辑分析能力的综合考查。
【难度系数】
0.6
本题是定义新运算的题目，需先明确新运算“⊕”的规则：当$a ≥ b$时，$a \bigoplus b = 4a^{2}-b^{2}$；当$a ＜ b$时，$a \bigoplus b = 4b^{2}-a^{2}$。解题时需先判断$2x-1$与$x+2$的大小关系，分两种情况讨论，将对应表达式代入方程，解一元二次方程后，检验所得根是否满足当前情况的不等式条件，最终确定符合题意的$x$值。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$2x-1 ≥ x+2$时，解不等式得：$x ≥ 3$。
此时根据新运算规则，$(2x-1)\bigoplus(x+2)=4(2x-1)^2-(x+2)^2$，令其等于0，即：
$4(2x-1)^2-(x+2)^2=0$
利用平方差公式因式分解：
$[2(2x-1)+(x+2)][2(2x-1)-(x+2)]=0$
化简得：$5x(3x-4)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=\dfrac{4}{3}$。
由于$x ≥ 3$，两个根均不满足该条件，故舍去。
② 当$2x-1 ＜ x+2$时，解不等式得：$x ＜ 3$。
此时根据新运算规则，$(2x-1)\bigoplus(x+2)=4(x+2)^2-(2x-1)^2$，令其等于0，即：
$4(x+2)^2-(2x-1)^2=0$
利用平方差公式因式分解：
$[2(x+2)+(2x-1)][2(x+2)-(2x-1)]=0$
化简得：$5(4x+3)=0$
解得：$x=-\dfrac{3}{4}$。
由于$-\dfrac{3}{4} ＜ 3$，满足该条件，故保留。
综上，$x=-\dfrac{3}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
定义新运算、一元二次方程的解法、不等式的应用
【点评】
本题考查定义新运算的理解与应用，核心是运用分类讨论思想判断两数大小，结合因式分解法解一元二次方程，并检验解的合理性，避免漏解或错解，是对基础运算与逻辑分析能力的综合考查。
【难度系数】
0.6
